【数学】数列通项公式的常用求法专题课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列通项公式的常用求法

求数列的通项公式是考试的热点问题，等差、等比数列可直接利用其通项公式求解，但有些数列是以递推关系给出的，需要构造新数列转为等差或等比数列，再利用公式求解例1.分别写出下列数列的一个通项公式．一、观察法例2.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（

）个球．

A．12 B．20

C．55 D．110解析由题意知：故选：C.

观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：

①观察数列各项符号的变化，如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或(－1)n＋1来调节．

②分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决．③对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决．方法总结练习.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（

）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】B【提示】分奇偶项考虑.对点练习二、利用an与Sn的关系解析∵数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，∴a1＝S1＝－1，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－2(n－1)＝n2－4n＋3，故an＝Sn－Sn－1＝2n－3，当n＝1时，an＝2n－3也成立，故∀n∈N*，an＝2n－3.例3.(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，那么它的通项公式为an＝________.已知Sn求an已知an与Sn的关系求an(2)已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝2，an＋1＝Sn，则a100＝(

)A．297B．298 C．299D．2100解析：当n≥2时，由an＋1＝Sn

①，

可得an＝Sn－1

②，两式相减得，an＋1－an＝an，所以an＋1＝2an，n≥2，当n＝1时，a2＝S1＝a1＝2，故数列{an}是从第2项开始的，公比是2的等比数列，所以，所以a100＝299.故选C.(3)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是(

)BCD又a1＝－1不符合上式，方法总结拓展：设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝__________.解析因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，两式相减得(2n－1)an＝2，又由题设可得a1＝2，满足上式，类似已知Sn求an，作差法求通项.解析：当n＝1时，a1＝14，对点练习三、公式法例4.(1)已知数列{an}满足an+1=an﹣2

，且a1=1，求an。(2)已知数列{an}满足an+1=2an，且a1=2，求an。由递推式an+1=an+d(d为常数)或an+1=qan(q为常数)知相应数列为等差或等比数列，可直接利用其通项公式求解.an=﹣2n+3an=2n﹣2变为n，该如何求？﹣2变为，该如何求？方法总结∴{an}是等差数列，an=1+(n-1)=n1.若a1=1,且an+am=an+m(n,m∈N*),则an=_______.解:n=m=1时，a2=a1+a1=2,得a1=1,a2=2m=1时,由an+am=an+m

得an+1=an+1，即an+1-an=1n2.若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=_______.解：n=m=1时，b2=b1·b1=4,即b1=2，b2=4，m=1时,由bnbm=bn+m得bn+1=bn·

b1=2bn，故{bn}是首项为b1=2，公比为q=2的等比数列，bn=2·2n-1=2n

2n

对点练习四、累加法例4.(1)已知数列{an}满足an+1=an﹣2

，且a1=1，求an。例5.已知数列{an}满足an+1=an+n

，且a1=1，求an。解析：

因为an+1=an+n，所以an+1-an=n,a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，……an－an－1＝

n－1(n≥2).把以上各式分别相加得an－a1＝1+2+3+…+n－1，因此所以

(n≥2)，且a1＝1也适合，形如an＋1－an＝f(n)的数列，可构造：把以上各式累加法，即可求数列{an}的通项公式．即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2).方法总结练习.在数列{an}中，an＋1－an＝3n－22，a1＝－2，则a30＝(

)A．659B．661C．663D．665解析因为an＋1－an＝3n－22，所以a2－a1＝－19，a3－a2＝－16，…，a30－a29＝65，所以a30－a1＝＝667，故a30＝a1＋667＝665.对点练习五、累乘法例4.(2)已知数列{an}满足an+1=2an，且a1=3，求an。例6.数列{an}中，,求数列的通项an。形如

的数列，可构造再把所得的(n－1)个等式相乘，即可求数列{an}的通项公式．即利用

(n≥2).方法总结数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，则a6＝________.对点练习

1.若数列

{an}

满足

a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则数列{an}

的通项

an=

.

2.若数列

{an}

满足

a1=1,a1·a2·a3·…·an=n2

(n≥2),则数列{an}

的通项

an=

.和式用减法积式用除法延伸练习

此处两法与前面的累加法、累乘法，可称为逆向思维求通项．

对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。

六、构造法例7.(1)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝______.解析设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.例7.(2)已知数列{an}中，求通项公式an

。例7.(3)已知数列{an}中，求通项公式an

。解析方法总结(4)已知数列{an}中a1=1，,求an.解：两边取倒数得：所以数列是以为首项，为公差的等差数列.倒数法方法总结1.已知数列{an}满足,求数列通项公式。2.已知数列{an}满足,求数列通项公式。3.已知数列{an}满足，求数列通项公式。4.已知数列{an}中a1=1，,求an对点练习课堂小结由递推公式求数列的通项公式：(5)an+1=pan+q（p,q为常数）等差数列等比数列累加法累乘法an+1+x=p(an+x)an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)例8.已知数列{an}中a1=3，.证明：数列{ln(an-1)}是等比数列，并求数列{an}的通