2023年江西省八所重点中学高考数学联考试卷（理科）（3月份）及答案解析

2023年江西省八所重点中学高考数学联考试卷（理科）（3月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合用={%氏2-1WO},N={-l,0,l},则MCN=（）

A.{-1,0}B.{1}C.{-1,0,1）D.0

2.法国数学家棣莫弗（1667—1754）发现的公式（cosx+ismx）n=cosnx+isinnx推动了复

数领域的研究.根据该公式，可得（cos±+isin》4Q+2i）=（）

A.1+2iB.-2+iC.1—2iD.-2—i

3.已知f服从正态分布N（2,cr2）,a&R,当P（f>a）=0.5时，关于x的二项式（ax+服尸的

展开式的常数项为（）

A.1B.4C.6D.12

4.在平面直角坐标系xOy中，已知点4（0,-2）,点P为直线2x-4y+3=0上一动

点,则|PA|+|PB|的最小值是（）

A.屋B.4C.5D.6

5.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，

当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取5次卡片时停止的概率为（）

A75口135「2n3

A，5125120•百32

6.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线.直到1690

年，雅各布・伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟

约翰・伯努利和莱布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式一双

X_x

曲余弦函数：f（x）=c+acos吟=C+a•齿手一五，（e为自然对数的底数）.当c=0,Q=1时，

记口=f（/。为/6=/（/）,几=/（I），则P，m，几的大小关系为（）

A.p<m<nB.m<n<pC.m<p<nD.p<n<m

7.已知正三棱锥的侧棱长为I,其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为16兀，且2W1W

2/N，则该正三棱锥体积的取值范围是()

A.[学,2/3]B.[<7,2<3]C.[yT3,3^]D.[胃,34]

8.在△ABC中，AC=6,BC=8,NC=90。/为△ABC所在平面内的动点，且PC=2,则

方•丽的取值范围是()

A.[-20,12]B.[-12,20]C.[-16,24]D.[-24,16]

9.己知函数/'(X)=5sin(a)x+0)(3>0,切=-，为/'(%)的零点，刀出为/⑺图象

的对称轴，如果存在实数沏，使得对任意的实数X,都有f(Xo-看)Sf(X)S/(Xo)成立，当3

取最小值时()

A./(x)在[0总上是增函数B./(%)在[一盘为上是增函数

C./(%)在[0,骸上是减函数D./(x)在[-5堵]上是减函数

10.如图，正方体ZBCD-4B1GD1的棱长为6,4"点P是?___________r

2Z---------------------71LI

底面4BCD内的动点，且P到平面4DD1&的距离等于线段PM的长度，A1

则线段B]P长度的最小值为(

A.2AT6

AMB

B.2<l3

C.3<6

D.3V-l3

11.已知椭圆C：务，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，6•点2在。上且位于第一象

限，圆01与线段&P的延长线，线段PF2以及X轴均相切，的内切圆为圆。2.若圆01与

圆。2外切，且圆。1与圆。2的面积之比为9,则C的离心率为()

D.2

12.若存在实数k和m使得函数门x)和g(x)对其公共定义域上的任意实数T都满足：gQ)<

kx+m<f(x)恒成立，则称此直线y=kx+zn为f(x)和g(x)的“分离直线”.有下列命题：

(T)/(x)=/和g(x)=abix之间存在唯一的“分离直线"y=2Vex-e时a=2e；②/'(x)=

/和g(x)="x<0)之间存在“分离直线”，且m的最小值为一4,则()

A.①、②都是真命题B.①、②都是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

X+y>2

13.若x,y满足约束条件x+2yW4,则2=》一、的最小值是.

,y>0

14.函数f(x)=翳的单调递增区间为.

15.设双曲线鸟一马=l(a>0,6>0)的左，右焦点分别为Fi，尸2,左，右顶点分别为4B,

以4B为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限的交点为P,若/MF2为等腰三角形，则直线PF?

的斜率的大小为.

16.首项为0的无穷数列｛厮｝同时满足下面两个条件①|即+1-即|="5=1,2,3,...)；

②an<展(n=1,2,3,...),求S2023的最大值.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

在AABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,acosB-2acosC=(2c—b)cosA.

(1)若。=以求cosB的值；

(2)若b=3,NB4C的平分线4。交BC于点D,求4。长度的取值范围.

18.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD_L平面BCD,AB=AD,。为BD的中点.

(1)证明：04_LCD；

(2)己知AOCD是边长为1的等边三角形，己知点E在棱4。的中点，且二面角E-BC-。的大

小为45。，求三棱锥4-BCD的体积.

19.(本小题12.0分)

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过4(一4,0),B(4,0),C(2,3)三点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若过右焦点尸2的直线，(斜率不为0)与椭圆E交于M,N两点、,求直线4M与直线BN的交点的

轨迹方程.

20.(本小题12.0分)

某医药企业使用新技术对某款血夜试剂进行试生产.

(1)在试产初期，该款血液试剂的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四

道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血夜试剂在生产中，前三道工序

的次品率分别为为=P2=l，P3=

①求批次/的血液试剂经过前三道工序后的次品率B；

②第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线

并由工人进行抽查检验.已知批次I的血液试剂智能自动检测显示合格率为95%,求工人在流

水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率(百分号前保留两位小数)：

(2)已知某批次血液试剂的次品率为p(0<p<1),设100个血液试剂中恰有1个为不合格品的

概率为0(p)，求(p(p)的最大值点Po.

21.(本小题12.0分)

已知函数f(%)=%ex-1+2ax-a,g(x)=ln(x+1)—%.

(1)当Q=2时，求y=f(x)在点(1/(1))处的切线方程；

(2)对于在(0,1)中的任意一个常数b,是否存在正数殉，使得"(工。)+2诏-1<0,请说明理

由；

(3)设九(冗)=/(x)-ag(x-1)-4ax+2a,%是九(%)的极小值点,且似%。>0,证明：/i(xt)>

22.(本小题10.0分)

(t2,11

I%=~+~2-1

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为《4t、^«>0，1为参数)・

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)已知直线1：x-y-2=0与x轴的交点为尸，且曲线C与直线2交于4B两点，求|凡4|+|FB|

的值.

23.(本小题12.0分)

设a,b,c为正数，且a+b+c=l.

(1)证明a?+b2+c2>|；

(2)证明(层+非+仁仅捻+白+盘)*.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因为M={x\x2-1<0}={x|-1<x<1},N=[-1,0,1).

则MCN={-1,O,1}.

故选：C.

先求出集合M,然后结合集合交集运算即可求解.

本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：根据题意可知(cosg+isiWT=cos(4x2)+isin(4x2)=i,

OOOo

故(cosj+isin》4(i+2i)=i(l+2i)=-2+i.

oo

故选：B.

根据题中定义化简式子，再根据复数乘法计算即可.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为f服从正态分布NR,/),p6>a)=0.5,

所以a=2,

二项式(2x+丧尸的展开式的第k+1项几+1=C《(2x)3-k(毋=C^23-kx3~3k,

令3-3k=0,可得k=1,

所以二项式(ax+5)3的展开式的常数项为&=盘x22=12.

故选：D.

由正态分布性质求a,再由二项式展开式通项公式求(ax+1厂的展开式的常数项.

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：设点4(0,-2)关于直线2x-4y+3=0的对称点为A'(x,y),

所以|PA|+\PB\=\PA'\+\PB\>\A'B\=J签+*=%

当且仅当点P为线段AB与直线2x-4y+3=0的交点时等号成立，

所以|P4|+|PB|的最小值是4.

故选：B.

求点4(0,-2)关于直线2x-4y+3=0的对称点A的坐标，由此可得|P川+\PB\=\PA'\+\PB\,

结合结论两点之间线段最短可求|P川+|PB|的最小值.

本题主要考查点到直线的距离，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：依题意，

恰好取5次卡片时停止，说明前4次出现了3种号码且第5次出现第4种号码，

3种号码出现的次数为2,1,1,则有用、番*饕*1=144,

恰好取5次卡片时停止的概率为署=卷.

故选：C.

恰好取5次卡片时停止，说明前4次出现了3种号码且第5次出现第4种号码，3种号码出现的次数为

2,1,1,可以分步完成，先确定前3种号码出现的顺序，再分别确定这三种号码出现的位置，最

后让第4种号码出现有一种方法，相乘即可.

本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.【答案】D

【解析】解：当c=0,a=l时，/(乃=竺尹，其定义域为R,所以/(-x)=宝丝=/(盼，则

/(%)为偶函数，

所以P=/。。以；)=/(-^32)=f(log32),

又当x>0时，f'(x)=史尹>0恒成立，所以f(x)在(0,+8)上单调递增，

22

-O-2

e3>e<e3

又log31=0<log32<log33=1,1，所以，0。32<则加。费2)<61)</(向，

故p<n<m.

故选：D.

确定双曲余弦函数的奇偶性与单调性，根据指对幕大小关系，即可得p,m,n的大小关系.

本题主要考查函数值大小的比较，考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力与逻辑

推理能力，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：设球的半径为R,

因为%；=4兀R2=16兀，

所以正三棱锥外接球半径R=2,

设△ABC的外接圆的圆心为D,

因为P—ABC是正三棱锥，所以PD1平面4BC,

设外接球球心为。，则。。平面48C,

所以OD〃PD,故点0在直线PD上，

当球心。与点P在平面2BC的异侧时或球心在平面4BC内时，

如图所示，OD=a(OSa<2),

所以OP=。4=2,AD=VOA2-OD2=V4-a2,

因为(2-a)2+4-a2=I2,2<l<2/7,

解得1,

所以0<a<1,

又因为N/1OB=—,所以AB=BC=AC=3xV4-a2>

所以SMBC=2x4BxACxsin———―-—(4—a?),

=x22

所以Vp_.Bc|S^ABCxPD=1x(4—a)x(2—a)=?(a，-2a-4a+8),

令/(a)=a3—2a2—4a+8,0<a<1,

由/'(a)=3a2-4a-4=(a-2)(3a+2)<0,

所以f(a)在［0,1］递减,

又f(0)=8,f(l)=3,

所以当a=0时，即，=2A/"7时，

三棱锥P-4BC的体积取最大值，最大值为2C，

当a=1时，即/=2时，

三棱锥P-4BC的体积取最小值，最小值为学；

当球心。与点P在平面ZBC的同侧，

如图所示，设OC=a(0<a<2),

由已知OP=OA=2,AD=VOA2-OD2=V4-a2-

因为(a+2)2+4-a2=I2,2<l<20,

解得—IWaWO,矛盾；

综上，正三棱锥体积的取值范围是［手,2仁］.

故选：A.

由外接球表面积求出半径，设球心到底面距离为a,由三角函数关系解出底面三角形面积，由此可

确定正三棱锥体积关于a的函数关系.

本题考查正三棱锥体积的计算，考查分类讨论思想，函数思想以及运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：而=不一而，而=而一方，刀•丽=(N-而)•

(CB-CP)=CA-CB-CP-(CA+CB)+CP2<

如图所示，CA+CB=CD,---------------\(J

即PA-PB=CACB-CP-CD+CP=4-\CP\-\CD\cosd=4-20cos。，

则两•丽的取值范围为［-16,24］.

故选：C.

根据△4BC的几何关系将刀和而进行展开，再根据向量的数量积运算即可求出范围.

本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：已知函数〃x)=5s讥(3X+w)(3>O,\(p\<^),x=一沥/(%)的零点，x4为f(x)图

象的对称轴，

则—+@—七兀,Ze】GzQ),—(ji)+(p=2+伍兀,七ez②)，

由@可得：3=1+2k,<p=兀+(k,k］,k2GZ),

又则或卬=一%

又存在实数沏，使得对任意的实数X,都有f(a-工)</(%)</(右)成立，

则37+717=^,7162,故(o=13+26n,neZ,又3>0,且3=1+2k(k€Z),

则3mm=13,由②得此时尹=%

则/(x)=5sin(13x+》，函数在R上的增区间满足-5+2kn<13x+1<^+2kn,kGZ,

所以一段+等。〈毒+等，卜一，

则/(x)=5sin(13x+»的增区间为卜居+辔选+得］,keZ,

所以/(x)在［-治堵］上是增函数.

故选：B.

根据正弦型三角函数的性质确定3,9的取值情况，再利用已知不等式，缩小3的取值情况，即可

得3的最小值，从而得0的值，根据/(X)的解析式求得f(x)在R上的增区间，即可判断选项得答案.

本题主要考查正弦函数的单调性，属于中档题.

10.【答案】B

【解析】解：在正方体48(7。一41当的。1中，

点P到平面2。。遇1的距离即为点P到直线4D的距离，

在正方形力BCD中，如图，以4为原点建立平面直角坐标系，

则B(6,0),M(4,0),设P(x,y),

则|PM|=V(x-4)2+y2,

因为P到平面ADD1&的距离等于线段PM的长度，

所以(X—4)2+y2=%2,所以y2=8x-16,

贝=(%—6)2+y2=%2—4%+20,

因为_L平面4BC。，BPu平面4BCD,

所以1BP,则由建|=V36+x2-4x+20=Vx2-4x+56.

则当久=2时，=

故选：B.

由题意点P到平面ADZMi的距离即为点P到直线AD的距离，在正方形4BCD中，以4为原点建立平

面直角坐标系，设P(x,y),根据题意求出尤，y的关系式，再根据勾股定理结合二次函数即可得解.

本题考查坐标法求解两点间距离问题，函数思想，属中档题.

11.【答案】A

【解析】解：由已知及平面几何知识可得圆心。1、。2在NPaF2的角平分线上.如图:

设圆。1、。2与x轴的切点分别为4,B,由平面几何知识可得，直线PF2为两圆的公切线，

切点。也在NP&E的角平分线上，所以|PFJ=IF/2I=2c,

由椭圆的定义知|Pa|+\PF2\=2a,则IPF2I=2a-2c,

所以俨2。|=||PF2|=a-c,

所以IF2川=\F2B\=\F2D\=a-c,

所以因川=因尸21+1?2*=2c+a-c=a+c,\F^B\=IF/2I一血司=2c-a+c=3c-a.

又圆。1与圆。2的面积之比为9,

所以圆01与圆。2的半径之比为3,

因为。28〃。]4所以黑=鬻!，

即至?=9，整理得4a=8c,故椭圆C的离心率6=£=1

a+c3a2

故选：A.

设圆。1、。2与％轴的切点分别为4B,圆心01、。2在4PF/2的角平分线上，从而切点。也在心「居尸2

的角平分线上，所以|PF1|=\F,F2\=2c,由切线的性质求得阳川，由圆面积比得半径比匿｝,

然后由相似形得出a,c的关系式，从而求得离心率.

本题主要考查了求椭圆的离心率，考查了椭圆的几何性质，属于中档题.

12.【答案】A

【解析】解：对于命题①，函数f(x)=M和g(x)=2"nx的图像在久=，3处有公共点,

若存在f(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点

设隔离直线的斜率为k,则隔离直线方程为y—e=fc(x—Ve),即y=kx-k^T~e+e,

由f(%)>kx-ky/~~e+e(x>0)恒成立，即/—fc%+ky[~e—e>0(%>0)恒成立，

(i)当k=0时，则/>e(x>0)不恒成立，不符合题意；

(ii)当AVO时，令"(%)=%2一版+“7一°(无〉0),对称轴％=2V0,“(%)在(0,小)上单调递

增，且〃(V~Z)=O,故kV0不恒成立，不符合题意；

(山)当/c>0时，令〃(%)=x2-/ex+k>T~e—e(x>0),对称轴x=g>0,

则〃(%)e讥=〃(今=一号+ky/~~e—e=-(&-2J)>o，只有k=2y[~e>即直线y=2y/~~ex—e,

下面证明g(%)=2elnx<2y/~~ex—e,令G(%)=2V-ex—e—2elnx,

求导G'(x)=2「令G，(x)=O,得X=，7,

当％e(o,，7)时，G'Q)<0,函数G(x)在区间(0,上单调递减；

当％W(/7,+8)时，G'(%)>0,函数G(x)在区间+8)单调递增；

故当x=/Z时，函数GQ)取得极小值，也是最小值，故G(%)Z0,即g(%)42G-。

所以/(%)=/和g(久)=2e之间存在唯一的隔离直线y=2>J_ex—e,

所以命题①是真命题；

对于命题②，设f(x)=/和g(%)=i(%<0)的隔离直线为y=〃％+m,

则,对任意£<0恒成立，即；2/对任意X<°恒成立，

[-<fcx+m(kx2+mx-1<0

由k/+mx—1<0恒成立，得k<0,

⑷当k=0时，则m=0符合题意；

(五)当k<0时，则—kx—mN0对任意％<0恒成立，令九(x)=x2-kx-m(x<0),

对称轴％=^<0,需4=炉+4m<0,即/<-4m,故m<0,

令d(%)=k/+mx-1(%V0),对称轴％=一养W0,需4=病+软工0,

即?n2<—4k,所以8<16m2<—64k,故一4<fc<0,

同理可得<16k2<—64m,即—4<m<0,

故m的最小值为-4,

故命题①正确，命题②正确；

故选：A.

命题①，/(%)=/和。(久)=2包九%有公共点(J[e),故隔离直线过该点，设为点斜式，结合二

次函数性质对参数分类讨论，即可求解；

命题②，设隔离直线为y=kx+b,则年”“一小2°对任意x<0恒成立，结合二次函数性质

\KX+TITX—1工0

对参数分类讨论，即可求解.

本题考查函数的新定义“隔离直线”，解题中理解“隔离直线”的定义，注意利用导数研究函数

的单调性及最值时解题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于难题.

13.【答案】-2

【解析】解：如图，作出约束条件的平面区域，如图所示阴影部分,

将目标函数z=x-y变形得y=x-z,

所以根据其几何意义可得，当直线、=》-2经过点4（0,2）时，其纵截距最大，即目标函数z取到最

小值,

所以Z=X-y的最小值是Zmin=0-2=-2.

故答案为：—2.

根据线性约束条件确定可行域，再根据目标函数的特点确定最小值即可.

本题主要考查简单线性规划，属于基础题.

14.【答案】（0,，7）

【解析】解：函数的定义域为（。,+8）,则（（乃=号至，

令（（x）>0,解得O<X</Z,故函数f（x）的单调递增区间为（0,4Z）.

故答案为：（0,，飞）.

求导数/'（X），令/'（x）>0,解不等式即可得函数的单调递增区间.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题.

15.【答案】?

【解析】解：由题意得以AB为直径的圆方程为/+y2=Q2,

2

x+y2=Q2

根据题意联立方程b，解得P点坐标为（匕,_@），

y=——xccJ

va

又△/MF2等腰三角形，则点P在线段”2的中垂线上，即不=妥，

...贮_竺£,.・.c2—ac—2a2=0,即e?—e—2=0,解得e=2或e=—1（不合题意，舍去），

c2

・•・c=2a,b=Vc2—a2=yp^a,

ab.—

则=f•=?•

c--c

故答案为：£3.

联立圆与渐近线方程，表示出P点坐标，再根据等腰三角形性质计算出双曲线离心率，将b、c由a

表示出来，最后根据斜率公式求解，即可得出答案.

本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

16.【答案】0

【解析】解：假设数列｛时｝中存在%,见+i同时为非负数，

因为@+i—Qj|=if

若a+1—囚=2,则有%1=+i之i>"+；）?与条件矛盾，

若a»+i—囚=-3WJaf=ai+1+i>i>与条件矛盾,

所以假设错误，即数列｛an｝中相邻两项不可能同时为非负数，

即对于任意的几WN*,an+1,an中至少有一个小于0,

①当0n>0时，an+1<0,

aa=

因为—n\=九，所以Qn+1~n一九，

所以%i+i—an—nf所以a九+dn+1—2an-n<2x----n——1,

②当0n+1NO时，则anV0,

因为|an+i-Qnl=几，所以Qn+i一册=九，

所以an=an+i-n,所以an+an+1=2an+1-n<2x"十'-n=o,

由①②可得，Q,+Gn+100恒成立，nE/V*,

所以52023=%+a2+。3+-------^a2022+a2023,

所以S2023=%++[a+«]+—F(。2022+02023)S0,

(a2+a3)45

考虑数列：0,-1,1,-2,2.......-1011,1011,

可以验证所给数列满足条件，且S2023=0,

所以52023的最大值为。・

故答案为：0.

利用反证法证明数列｛即｝中相邻两项不可能同时为非负数，再证明斯+1-厮W0,由此证明

s2023<0,举例说明存在满足条件的数列且S2023=0,由此可得其最大值.

本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)vacosB-lacosC=(2c—b)cosA,由正弦定理得:

sinAcosB—2sinAcosC=(2sinC—sinBycosA,

整理得sinQ4+B)=2sin(A+C),

sin(兀-C)=2sin(n-B),即sinC=2sinB,

由正弦定理得：c=2b,又a=c,则由余弦定理得:

a2+c2—h2c2+c2—^c27.

cosB==；

2ac-2?~8

(2)设4840=。，如图所示,

则S-Bc=^bcsin29=^AC-AD-sind-AD-sind,

Ix3x6-sin29=1x3-AD-sind+^x6-AD-sind,

AD=4cos3,8G(06)，贝6(0,4).

【解析】(1)利用正弦定理、诱导公式、三角恒定变换可得c=2b,再结合余弦定理可得cosB的值；

(2)设=利用面积公式与等面积法可得AD=4COS。，根据余弦函数的性质，即可求得4。

长度的取值范围.

本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属中档题.

18.【答案】解：(1)证明：:AB=4。，。为BC的

中点，:AOLBD,

又平面4BDJL平面BCD,平面48。n平面BCD=

BD,A。u平面BCD,

所以401平面BCD,又CDu平面BCD,•••AO1CD；

(2)取。。的中点F,

因为AOCD为等边三角形，所以CF1。。，

过。作。M〃CF,与BC交于M,贝U0M10D,

由(1)可知。41平面BCD,

因为。M,。。u平面BCD,所以。410M,0A10D,

所以。M,0D,。4两两垂直,

所以以。为原点，。“，OD,0A所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

设0A=a,因为。A_L平面BCD,所以不？=(0,0,a)是平面BCD的一个法向量,

设平面BCE的一个法向量为布=®y,z),因为配=(q2,0),BE=(0，l，^.

ZZ乙乙

n•=—%4-12y=0

所以|一取S=(VSa,—a,3),

n-BE="y+-z=0

V22

因为二面角E-BC-。的大小为45。,

所以|cos〈UX孙=|悬言|=［，解得a=|,

IUnI|7l|乙乙

所以匕-BCD=QJX2S>ocD♦04=4

【解析】(1)证明A。1BD,结合平面ABD1平面BCD,平推出A。1平面BCD,然后证明2。1CD；

(2)根据线面关系，建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值的坐标运算求得锥体的高度，即可

求得三棱锥4-BCD的体积.

本题考查线面垂直的判定定理与性质，向量法求解二面角问题，三棱锥的体积的求解，属中档题.

19.【答案】解：(1)设椭圆方程E：各马=1，

16

滔=1

±

山AC两点可知:9，解得=16,b2=12,

+?=

a2

所以椭圆方程为装+3=1:

161Z

(2)设X=zny+2,%。2，乃)，

4=576m2+576>0

x—my+2_-12m

联立卜2y2月十乃一3m2f4

匕+记=1

{yi、2=痂-3彳6

直线AM：'=^（*+4）,

直线BN：丫=热0-4),

-12m-4%高-4（滞十段）+加2

_4”？2-%+12y2v

消去y：

-3y2+为713而+4以3y2+（瑞2）

因斜率不为0,故该直线方程为x=8(y*0).

【解析】(1)首先设椭圆方程，代入椭圆上的点的坐标，即可求解；

(2)首先设直线1的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求直线AM与直线BN的交点坐标，即

可求解交点的轨迹方程.

本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)①批次I的血夜试剂经过前三道工序后的次品率为：

P1=l-[(l-P1)(l-P2)(l-P3)]=l-^x|x^=^

②设批次I的血夜试剂智能自动检测合格为事件4人工抽检合格为事件8,

由已知得P(A)=盖,P(4B)=1_Pi=1_'=

则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品为事件B|4

则P(B|4)=需=如嘿=$73.68%；

99

(2)100个血液试剂中恰有1个不合格的概率s(p)=CJOOxpx(1-p),

因此(p'(p)=100[(l-p)99-99Pq-2严]=100(1-p)98(l-100p),

令d(p)=o,得p=o.oi,

当pG(0,0.01)时，<p'(P)>0:当pG(0.01,1)时“3)<0,

所以s(p)的最大值为Po=0.01.

【解析】(1)①根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，以及对立事件概率和为1,即可求

解；②根据己知条件，结合条件概率公式，即可求解；

(2)求出100个血液试剂中恰有1个为不合格品的概率为R(p),然后利用导数求解R(p)的最大值点,

即可求出Po.

本题考查独立事件的概率公式的应用，条件概率公式的应用，利用导数求解概率的最值，属中档

题.

21.【答案】解：(1)当a=2时,/(%)=xe*T+4x-2,/(l)=3,/'(x)=(%+1)案一1+4/(1)=6,

则y=/(%)在点(14(1))处的切线方程是y-3=6(x-1),即y=6x-3.

(2)对于在(0,1)中的任意一个常数b,假定存在正数与，使得〃(加+2诏一1<0成立，

显然有〃(加+|XQ-1<0=gln(Zo+l)-xo+1x2—1<0=(X。+l)e-Xo+_1<0,

令"(%)=(x+l')e~x+1x2—l,x>0,则H'(x)=-xe~x+bx=x(b—e~x'),

当0<x<—伍b时，H'(x)<0,则H(x)在(0,Tnb)上单调递减，当x>Tnb时，H'(x)>0,则H(x)

在(一比瓦+8)上单调递增，

则当x=一伍b时，”(乃加沅=H(—lnb)=(-Inb+l)elnb+(Zn&)2—1=1(/nh)2-blnb+b-1,

令G。)=一%%-I,。v%vi,求导得：G'(x)=；¥>0,即G(x)在(0,1)上单

调递增，

VxG(0,1),G(x)<G(l)=0,即H(Tnb)<0,

所以存在正数与=~lnb,使得e9(x。)+2诏一1<0.

(3)证明：依题意，h(x)=/(x)—ag(x—1)-4ax+2a=xex~r—a(x+Znx),h!(x)=(%+

l)e*T—a(l+：)=(%ex-1—a),

令F(%)=%e%T—a,x>0,F'(%)=(%+l)e"T>0,即尸(x)在(0,+8)上单调递增，

因>0,当a<0时，F(x)>0,即九'(%)>0,函数九(x)在(0,+8)上单调递增，不存在极值，

当Q>0时，F(0)=-a<0,F(a+l)=(a+l)ea-a>0,从而存在%】>0,使得尸(勺)=0,

即九'(%i)=0,

当0<x</时，F(x)<0,九'(%1)<0,当%>%1时,F(x)>0,九'(%1)>0,因此,是函数无(%)

X11X11X1-1

的极小值点，满足a=x1e"f九(%1)=x1e^—。(右+Inx^=x1e(l—xr-Inx^>0,

则1一%i-ln%i