2015龙岩市质检数学（理）试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．=A． B． C． D．2．命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是A． B． C． D．0.080.040.030.02353025201510长度(mm)频率组距0.080.040.030.02353025201510长度(mm)频率组距（第3题图）A． B． C． D．4．已知复数（为虚数单位）为实数，则的值为（第5题图）正视图侧视图俯视图A． B（第5题图）正视图侧视图俯视图C． D．5．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是A． B． C． D．（第6题图）6．（第6题图）②；③；④；⑤若这些向量均以为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有A．①②B．②④C．①③D．③⑤7．已知过抛物线焦点的一条直线与抛物线相交于，两点，若，则线段的中点到轴的距离等于A． B． C． D．8．若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是A． B． C． D．9．已知函数是上的减函数，且函数的图象关于点对称．设动点，若实数满足不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．10．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：，，，……依此类推可得：，其中，．设，则的最小值为A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.（第11题图）11．如右图所示的程序执行后输出的结果为（第11题图）12．二项式展开式中的常数项为（用数字作答）.13．上，其中，分别为其左、右焦点．若的面积为16且，则的值为．14．若用1,2,3,4,5,6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有个（用数字作答）．15．已知动点在函数的图像上，定点，则线段长度的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分13分）已知在中，角所对的边分别为，，且为钝角．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的取值范围．17.（本小题满分13分）某运动队拟在2015年3月份安排5次体能测试，规定：依次测试，只需有一次测试合格就不必参加后续的测试．已知运动员小刘5次测试每次合格的概率依次构成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为．（Ⅰ）求小刘第一次参加测试就合格的概率；（Ⅱ）在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下，记小刘参加后续测试的次数为，求随机变量的分布列和数学期望．（第18题图）（第18题图）如图，已知是圆的两条互相垂直的直径，直角梯形所在平面与圆所在平面互相垂直，其中，，，，点为线段中点．（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）若点在线段上，且点在平面上的射影为线段的中点，请求出线段的长．（第19题图）19.（（第19题图）如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为．一条不经过原点的直线与该椭圆相交于、两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，直线与的斜率分别为．试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数），曲线在处的切线与直线互相垂直.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）设，．问：是否存在正常数，对任意给定的正整数，都有成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）已知二阶矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量，属于特征值3的一个特征向量．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若向量，计算的值．（2）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，设是圆上任一点，连结并延长到，使．（Ⅰ）求点轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）

说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1-5ACCAD6-10BDBCC二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．1512．1013．714．28815．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由得，得于是又，∴……………6分（Ⅱ）∵为钝角于是，又，∴由正弦定理可知，所以又，∴…………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设小刘五次参加测试合格的概率依次为，则即，，解得或（舍去）所以小刘第一次参加测试就合格的概率为.…………6分（Ⅱ）的可能取值为1，2，3，，，，所以的分布列为………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题设且平面平面，可知平面又是圆的直径，因此，以点为原点可建立空间直角坐标系如图由于是圆的两条互相垂直的直径，且所以四边形是边长为4的正方形则，，，，，，，，是平面的法向量，所以直线平面………7分（Ⅱ）点在线段上，可设（第18题图）的中点为，，（第18题图）由题设有平面，，解得，线段的长为………………13分19.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题设可知因为即，所以．又因为所以椭圆的方程为：………4分（Ⅱ）解法一：由知:，…………………5分设直线的方程为，直线的方程为．联立方程组，消去得:解得点的坐标为．……8分同理，可解得点的坐标为……9分由三点共线，有，………………10分化简得．由题设可知k1与k2同号，所以，即．…………12分所以，存在使得使得.……………13分解法二：由知，，直线方程化为，所以过定点……5分当直线的倾斜角时，，此时，，由此可猜想：存在满足条件，下面证明猜想正确…7分联立方程组，设，则，…10分，所以时，=………………12分由此可得猜想正确，因此，存在使得成立………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意得：，……………4分（Ⅱ）对任意的，恒成立等价于对恒成立，即对恒成立令,则由得：或（舍去）当时，；当时，在上递减，在上递增………9分（Ⅲ）=，……………10分因此有由得，…………11分，取()，则，………………12分当趋向于时，趋向于．……………13分所以，不存在正常数，对任意给定的正整数，都有成立．…………14分（2）（Ⅰ）圆