2023届江苏省扬中市重点中学高三年级上册期末数学模拟试题（含答案）

扬中市重点中学2022-2023学年高三上学期期末数学模拟试题

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知4={xy=ln(x-l)+—>B=<xlog2x>.则(津)为(C)

A.(-oo,0]B.(-℃,—]C.(-oo,l]D.(-oo,2]

2

2."a>0"是'’点(0,1)在圆x2+y2-2“x-2〉+a+l=0外”的(B)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.己知a=#^，b=log5±,c=(')29,则(B)

二21J

C.b>c>aD.c>a>b

则。的取值范围是(A)

CD.(0』

5.已知函数/（司=晦,臃2］，若/（玉）=/（元2）（其中Xf.），则f的最小值为

B)

33

A.-B.-C.2D.4

42

22

6.若双曲线C:=—4=1（。>0/>0）的渐近线与圆。一3）2+：/=1无交点，则C的离心率的取值范

a~b~

7.已知函数/（x）=xe、，函数

力（x）=—,函数

力（x）=2些，函数

X

veinV

力（司=一万一，四个函数的图

象如图所示，则工（X），力（X），力（X），力（X）的图象依次为（A）

A.①②③④B.够④③C.②①③④D.②①④③

8.2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美

丽的雪花一“科赫雪花”.它可以这样画，任意画一个正三角形耳，并把每一边三等分：取三等分后的一

边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段"擦掉，形成雪花曲线舄；重复上述两步，画出更小

的三角形.一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，鸟,鸟,…，匕，….设雪花曲线《的边长为耳，边数为"，

周长为/“，面积为S,，若4=3,则下列说法正确的是（B）

Q

B.S]WS3<《S[

c.{凡},{2},{/,,},{5,,}均构成等比数列

D.S“=S,I+»4T

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.对任意实数X,有（2%-3）9=%+4*-1）+。2（龙-1）2+。3（%-1）3++。9（尤-1）9•则下列结论成立的

是（BCD）

A.%=1B./=—144

C.%+4+/+L+%=1D.%—q+%—%+,,,一%=—3“

°,|lnx|,x>0）1

10-设函数若方程"⑼2—次冷+而=°有六个不等的实数根，则实数〃可

取的值可能是（BC）

12

A.—B.一C.1D.2

23

11.如图，8是AC的中点，BE=2OB，尸是平行四边形BCDE1内（含边界）的

一点，且QP=xQA+yO3（x,y£R）,则下列结论正确的为（BCD）

A.当x=0时，ye[2,3]

B.当P是线段CE的中点时，x=-1,y=3

c.若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段

D.工一丁的最大值为—1

12.在矩形ABC。中，A3=2，AD=bE为QC的中点.将△CBE绕直线BE旋转至aGBE的位置,

尸为AG的中点，则（BC）

A.存在某个位置，使得BE_LAGB.存在无数个位置，使得Ob〃平面GBE

C.当二面角G-6E—A为120。时，点尸到平面的距离为逅

4

D.当四棱锥ABE。的体积最大时，以A£为直径的球面与被平面GBE截得的交线长为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填

写在答题卡相应位置上.

13.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人,

使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的）是较小的两份之和，则最小一份的量为一三

14.重庆八中某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布（105,贯）.若尸。崂h120）=1,则从参加这

次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是—.

32

15.在4ABC中，a,Z?,c分别是角A,B,C的对边，已知sin（2A+上）=1*,b=l,AABC的面积为也，

622

则一—的值为2.

sinB+sinC

221

16.已知椭圆Cr：A方=l("">0),C的上顶点为A,两个焦点为耳，生，离心率为已.过耳且

垂直于AE的直线与C交于。，后两点，MDE的周长是13,则|QE|=—6—.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明

、证明过程或演算步骤.

17.在△ABC中，a,Z?,c分别是角A,B,C的对边，已知bcosA+赵^=c.

3

(1)求cos3；

(2)如图，。为AA8C外一点，若在平面四边形ABCD中，D=2B,且AD=LCD=3,BC=46,

求A3的长

17.解：(1)QsinBcosA+^^sinA=sinC，

又c=x-a+场.

所以smBco$4+?$jnd-

故sinScosA+弯sin.4-sinJcosB+cosJsinB.

所以sinJcosB~^smA,

又dw(0.jt).所以sin/KO,故cosB一害.

(2)因为D=1B,所以cos。-2cos'B—1=一5

又在ZUCD中.AD^l,CD=3.

所以由余弦更度可祥/Wv.Q+C〃-UDCDcosD

=l+9-2x3x(-l)=12>

所以/c=H5.

在ZUBC中.BC-^6.AC=lyJi.cosB普.

所以由余弦定等可得，0—4¥+80-乂3BCcosB.

即12=.0+6-2.4Bx#x坐化曾得.0-旭5-6=0.

解存.4=3啦.

故.空的长为3s.

18.已知等差数列｛叫前〃项和为S“,S4=4s2,%=2a“+1(〃GN*)；数列也｝是等比数歹U，且4=2,

地,2b3,4成等差数列.

(1)求数列｛4｝,｛2｝的通项公式；

(2)若数列也｝的前”项和为T“，求97；+6〃x(—2)向的表达式.

18.解：(1)设｛4｝公差为d,

54=4s2=>4q+4(丁)[=4(2a,+d)=d=2q,

a,”=2a“+1—q+(2〃—1)d=2[4+(〃—l)d]+1-%-d+1=0,

联立解得：4=1,。=2,.••4=2〃-1；

设也｝公比为

4b2、2b3、4成等差数列=>4仇+a=44=>4+/=4q=(g-2)2=0=>q=2,

:也=2?i=2".

故a“=2〃-1,bn=2".

(2)令(一1)%也=(-1)"(2n-l)-2n=c„,

则C2“+C2"T=(44+1)""，

当〃为偶数时，

(=C]+<?2++Cn,

7；,=5.2'+9-23++(2〃+1>2”1①

47；,=5-23++(2〃一312"1+(2〃+1>2向，②

①一②得：-37；=5-2+4-23+4-25+.+4-2B-1-(2n+l)-2n+1,

/n-]、

8-1-4r/、,

,,+l

IJz„+1(6n-l)-2+2-

—37；=10+4•-1_4一(2〃+l>2向n7；,=\一勺-------

当〃为奇数时，7；=7；,_,+c,,=伍〃二7〉2+2_但〃—1）.2"，

9

・•・"为偶数时，

94+6〃•（-2）'用=（6〃-1）•2向+2-6〃•2'用=2-2"+i,

”为奇数时，

97；,+6n•（-2）'用=（6〃—7）•2"+2—9•（2〃-1）•2"+6〃♦2"1=2'用+2.

19.史明理，学史增信，学史崇德，学史力行.近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查

活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调

查，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表:_____________________

成绩/分165,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

频数40902004001598040

（1）求这1000份试卷成绩的平均数?（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

（2）假设此次测试的成绩X服从正态分布N3,/）,其中〃近似为样本平均数，，近似为样本方差52,已知

s的近似值为6.61,以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则

市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？

（3）该市教育局准备从成绩在［90,100］内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随

机抽取3份进行进一步分析，记丫为抽取的3份试卷中测试成绩在［95,100］内的份数，求丫的分布列和数

学期望.

参考数据：若X~N@,『），则P（〃一<r<XW〃+<7）=«0.6827,尸@一2<7<*・〃+2<7）七0.9545,

p（/i-3。VXW"+3加0.9973.

19.解：⑴由己知得:

4090200-40015080小°40仙「。一。

JC=------,67.5♦*72.5+------*77.5^*82.5+------*87.5♦,92.$♦*97.5=8215

1000100010001000100010001000

(2)由已却尸(x>〃-。)=P(x>75.54)=1+°=o84135,

答：市委宣传部预期平均成绩大约为75.5分；

(3)由分层油样得抽取的6分试卷中2份在［95,100)内，4份在［90,95)内，Y的可能取值为0.IZ

则%=。)=等=，(丫=|)=等="«=2)=等4

即Y的分布列为:

Y0\2

P3£

555

所以£(丫)=1

20.如图，在梯形A3CD中，/朋D为直角，AD//BC，AB=AD=；BC=20,将三角形械)沿

8D折起至P3D.,

(1)若平面P8D1平面3CQ,求证：A|--------------火/卜F一

PB1PC-,0斤

(2)设£是PC的中点，若二面角£一班)一C/\/zX

为30。，求二面角产一比)一。的大小./\

20.解：(1)由题设知：B°

△PBD为等腰直角三角形且PBLPD,

PB=PD=2y/2,则2。=4,

又NDBC=45°,BC=4五,

在△BCD中由余弦定理得：CD=4,r

所以BD2+CD2=BC2,即3D_LCO,AS.

法一：又面P8Q_L面BCD,/•

面PB。ffiBCD=BD,CDU面BCD,/!

所以CD上平面PBD,PBu面PBD,/

则CDLPB,乂PDcCD=D,3，「…:二冬

所以PB上面PCD,PCu面PCD,MPB±PC.

法二：取B£>中点Q,连接CQ,

在Rt&CDQ中CQ?=DQ2+CD2=20,/,,：

连接PQ，则尸。=2且PQ,8。，

又面PBQ_L面BCQ,面®BCD=BD,尸。<=面28。，

所以P。，面BC£>,CQu面BCD,则PQLCQ,I'

在R2PQC中PC2=PQ2+CQ2=24,又3c2=32,

所以，在APBC中BC~=PB-+PC2»即PBLPC.

(2)法一：设M、N分别是8。、8c的中点，连接PM、MN,

则PM1BD，MN上BD,

又PMcMN=M,则BD1面/W,

所以NPMN是二面角尸一皮)一。的平面角.

在面/W上过M作MzlMN,

如图以M为原点，直线MB为X轴，直线MN为y轴，直线此为z轴，建立空间直角坐标系.

则3(2,(),()),C(-2,4,0),0(—2,0,0),设4PMN=e,6G(0,%)，

则P(0,2cos6,2sin6),E(-1,cos0+2,sin0],

故BE=(-3,cos8+2,sin9),=(4,0,0).

设面BOE的法向量为〃=(x,y,z「

n-BE--3x+[cosO+2^y+sinOz-Q

则！

n-DB=4x=0,

Wy=sin6,得〃=(0,sine,-cos8+2).

显然平面BC£＞的一个法向量为劭=(0,0,1)

2+cos0

因为，二面角E—8D—C为30。，则cos(外々

ln|llffi|Jsin?6+(2+cosGJ

i2万

整理得4cos2，+4cos9+1=0，解得cos。=一大，所以6=：-

23

24

所以，二面角P—8。一。的大小为行.

法二：由(1)法二：PQ1BD,取8c中点F,

连接QF,则QF//CD且QF=gCD=2,

所以QFLBD,又PQcQF=Q,

则3D1面PQF,

则NPQF为二面角P-BD-C的平面角，

连接P尸交8E于M,连接QM,且QMu平面PQF,

所以BO1.QM,则NMQF为二面角E-BD-C的平面角，且NMQF=30。,

s-QFQM-sin30°]

易知：M是△PBC的重心，则五7=3，即sQF"=丁^------------------——J

PM2>QPM^QP.QMsinZPQM2

所以NPQM=90。，故NPQF=120。，即二面角P-3Q-。的大小是120。.

22

21.已知双曲线C:=-当=1(°>06>0)的实轴长为2.点(77,-1)是抛物线E:/=2py的准线与C的一个交

a'b~

点.

(1)求双曲线C和抛物线E■的方程；

(2)过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A,B.求面积的取值范围.

21.解：(1)由题，a=\,又点(近,_1)在双曲线上，故7__L=1，解得&2=L

b26

故双曲线方程为一-6尸=1；

又点诉-1)过抛物线E:x?=2”的准线，故々I，即P=2,

故E:Y=4y

(2)显然直线A8斜率存在，故设直线A8方程为卜=履+机，A(玉,yj,5(X2,%)，

{y=kx+m,c

工2=4),有1-4Ax-4m=0»

11

故西+々=4&,玉％2=T相，又E:y=一r7，yf=-X,

42

故切线AP:y_y=g玉(尢_玉)，结合％整理得丁=：%^_；玉2,

110

同理切线32：》=一/不——占2,

"2■4~

兀二3+%2

12即1x—2,,故P(2k,-ni).

联立解得

=­m'7

又s

3(\IYT-J-1

=4/2+机卜，且(24)2—6(-,〃)2=1,即公=*