电路 (第四版) 课件 第7章 一阶电路分析

第7章一阶电路分析7.1动态电路与换路定则7.2一阶电路的零输入响应7.3一阶电路的零状态响应7.4一阶电路的全响应与三要素法7.5一阶电路的阶跃响应7.6一阶电路的冲激响应7.7-阶跃响应与冲激响应的关系

7.1动态电路与换路定则

为了实现一定的目的,常常要对电路进行某些控制操作(如接通、断开电源或信号源,某些子电路的接入或断开等),从而改变了电路的结构;另外,故障也会改变电路的结构;干扰相当于给电路加入了额外的激励;外部环境(如温度等)的变化可能引起电路元件参数的变化等。上述由于各种原因引起电路结构或参数发生变化的现象称为换路。

为了分析方便,一般规定换路是在t=0时刻发生的,同时认为换路是不需要时间的,即换路是在t=0瞬间完成的。为了更进一步描述换路前后电路的状态,换路前的瞬间用t=0-表示,换路后的瞬间用t=0+表示。

在图7-1所示电路中,US是直流电压源,S为开关,(t=0)表示在0时刻将开关S合上,可见在0时刻图中的两个电路均发生了换路。

图7-1稳态响应和过渡过程

7.1.1动态电路和状态变量

由上面分析看出,当图7-1(a)所示电路进行换路后,电路在瞬间完成从一种稳态到达另一种新稳态的转换,所以电路中没有过渡过程。将换路后不发生过渡过程的电路称为静态电路。图7-1(a)所示电路不发生过渡过程的原因是电路中除电源元件外只含有电阻元件。因为电阻元件上的VCR是比例关系,电阻电路换路后不会产生过渡过程,所以称电阻为静态元件,电阻电路称为静态电路。因为描述电阻电路的方程是线性代数方程,所以由线性代数方程描述的电路为静态电路。

图7-1(b)所示的电路则不同,因为电路中有动态元件电容,换路后有过渡过程。含有动态元件的电路称为动态电路,动态电路换路后会产生过渡过程,或者说,发生过渡过程的原因是电路中含有动态元件。由于动态元件的VCR是微分或积分关系,所以由动态元件组成的电路换路后不可能瞬间进入稳态。就是说,含有动态元件的电路由一种稳态进入另一种稳态是需要时间(过渡)的。电容和电感都是动态元件,由它们组成的电路(动态电路)会发生过渡过程。

7.1.2动态电路的换路定则

分析动态电路的方法仍然是已知电路列方程,即根据KCL或KVL以及组成电路元件的VCR建立描述电路的方程。因为线性动态元件的VCR是微分或积分关系,所以描述动态线性电路的方程是线性常微分方程。因为状态变量反映出电路中储能元件的储能状态,它们是电路中不同于其他变量的独立变量,所以微分方程的变量通常选状态变量uC或iL。通过求解微分方程就可以得到动态电路的响应。

求解线性常微分方程的方法之一是经典法,根据经典法求得解答后,解答中的积分常数必须根据电路中的初始条件确定。如果设t=0为换路时刻,该时刻就是电路过渡(暂态)过程开始的时刻,则微分方程的变量uC和iL在t=0+时刻的值即为初始条件。

例7-1如图7-2(a)所示电路,已知US为直流电源,设t<0时电路已达到稳态,试求初始条件图7-2例7-1图

7.2一阶电路的零输入响应

所谓零输入响应,就是动态电路在没有外加激励时的响应。电路的响应仅仅是由动态元件的初始储能引起的。也就是说,是由非零初始状态引起的。如果初始状态为零,电路也没有外加输入,则电路的响应为零。

首先研究RC电路的零输入响应。图7-3(a)所示为RC电路,换路前电容已充电,并设uC(0-)=U0,开关S在t=0时闭合,则电路在0时刻进行换路。换路后,即t≥0+时的电路如图7-3(b)所示。

图7-3零输入RC电路

由图7-3(b),根据KVL,得

选状态变量uC为方程变量,再由

因为R、C为常数,所以该式是一阶线性齐次常微分方程。可见含一个储能元件的电路可以用一阶微分方程来描述,所以RC电路也称为一阶电路。

由微分方程解的结构可知,线性齐次常微方程的通解为uC=Aept,代入式(7-7)可得

于是可得出对应的特征方程为

得特征根为

则式(7-7)的通解为

根据换路定则和初始条件有uC(0+)=uC(0-)=U0,代入上式得积分常数A=uC(0+)=U0,于是式(7-7)的通解为

可求出电路中的电流为

由式(7-8)和式(7-9)可以看出,电容上的电压uC和电路中的电流i都是按同样的指数规律衰减的,其变化曲线如图7-4所示。

图7-4RC电路的零输入响应

例7-2图7-5(a)所示电路已达稳态,已知US=10V,R1=6Ω,R2=4Ω,C=0.5F,在t=0时打开开关S,试求t≥0时的电流i。图7-5例7-2图

解由式(7-8)知,只要知道RC电路的初值uC(0+)和时间常数τ就可以求出电容两端的电压uC,进而求出电流i。

图7-6零输入RL电路

式(7-12)对应的特征方程为

特征根为

通解为

iL、uL

和uR

随时间变化的曲线如图7-7所示,它们都是按同样的指数规律衰减的,衰减的快慢取决于时间常数τ,即取决于电路的参数R和L。

换路以后电阻吸收的能量为

可见,在整个过渡过程中,电感的初始储能——磁场能(LI2S/2)全部由电阻消耗了。

例7-3已知图7-8(a)所示电路已达稳态,其中IS=5A,R1=6Ω,R2=3Ω,L=1H,在t=0时合上开关S,试求t≥0+时的电流i。图7-8例7-3图

解画出t≥0+时的电路,如图7-8(b)所示,它是一个零输入的RL电路。对于零输入的RL电路,只要知道电路的初值iL(0+)和时间常数τ就可以求出电感中的电流iL,然后再求出图中的电流i。

换路前电路已达稳态,则

根据换路定则,有

7.3一阶电路的零状态响应

对于动态电路而言,反映动态元件储能大小的量称为状态变量,将状态变量在某一时刻的值称为状态。所谓零状态就是动态电路在换路时储能元件上的储能为零,即动态电路的零状态分别为uC(0-)=0V和iL(0-)=0A。零状态响应就是在零状态条件下由外加激励所引起的响应。

图7-9(a)所示为RC串联电路,已知uC(0-)=0V,在t=0时将开关S闭合,则电路在0时刻换路。根据KVL,在t≥0+时有图7-9RC电路的零状态响应

对于图7-9(a)所示的电路,换路以后的过程实际上是直流电源通过电阻给电容充电的过程。在整个充电过程中,电源提供的能量一部分被电阻消耗了,而另一部分以电场能的形式储存在电容中。由于电容上的电压最终等于电源电压,所以当充电完毕电容上所储存的电场能为CU2S/2。电阻消耗的能量为

图7-10RL电路的零状态响应

例7-4如图7-11(a)所示电路,在t=0时合上开关S,已知iL(0-)=0A,试求t≥0+时的电流i1。

图7-11例7-4图

解换路后首先应用戴维南定理将电感左侧的电路等效,其等效电路如图7-11(b)所示,其中uoc=3.75V,Req=1.25Ω,得时间常数为

7.4一阶电路的全响应与三要素法

7.4.1一阶电路的全响应如图7-12所示电路,换路后直流电压源被接到RC串联电路中,即非零输入;又已知uC(0-)=U0,即非零状态。根据KVL,有该方程解的结构为

图7-12一阶电路的全响应

该式右边的第一项为电路达到稳态时的响应,所以称为稳态响应;右边的第二项随着时间逐步衰减到零,所以为暂态响应。可见全响应可以表示为

或者

式(7-23)可以改写为

对比式(7-10)和式(7-16)知,式(7-24)右边的第一项为电路的零输入响应,右边的第二项为电路的零状态响应。则全响应又可以表示为

由此可见,电路的全响应是零输入响应和零状态响应的叠加,这是由线性电路的性质所决定的。

将全响应分解成稳态响应(强制响应)和暂态响应(自由响应),或者零输入响应和零状态响应是从不同的角度来分析全响应的构成,便于进一步理解动态电路的全响应。

7.4.2三要素法

有了三要素法以后,对于一阶电路就不需要由列微分方程开始来求电路中的响应了,可以直接利用公式(7-25)求取。或者说,只要求出相应的初值、终值和时间常数后直接代入式(7-25)即可。若f(t)是状态变量(uC或iL),则可以由换路定则求出初值f(0+);若f(t)为非状态变量,则利用状态变量的初值间接求出非状态变量的初值。由于是直流激励,当t→∞时,电容相当于开路,电感相当于短路,所以利用该条件可以求出终值f(∞)。因为是一阶电路,所以电路中只含一个动态元件(C或L),电路的其他部分是含源的一端口电路,它们可以分别表示成图7-13所示的形式。

图7-13一阶动态电路的一般形式

图7-13所示电路中的含源的一端口NS可以用戴维南或诺顿定理等效,则时间常数分别为

式中Req是含源一端口NS的戴维南或诺顿等效电阻。注意,若将NS变成N0,同样可以用三要素法求出响应。

图7-14例7-5图

图7-15例7-6图

7.5一阶电路的阶跃响应

7.5.1单位阶跃函数

单位阶跃函数是一种奇异函数,其定义为

该函数说明,当t≤0-时函数的值为0,当t≥0+时函数的值为1,其波形如图7-16(a)所示。因为该函数在t=0时发生跃变,并且跃变的幅度为1,所以称为单位阶跃函数。由于该函数在t=0时刻的导数不存在,所以称为奇异函数。

如果阶跃函数的跃变不是发生在0时刻,而是在t=t0的任意时刻,即

其波形如图7-16(b)所示。ε(t-t0)函数实际上是将ε(t)函数在时间轴上移动t0后的结果,所以称为延迟单位阶跃函数。

图7-16单位阶跃函数和延迟单位阶跃函数

7.5.2阶跃函数在电路中的应用

引入单位阶跃函数的目的是利用它来描述电路中的换路现象。首先看单位阶跃函数一个很重要的用途,即利用该函数可以“起始”任意一个函数f(t)。设f(t)是对所有t都有定义的一个任意函数,则

其波形如图7-17所示。

图7-17-用单位阶跃函数起始任意函数

根据单位阶跃函数的起始作用,可以为开关S建模。设图7-18(a)所示电路中的uS(t)是任一随时间变化的电压源,在t=0时刻将开关S由位置1合向位置2,对a－b端口而言相当于在零时刻将uS(t)接入。这一过程可以用ε(t)和uS(t)相乘来描述,即uS(t)ε(t),其结果可用图7-18(b)所示的电路表示。可见用函数uS(t)ε(t)可以描述图7-18(a)所示电路的开关过程。所以阶跃函数可以作为开关的数学模型,有时也称其为开关函数。同理,图7-18(d)所示电路中的函数iS(t)ε(t)可以描述图7-18(c)所示电路中的开关过程,它们均表示在t=0时刻将任一随时间变化的电流源iS(t)接到a－b端口。如果用函数ε(t-t0)为开关建模,则表示在t=t0时刻将电压源或电流源接通。

图7-18阶跃函数的开关模型

单位阶跃函数的另一个用途是用它可以描述一个幅值为1的矩形脉冲。例如图7-19(a)所示的矩形脉冲可以用图7-19(b)所示的两个阶跃函数波形来组合,即

同理,可以用阶跃函数描述任意时间段的矩形脉冲,即

图7-19由阶跃函数组成矩形脉冲

7.5.3一阶电路的阶跃响应

图7-20(a)所示为RC串联电路,已知激励为USε(t),求该激励下的响应uC。由于电路中的激励是由阶跃函数起始的,则所求的响应称为阶跃响应。图7-20

例7-7-试求图7-21(a)所示电路的阶跃响应iL。图7-21例7-7图

7.6一阶电路的冲激响应

阶跃函数可以为电路中的开关建模,或者可以起始一个函数。如果被起始的函数是电容电压uC

或电感电流iL,那么对uC或iL

求导应该是电容电流iC或电感电压uL。这样就涉及对阶跃函数的求导运算,将对阶跃函数求导所得到的函数称为冲激函数,由该函数激励下的响应称为冲激响应。

7.6.1单位冲激函数

单位冲激函数是对单位阶跃函数求导所得到的函数,其定义为

可见,单位冲激函数在t≠0处为零,在t=0处是未知的。因为ε(t)函数在t=0处的导数是∞,所以冲激函数δ(t)在t=0时是奇异的,因此它也是一种奇异函数。单位冲激函数也称为δ函数。由定义知,δ函数在整个时间域的积分等于1,即积分所得的面积为1。

图7-22冲激函数

7.6.2单位冲激函数的性质

下面介绍冲激函数的两个主要性质。

(1)由定义式知,单位冲激函数是单位阶跃函数的导数,即

反之,单位冲激函数对时间的积分是单位阶跃函数,即

(2)筛分性质。由于在t≠0处δ(t)=0,对于任意在t=0处连续的函数f(t),有

所以

可见,冲激函数δ(t)可以将任意函数f(t)在零时刻的值分离出来或者“筛”出来,所以该性质称为筛分性质,有时也称为抽样性质。

同理,利用延迟冲激函数可以筛分出任意t0时刻f(t)的值,即

7.6.3电容电压和电感电流的跃变

换路瞬间若电容的电流为有限值,则换路前后电容电压是连续变化的,即不发生跃变;若电感电压为有限值,则换路前后电感电流也不发生跃变。但是,如果电容电流或电感电压在换路瞬间不是有限值,确切地说是冲激函数,则电容电压或电感电流将发生跃变。设iC(t)=Qδi(t),其中Q表示冲激电流的强度,根据式(65)知

7.6.4冲激响应

如果一个动态电路的激励源为冲激(冲激电流或冲激电压),由冲激函数的定义知,冲激源的作用是瞬时发生的,就是说,在冲激作用以前电路中没有激励,由于冲激源携带有一定的能量,冲激过后冲激源所携带的能量转移到电路中。所谓冲激响应就是由冲激源所携带的能量引起的响应。