2023年云南省屏边县高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数工满足则彳=()

Z

11.11.

A.—+—<B.----z

2222

11.11.

C.---F—ZD.------1

2222

2.若不等式+在区间(0,+8)内的解集中有且仅有三个整数，则实数”的取值范围是()

932932]

_21n2，ln521n2'而J

(9329

Uln2，hi5----,+oo

21n2

3.若向量后=(0,-2),3=(6,1),则与2而+5共线的向量可以是()

A.(>/3,-1)B.(-1,百)C.(-73,-1)D.(-1,-73)

ccqX

4.函数f(x)=——；的部分图像大致为()

-2,+2r

5.设/。)={"'一，则/(/(—2))=()

2,x<Q

6.i是虚数单位，z=—贝！||z|=()

1-z

A.1B.2C.y/2D.25/2

7.如图，正三棱柱ABC-44G各条棱的长度均相等，。为人4的中点，M,N分别是线段和线段CG的动点

(含端点)，且满足BM=GN,当运动时，下列结论中不正理的是

B

A.在ADMN内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面DMN_L平面BCG4

C.三棱锥4-OMN的体积为定值

D.ADMN可能为直角三角形

8.已知A=―------+—--------<kwZ),则A的值构成的集合是()

sinecoscz

A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2}

9.设过抛物线y?=2Px(p>0)上任意一点p(异于原点。)的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A,8两点，直线

s

。尸与抛物线丁=8川(〃>0)的另一个交点为Q,则蕾丝■=()

A.1B.2C.3D.4

10.已知〃zeR,复数Z1=l+3i,z2=m+2i,且为实数，则加=()

22

A.B.-C.3D.-3

33

92

11.已知双曲线c：=im>0力>0)的左、右两个焦点分别为片，F,若存在点P满足

ab~2

讣出6|=4:6:5,则该双曲线的离心率为()

55

A.2B.-C.—D.5

23

12.已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABC。-ABGA中，尸是上底面AgGA上的动点•给

出以下四个结论中，正确的个数是（）

①与点。距离为G的点p形成一条曲线，则该曲线的长度是女；

②若DP〃面ACB1,则0P与面AC&4所成角的正切值取值范围是半，血：

③若DP=5则OP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6拒.

A.0B.1C.2D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AA8C中，角A，B,C的对边分别为b,c>若sinA+sinB=GsinC,且c=l,则AA6C面积的

最大值为.

2,x>0

14.若函数/（x）=2八，则使得不等式f（/3））>0成立的。的取值范围为______.

-,x<0

15.在长方体ABC。-44aA中，AB=\,AD=2,AA=1,E为8C的中点，则点A到平面AOE的距离是

16.如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折

痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三

棱柱的体积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知尸是抛物线。：：/=2〃%（。>0）的焦点，点P在x轴上，。为坐标原点，且满足。户=；。天，经

过点P且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A、B两点,且|A同=8.

(1)求抛物线C的方程；

(2)直线/与抛物线。交于"、N两点,若丽・丽=-64,求点尸到直线/的最大距离.

18.(12分)设函数/(x)」+ln'+l)(x〉0).

k

(1)若/■(》)>——恒成立，求整数攵的最大值；

X+1

(2)求证：(l+lx2)-(l+2x3)-..[l+nx(/i+l)]>e2M-3.

19.(12分)求下列函数的导数：

(1)/(力=/吟|

(2)/(x)=(sin2x+l)2

22

20.(12分)已知椭圆C:[+5=l(a>b>0)的两个焦点分别为Fi(一叵,0)、F2(血，0).点M(1,0)

a~b"

与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m#3).过点M任作直线1与椭圆C相交于A、B两点，

设直线AN、NP、BN的斜率分别为ki、k2、k3,若ki+k3=2k2,试求m,n满足的关系式.

21.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinC=sinB+sin(4-B).

(1)求角A的大小

(2)若〃=近了ABC的面积5=为5,求小ABC的周长.

2

2

22.(10分)设椭圆E:5+y2=i,直线4经过点M(m,0),直线经过点N(〃,O),直线//直线/?,且直线4,12

分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.

(1)若加，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线4,x轴，求四边形A8CD的面积；

(II)若直线4的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形，求证:加+〃=0;

(HI)在(H)的条件下，判断四边形ABC。能否为矩形，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.

【详解】

111+/1+z11.

z1-z(1-z)(l+z)222

—11

所以，z=---z.

22

故选：B.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.

2.C

【解析】

由题可知,设函数/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,根据导数求出g(x)的极值点，得出单调性，根据

aln(x+l)-无3+2/>0在区间(0,+8)内的解集中有且仅有三个整数，转化为/(x)>g(x)在区间((),+/)内的解集

中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数”的取值范围.

【详解】

设函数/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,

因为g'(x)=3%2-4x,

所以g'(x)=0,

-4

二.x=0x=9

3

4

f

因为0cxem时，g(x)<0f

4

或尤<0时，g'(x)>0,g(0)=g(2)=0,其图象如下:

当心0时，/(x)>g(x)至多一个整数根;

/(3)>g(3)

当a>0时，/(x)>g(x)在(。,+8)内的解集中仅有三个整数，只需［;:

17(4),,g(4)

<zln4>33-2x32

,aln5„43-2X42，

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.

3.B

【解析】

先利用向量坐标运算求出向量2沅+n，然后利用向量平行的条件判断即可.

【详解】

•.•用=(0,—2),河=(6,1)

2m+n=

卜1,⑹=一*("一3)

故选B

【点睛】

本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定，属于基础题，在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应，切

不可错位.

4.A

【解析】

根据函数解析式，可知/(X)的定义域为xeR,通过定义法判断函数的奇偶性，得出/(-x)=/(x),贝!|〃x)为偶

函数，可排除C,。选项，观察48选项的图象，可知代入x=0,解得/(())>(),排除8选项，即可得出答案.

【详解】

解：因为/3=卓7，

所以/(力的定义域为xwR,

')2-X+2X2、+2一，,)

•••/(X)为偶函数，图象关于>轴对称，排除c,。选项，

且当x=0时，/(0)=1>0,排除3选项，所以A正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.

5.C

【解析】

试题分析：2)=2」=；,==1—5=故C正确.

•yyV4乙乙

考点：复合函数求值.

6.C

【解析】

由复数除法的运算法则求出Z,再由模长公式，即可求解.

【详解】

由z=2,、')=-l+i,\z\=yf2.

故选:C.

【点睛】

本题考查复数的除法和模，属于基础题.

7.D

【解析】

A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；

B项利用线面垂直的判定定理；

C项三棱锥A-DMN的体积与三棱锥N-AtDM体积相等，三棱锥N-A.DM的底面积是定值，高也是定值，则

体积是定值；

D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.

【详解】

A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确；

B项，如图：

当M、N分别在BBi、CCi上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCCiBi的中心O,由DO垂直于平面BCCiBi

可得平面。平面故正确；

C项，当M、N分别在BBi、CCi上运动时,△AiDM的面积不变,N到平面AiDM的距离不变，所以棱锥N-A.DM的体积

不变，即三棱锥Ai-DMN的体积为定值，故正确；

D项，若ADMN为直角三角形，则必是以NMDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BG,而此时DM,DN的长大于

BBi,所以△DMN不可能为直角三角形，故错误.

故选D

【点睛】

本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性

质的应用，是中档题.

8.C

【解析】

对攵分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.

【详解】

女为偶数时，4=吧区+%q=2；左为奇数时，4=一些吧一期£=—2,则A的值构成的集合为{2,-2}.

sinacosasinacosa

【点睛】

本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.

9.C

【解析】

画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标,

最后代入坐标，求得三角形面积比.

【详解】

作图，设与。尸的夹角为。，则△ABQ中AB边上的高与AABO中AB边上的高之比为密丝=丝，

OPsin。OP

.•.3^=震=%二"=强一1，设P（芥，％］，则直线°尸：'=今"，即＞=&x，与V=8px联立，解得

2

S^ABOOPyPyP1P）而x

4y.

ye=4y,,从而得到面积比为上一1=3.

X

【点睛】

解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.

10.B

【解析】

把完2=〃?-2,和4=1+3,代入4心2再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m值.

【详解】

2

因为4Z=（1+3。（加一2。=（加+6）+（3加一2）i为实数，所以3加一2=（）,解得加=§.

【点睛】

本题考查复数的概念，考查运算求解能力.

11.B

【解析】

利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.

【详解】

忻用55M.

e=：----；­；---：=---=一•选B.

|尸周一归用6-42

【点睛】

本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.

12.C

【解析】

①与点O距离为的点P形成以A为圆心，半径为正的，圆弧MN,利用弧长公式，可得结论；②当P在4（或

4

G）时，与面ACG4所成角ND40（或NQG。）的正切值为迈最小，当P在。I时，DP与面AC£4所成角

3

NDOQ的正切值为0最大，可得正切值取值范围是［半,正］;③设P（x,y,1）,则/+y2+1=3,即f+y2=2,

可得。P在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和.

【详解】

如图：

①错误，因为RP={DP?-DD：=《（g¥—E=6，与点O距离为百的点P形成以R为圆心，半径为0的

,圆弧MN,长度为1.2兀.血=立兀；

442

②正确，因为面AOG〃面AC4,所以点P必须在面对角线4G上运动，当P在4（或G）时，0P与面AC£4

所成角ND4Q（或NOG。）的正切值为逅最小（。为下底面面对角线的交点），当P在。I时，0P与面AC04

3

所成角NOOQ的正切值为夜最大，所以正切值取值范围是半，夜；

③正确，设P（x,y,l）,贝!|/+/+1=3,即/+y2=2,op在前后、左右、上下面上的正投影长分别为序］，

6+1,尸丁，所以六个面上的正投影长度之2（Jy2+1+&+1+V2）＜22qy+；x+1+V2=60,

当且仅当P在。I时取等号.

故选：C.

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.显

4

【解析】

利用正弦定理将角化边得到a+人=6,再由余弦定理得到©05。=二-1,根据同角三角函数的基本关系表示出

ab

sinC,最后利用面积公式得到S=+—=-y/-l+2ab,由基本不等式求出ab的取值

22\[ab)ab2

范围，即可得到面积的最值；

【详解】

解：•.•在AABC中，sinA+sinB=V3sinC，:・a+b=6c=6,

时等号成立,

AS=-y/-1+2ab<-...ZVWC面积的最大值为注.

224

故答案为：变

4

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.

14.[O.+oo)

【解析】

分a20,“<0两种情况代入讨论即可求解.

【详解】

2,x>0

••"(X)=<2八，

一,x<0

当aZO时，/(/(a))=/(2)=2>0,.•.aNO符合；

当a<0时，=j=a<0,.■〃<()不满足/(/(a))>0.

故答案为：[0,+8)

【点睛】

本题主要考查了分段函数的计算，考查了分类讨论的思想.

15.逅

3

【解析】

利用等体积法求解点到平面的距离

【详解】

由题在长方体中，K._AD£=lxlx2xlxl=l,

AME323

12

A,D=y[5,DE=y[2,EAt=y]AiA+AE

所以4。2=。£+4]，所以

S"0E=gX啦X百=当

设点A到平面\DE的距离为h

ADE=-X^^X解得力

A”3233

故答案为：逅

3

【点睛】

此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.

16.1

【解析】

由题意得正三棱柱底面边长6,高为百，由此能求出所得正三棱柱的体积.

【详解】

如图，作AOL8C,交BC于O,AO=7122-62=673-

由题意得正三棱柱底面边长E尸=6,高为〃=百，

二所得正三棱柱的体积为：

V=SgEF.〃=gx6x6xsin60°x>/3=27.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求

解能力，求解时注意翻折前后的不变量.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)/=16x；(2)4.

【解析】

(D求得点P的坐标，可得出直线A8的方程，与抛物线的方程联立，结合|A5|=8求出正实数，的值，进而可得出

抛物线的方程;

（2）设点/（玉，x）,N（w，%）,设/的方程为X=〃9+〃，将直线/的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理,

结合西•丽=-64求得”的值，可得出直线/所过定点的坐标，由此可得出点尸到直线/的最大距离.

【详解】

（1）易知点尸已,0又加=2所以点尸七°则直线A3的方程为x=《.

O

X=一

联立，8，所以|A目4_/b”8.

y?=2px

故抛物线。的方程为：/=i6x；

y2—16x

(2)设/的方程为％=阳+〃，联立<'</-16mj-16n=0,

x=my+n

设点M（N，X）,N（x,,y,）,则%当=一16〃，所以月工,=（/%）=".

,256

所以OMON=%工2+XM=I,—16〃=—64,解得“=8.

所以直线/的方程为x=/盯+8,恒过点（8,0）.

又点尸（4,0）,故当直线/与x轴垂直时，点尸到直线/的最大距离为4.

【点睛】

本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求

解能力，属于中等题.

18.（1）整数Z的最大值为3；（2）见解析.

【解析】

（1）将不等式/（X）〉+变形为左＜（X+1）+（X；1）In（」+1）,构造函数Mx）=（x+l）+（x：）ln（x+l）,利用

导数研究函数y=〃（x）的单调性并确定其最值，从而得到正整数k的最大值;

3']1

(2)根据(1)的结论得到ln[l+〃(〃+l)]>2—即可=2-31%,利用不等式的基本性质可证得结论.

n+1

【详解】

(1)由/(x)J+ln(x+l)〉上得z<(x+l)+(x+l)Mx+l),

Xx+1X

(x+l)+(x+l)ln(x+l)x-l-ln(x+l)

令〃(x)=M(x)-2

xX

令g(x)=x-l-ln(x+l),g<x)=l——j〉0对Vx>0恒成立,

所以，函数y=g(x)在(0,+纥)上单调递增,

•.•g(0)=7<0,g(l)<0,g(2)<0,g(3)>0,

故存在不«2,3)使得g5)=0,即XoT=ln(Xo+l)，

从而当x>/时，有g(x)>g(x0)=O,〃'(力>0,所以，函数y=〃(x)在伍，长o)上单调递增;

当时,有g(x)<g(x0)=0，〃'(％)<0,所以，函数y=Mx)在(0,%)上单调递减.

所以，h(x)mn=〃(Xo)=(*°+l)+(x°+(ln(Xo+l)=(Xo+l)+(Xo+((Xo_l)=Xo+]G(3,4),

王)玉)

:.k43,因此，整数k的最大值为3；

(2)由(1)知l+ln(x+l)>_2-恒成立,.]n(x+i)>/rL_i=2———>2--,

xx+1X+lX+lX

3\1、

令l=〃(〃+1)(〃£N*)则++>2-2-3-一一—

〃("+1)\nw+1)

n+l)]>2-3^-1

ln(l+lx2)>2-3ln(l+2x3)>2-3

〃+1

上述等式全部相加得In(l+lx2)+ln(l+2x3)+……+ln[l+〃(〃+l)]>.)>2〃—3,

所以，In[(l+lx2)(l+2x3)……(l+n(/i+l))]>2/i-3,

因此，(1+1X2>(1+2X3)…[l+”x(“+l)]>e2-3

【点睛】

本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题.

19.(1)/'(6=-0.05产工+|；(2)/(x)=2sin4x+4cos2x.

【解析】

(1)根据复合函数的求导法则可得结果.

(2)同样根据复合函数的求导法则可得结果.

【详解】

⑴令"(x)=-0.05x+l,(p(u)=,则=,

而〃'(x)=-0.05,(p'(u)=eu,故/'(xbeRg+ixGO.OSX-O.OSe405*。

(2)令a(x)=sin2x+l,(p(u^-ir,则/(x)=,

而/(x)=2cos2x,°'(")=2"，故/'(x)=2cos2xx2〃=4cos2x(sin2x+l),

化简得至！IJ"(x)=2sin4x+4cos2x.

【点睛】

本题考查复合函数的导数，此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合，再根据复合函数的求导法则可得所求的

导数，本题属于容易题.

2

20.(1)—+y2=1；(2)m—n—1=0

3

【解析】

试题分析：(1)利用M与短轴端点构成等腰直角三角形，可求得b的值，进而得到椭圆方程；(2)设出过M的直线

1的方程，将1与椭圆C联立，得到两交点坐标关系，然后将kI+k3表示为直线1斜率的关系式，化简后得k|+k3=2,

于是可得m,n的关系式.

试题解析：(1)由题意，c=夜，b=l,所以a=［廿+d=g

v-2

故椭圆C的方程为上+y2=l

3.

(2)①当直线1的斜率不存在时，方程为x=L代入椭圆得，y=±如

3

不妨设A(L逅)，B(1,一逅)

33

逅旦

因为ki+L=33=2

飞-+-

又ki+kj=2k2,所以k2=l

〃一2

所以m,n的关系式为一一=1,即m-n-l=0

m-3

②当直线1的斜率存在时，设1的方程为y=k(x-1)

2

将y=k(x—1)代入-r^-+y2=],

整理得：(3k2+3l)x2-6k2x+3k2-3=0

、6攵23攵2一3

设A(xi,yi),B(xz,y2),则--——=—3——

123k2+1123公+1

又yi=k(X]—1),yz=k(xz—1)

2-y।2-乃=(2,)(342)+(2-%)(3一%)

所以ki+k=

33—Xj3—x?(3—%])(3—々)

_—1)](3_々)+[2_%(%一1)](3—西)

玉元2-3(玉+々)+9

2kxyx2-(4攵+2)(%+x2)+62+12

xxx2-3(x,+x2)+9

3A：2-36kl

2Zx^^—(4攵+2)x^^+6攵+12

一34?+13;P+1_______

3k2-3,6k2八

3公+13k2+\

一2(12公+6)-2

12抬+6一

〃一2

所以2k2=2,所以k2=——-=1

m-3

所以m,n的关系式为m—n—1=0

综上所述，m,n的关系式为m—n—1=0.

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，

21.(I)A=—；(II)5+J7.

3

【解析】

试题分析：(1)由已知可得5由。=5皿(4+6)=5出3+5由(4-8)=2(：054?B^nB$=cosA=L

2

]3^/3

n,、=—he-sinA————<bc=6

=A=—；(H)依题意得：{MBC22=>{,22=>S+C)=3+c+2历=25

3,,,/?+c=13

a'-h'+c~-2bccosA

n"+c=5na+b+cuS+SnAABC的周长为5+b.

试题解析：(DVA+B+C^TT,J.C=〃-(A+B).

/.sinC=sin(A+B)=sinB+sin(A-B),

:.sinA?cosB+cos=s加3血nA?B-A