湖北省黄冈市蔡河中学2023-2024学年高一数学第一学期期末综合测试试题含解析

湖北省黄冈市蔡河中学2023-2024学年高一数学第一学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.2．下列函数中，在R上为增函数的是（）A.y=2-xC.y=2x3．函数是上的偶函数，则的值是A. B.C. D.4．若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（）A. B.C. D.5．已知集合，，则（）A. B.C. D.6．已知角与角的终边关于直线对称，且，则等于（）A. B.C. D.7．已知集合，则=A. B.C. D.8．若则函数的图象必不经过（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，小小的折扇传承千年的制扇工艺与书画艺术，折扇可以看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设折扇的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当时，折扇的圆心角的弧度数为（）A. B.C. D.10．幂函数的图象过点，则（）A. B.C. D.11．已知角的终边与单位圆的交点为，则（）A. B.C. D.12．，，的大小关系是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．计算：_______14．角的终边经过点，则的值为______15．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)，如右图所示，则该几何体的侧面积为cm16．若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数a的值；（2）若不等式在有解，求实数m取值范围.18．某学校高一学生有1000名学生参加一次数学小测验，随机抽取200名学生的测验成绩得如图所示的频率分布直方图：（1）求该学校高一学生随机抽取的200名学生的数学平均成绩和标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）；（2）试估计该校高一学生在这一次的数学测验成绩在区间之内的概率是多少？测验成绩在区间之外有多少位学生？（参考数据：）19．已知直线经过点，且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）若直线与平行且点到直线的距离为，求直线的方程.20．已知函数.（1）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知函数___________，，求的值域.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.（2）若，，，求的取值范围.21．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上中线所在的直线方程为（1）求直线的方程；（2）求点的坐标．22．已知函数.（Ⅰ）对任意的实数，恒有成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数取最小值时，讨论函数在时的零点个数.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、C【解析】利用分段函数的单调性列出不等式组，可得实数的取值范围【详解】在上单调递增，则解得故选：C【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查分段函数，端点值的取舍是本题的易错2、C【解析】对于A，y=2-x=12x，在R上是减函数；对于B，y=x2在-∞，0上是减函数，在0，+∞上是增函数；对于C，当【详解】解：对于A，y=2-x=12对于B，y=x2在-∞，0对于C，当x≥0时，y=2x是增函数，当x<0时，y=x是增函数，所以函数fx对于D，y=lgx的定义域是0，+∞故选：C.3、C【解析】分析：由奇偶性可得，化为，从而可得结果.详解：∵是上的偶函数，则，即，即成立，∴，又∵，∴．故选C点睛：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.4、C【解析】先求解出时的解集，再根据偶函数图像关于轴对称，写出时的解集，即得整个函数的解集.【详解】由于函数是偶函数，所以，由题意，当时，，则；又因为函数是偶函数，图象关于轴对称，所以当时，，则，所以的解集为.故选：C.5、B【解析】化简集合A，由交集定义直接计算可得结果.【详解】化简可得，又所以.故选：B.6、A【解析】先在角终边取一点，利用角与角的终边关于直线对称写出对称点的坐标，即可求得，进而求得.【详解】由知角终边在第一或第二象限，在终边上取一点或，又角与角的终边关于直线对称，故角的终边必过点或，故，则.故选：A.7、B【解析】由题意，所以．故选B考点：集合的运算8、B【解析】令，则的图像如图所示，不经过第二象限，故选B.考点：1、指数函数图像；2、特例法解题.9、C【解析】设折扇的圆心角为，则圆面中剩余部分的圆心角为，根据扇形的面积公式计算可得；【详解】解：设折扇的圆心角为，则圆面中剩余部分的圆心角为，圆的半径为，依题意可得，解得；故选：C10、C【解析】将点代入中，求解的值可得，再求即可.【详解】因为幂函数的图象过点，所以有：，即.所以，故，故选：C.11、A【解析】利用三角函数的定义得出和的值，由此可计算出的值.【详解】由三角函数的定义得，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.12、D【解析】作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线，利用三角函数线来得出、、的大小关系.【详解】作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则，，，其中虚线表示的是角的终边，，则，即.故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数值的大小比较，一般利用三角函数线来比较，考查数形结合思想的应用，属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】求出的值，求解计算即可.【详解】故答案为：14、【解析】以三角函数定义分别求得的值即可解决.【详解】由角的终边经过点，可知则，，所以故答案为：15、80【解析】图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5cm，底面边长是8cm，侧面积为×4×8×5=80（cm2）考点：三视图求面积.点评：本题考查由三视图求几何体的侧面积16、【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，有,即，然后分别求得侧面积和底面积即可.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得：,即，所以其侧面积是，底面积是，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）；（2）.【解析】（1）函数是上的奇函数，利用，注意检验求出的是否满足题意；（2）由（1）得，把不等式在有解转化为在有解，构造函数，利用基本不等式求解即可.【详解】（1）由为上的奇函数，所以，则，检验如下：当，，，则函数为上的奇函数.所以实数a的值.（2）由（1）知，则，由得：，因为，等价于在有解，则，令，设，当且仅当或（舍）取等号；则，所以实数m取值范围.【点睛】关键点睛：把不等式在有解转化为在有解，构造函数出是解决本题的关键.18、（1）平均数，样本标准差.（2）概率为0.9356，全校测验成绩在区间之外约有64（人）【解析】（1）根据频率分布直方图中平均数小矩形底边中点乘以小矩形的面积之和；利用方差公式可求方差，进而可求标准差.（2）由（1）知，由频率分布直方图求出的概率即可求解.【详解】（1）数学成绩的样本平均数为：，数学成绩的样本方差为：.所以估计这批产品质量指标值的样本平均数，样本标准差.（2）由（1）知，则，所以（人）所以估计该学校在这一次的数学测验中成绩在区间之内的概率为0.9356，全校测验成绩在区间之外约有64（人）.【点睛】本题考查了频率分布直方图，根据频率分布直方图求出样本数据特征，需掌握公式，属于基础题.19、(1);(2)直线方程为或.【解析】⑴利用相互垂直的直线斜率之间的关系求出直线的斜率，代入即可得到直线的方程；⑵由已知设直线的方程为，根据点到直线的距离公式求得或，即可得到直线的方程解析：（1）由题意直线的斜率为1，所求直线方程为，即.（2）由直线与直线平行，可设直线的方程为，由点到直线的距离公式得，即，解得或.∴所求直线方程为或.20、（1）答案见解析（2）【解析】（1）根据复合函数的性质即可得到的值域；（2）令，求出其最小值，则问题转化为恒成立，进而求最小值即可.【小问1详解】选择①，，令，则，故函数的值域为R，即的值域为R.选择②，，令，则，因为函数单调递增，所以，即的值域为.【小问2详解】令.当时，，，；当时，，，.因为，所以的最小值为0，所以，即.令，则，所以，故，即的取值范围为.21、（1）；（2）【解析】(1)由,知两条直线的斜率乘积为-1,进而由点斜式求直线即可;(2)设，则，代入方程求解即可.试题解析：（1）∵,且直线的斜率为，∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即（2）设，则，∴，解得，∴22、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由可知，区间是不等式解集的子集，由此可得出实数的不等式，解出即可；（Ⅱ）由题意可知，，则，令，可得出，令，对实数的取值范围进行分类讨论，先讨论方程的根的个数及根的范围，进而得出方程的根个数，由此可得出结论.【详解】（Ⅰ），，对任意的实数，恒有成立，则区间是不等式解集的子集，，解得，因此，实数的取值范围是；（Ⅱ），由题意可知，，，令，得，令，则，作出函数和函数在时的图象如下图所示：作出函数在时的图象如下图所示：①当或时，即当或时，方程无实根，此时，函数无零点；②当时，即当时，方程根为，而方程在区间上有两个实根，此时，函数有两个零点；③当时，即当时，方程有两根、，且，，方程在区间上有两个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有四个零点；④当时，即当时，方程有两根分别为、，方程在区间上只有一个实根，方程在区间上有两个实根，此时，函数有三个零点；⑤当时，即当时，方程只有一个实