新教材适用2023-2024学年高中数学第3章函数的概念与性质3.3幂函数学案新人教A版必修第一册

3．3幂函数学习目标1．了解幂函数的概念．2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝的图象，掌握它们的性质．3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小．核心素养1．结合幂函数的图象，培养直观想象的核心素养．2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的核心素养.知识点1幂函数的概念一般地，函数_y＝xα_叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．想一想：幂函数的解析式有什么特征？提示：①系数为1；②底数x为自变量；③幂指数为常数．练一练：1．下列所给的函数中是幂函数的为(C)A．y＝2x5 B．y＝x3＋1C．y＝x－3 D．y＝3x[解析]选项C符合y＝xα的形式，对于A系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式．2．已知函数f(x)＝(m2－3m－3)x2m－3是幂函数，则m的值为(D)A．4 B．3C．－1 D．－1或4[解析]因为f(x)＝(m2－3m－3)x2m－3是幂函数，所以m2－3m－3＝1，解得m＝4或－1.知识点2幂函数的图象及性质(1)五个幂函数的图象(2)幂函数的性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性_增_x∈(0，＋∞)增；x∈(－∞，0)减_增__增_x∈(0，＋∞)减；x∈(－∞，0)减公共点都经过点(1,1)想一想：当α>0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？提示：图象都是从左向右逐渐上升．练一练：1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝－x2是幂函数．(×)(2)幂函数y＝x2是偶函数．(√)(3)幂函数y＝x－1是增函数．(×)(4)幂函数都过点(0,0)，(1,1)．(×)(5)幂函数的图象不过第四象限．(√)(6)当0<x<1时，y＝的图象在y＝x2的图象的下方．(×)2．3.17－1与3.71－1的大小关系为_3.17－1>3.71－1_.[解析]利用f(x)＝x－1＝eq\f(1,x).在(0，＋∞)上为单调递减，3.17<3.71，所以3.17－1>3.71－1.题型探究题型一幂函数的概念典例1已知函数f(x)＝，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．[分析]本题将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：(1)正比例函数y＝kx(k≠0)；(2)反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)；(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)幂函数y＝xα(α是常数)，转化为系数和指数的取值问题．[解析](1)若f(x)为正比例函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝2，,m2＋2m≠0，))∴m＝eq\f(－1±\r(13),2).(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq\r(2).[归纳提升]形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1均不是幂函数．对点练习❶有下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－eq\f(1,x)；④y＝eq\f(1,x)；⑤y＝；⑥y＝x3.其中，是幂函数的有_④⑤⑥_(只填序号)．[解析]①中，x2的系数为3，故不是幂函数；②中，y＝x2＋1不是xα的形式，故不是幂函数；③中，y＝－eq\f(1,x)＝－x－1，系数是－1，故不是幂函数；④中，y＝eq\f(1,x)＝x－1是幂函数；⑤中，y＝eqx\s\up8(\f(2,3))是幂函数；⑥中，y＝x3是幂函数．题型二幂函数的图象典例2在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq\f(1,a)的图象可能是(C)[解析]当a＜0时，函数y＝ax－eq\f(1,a)单调递减，且在y轴上的截距－eq\f(1,a)＞0，y＝xa在(0，＋∞)上单调递减，所以B，D项错误．对于A，C项，由y＝ax－eq\f(1,a)单调递增可知a＞0，则y＝xa在(0，＋∞)上单调递增，所以A项错误，C项正确．[归纳提升]解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断．对点练习❷(1)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp的图象如图所示，以下结论正确的是(C)A．m＞n＞p B．m＞p＞nC．n＞p＞m D．p＞n＞m(2)当α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第_二、四_象限．[解析](1)由图象知，n＞1,0＜p＜1，m＜0，故n＞p＞m.(2)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象分布在第一、三象限，y＝的图象分布在第一象限．所以幂函数y＝xαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝－1，\f(1,2)，1，3))的图象不可能经过第二、四象限．题型三幂函数性质的应用角度1比较幂的大小典例3(1)a＝，c＝的大小关系是(D)A．c＜a＜b B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．c＜b＜a(2)若，则a，b，c，d的大小关系是(C)A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞cC．b＞a＞c＞d D．a＞b＞d＞c[解析](1)因为y＝是增函数，所以，即a＞b＞c.(2)函数y＝是(0，＋∞)上的增函数，3＞2＞eq\f(1,2)＞eq\f(1,3)，所以b＞a＞c＞d.[归纳提升]比较幂值大小的2种方法对点练习❸比较下列各组数的大小：(1)1.10.1,1.20.1；(2)0.24－0.2,0.25－0.2.[解析](1)由于函数y＝x0.1在第一象限内单调递增，又因为1.1<1.2，所以1.10.1<1.20.1.(2)由于函数y＝x－0.2在第一象限内单调递减，又因为0.24<0.25，所以0.24－0.2>0.25－0.2.角度2综合应用典例4幂函数f(x)的图象过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).(1)求函数f(x)的解析式，并求出它的定义域；(2)试求满足f(1＋a)＞f(3－a)的实数a的取值范围．[解析](1)设幂函数为f(x)＝xα，由题意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，故函数f(x)的定义域为[0，＋∞)．(2)由于f(x)的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上单调递增，f(1＋a)＞f(3－a)，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a≥0，,3－a≥0，,1＋a＞3－a，))故a的取值范围是(1,3]．[归纳提升]解决幂函数的综合问题，应注意以下两点：(1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；(2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想．对点练习❹若幂函数f(x)过点(2,8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是_(2，＋∞)_.[解析]设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2,8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2，所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．误区警示用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论典例5已知幂函数y＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的取值范围．[错解]∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.又∵y＝是减函数，由<，得a＋1>3－2a.解得a>eq\f(2,3).[错因分析]该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制．只有在同一个单调区间内才可以在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化．[正解]∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.又∵y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，由，得a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2).[方法点拨]解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果．1．在函数y＝eq\f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为(B)A．0 B．1C．2 D．3[解析]显然，根据幂函数定义可知，只有y＝eq\f(1,x2)＝x－2是幂函数．2．如