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第三章函数逼近

(ApproximatingFunction)1.引言函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数误差为最小，即距离为最小〔不同的度量意义〕举例：对被逼近函数f(x)=sqrt(x〕,在区间［0，1］上按三种不同的逼近方式求其形如p1(x)=ax+b的逼近函数.2.解〔1)按插值法，以x0＝0,x1＝１为插值节点对f(x)作一次插值所得形如(1)式的p1(x)是p1(x)=x.②按以下的距离定义dis(f(x),p1(x))=‖f(x)-p1(x)‖∞=max|f(x)-p1(x)|的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的的p1(x)是p１(x)=x+1/8.③按距离dis(f(x),p１(x))=‖f(x)-p1(x)‖２

=(∫01[f(x)-p１(x)２dx)1/2

的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的形如(1)式的p１(x)是p１(x)=4/5x+4/153.可见，对同一个被逼近函数，不同距离意义下的逼近，逼近函数是不同的.4.5.正交多项式一、正交函数族与正交多项式6.7.8.9.10.二、勒让德多项式11.12.13.14.15.三、切比雪夫多项式16.17.18.19.四、其他常用正交多项式20.21.22.最正确一致逼近多项式一、根本概念及其理论23.最正确平方逼近一、函数的最正确平方逼近24.25.26.27.28.例这是C［0,1］上的最正确平方逼近问题.取０＝１，１＝x,P1［0,1］＝span｛1,x｝，记p1(x)=a０＋a１x,(０,0)=∫０.０dx=1，(０,1)=∫1.xdx=1/2(1,1)=∫1.1dx=1/3，同样可求得(０,g)=2/3，(1,g)=2/5.所以，关于a０，a１为未知数的法方程组为解得a０=4/15，a１＝4/5即p1(x)=4/5x+4/15为P1［0,1］中对g(x)=x的最正确平方逼近元.求g(x)=x在P1［0,1］

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