2022年江苏省高考数学二模试卷及答案解析

2022年江苏省高考数学二模试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在

试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.若集合A={x*-4<0},8={mgx<0},则ACB=()

A.(-2,I)B.(-2,2)C.(0,1)D.(0,2)

2.设复数z在复平面内对应的点为(1,-3),则二=()

A.2+1B.1-iC.-1+2;-1-2/

3.函数/G)=能在其定义域上的图象大致为(

4.已知而=3,依=1,\a-2Z>|=V19,则向量b的夹角为()

717127157r

A."B.-C.—D.—

6336

5.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器，机器人具有感知、决策、执行等基

本特征可以辅助甚至替代人类完成危险、繁重、复杂的工作，提高工作效率与质量，服

务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范围，为了研究A,8两个机器人专卖店的销售

第1页共25页

状况，统计了2020年2月至7月A,B两店每月的营业额(单位：万元)，得到如下的折

—-A店管业躺-_•--B店营业额

A.根据A店的营业额折线图可知，该店营业额的平均值在［34,35］内

B.根据8店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势

C.根据A,8两店的营业额折线图，可得A店的营业额极差比8店大

D.根据A,B两店的营业额折线图，可得8店7月份的营业额比A店多

6.图1是我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个

全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计

了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形,

如图2所示，若AB=7,DE=2,则线段8。的长为()

D.4.5

XV

7.已知内，放是双曲线和-77=b>0)的左、右焦点，过尸i的直线/与双曲线

的左支交于点A,与右支交于点8,若|AQ|=2a,4&4刍=警，则答口修=()

6.ABF2

112

A.1B.-C.-D.—

233

8.若函数g(x)在区间D上，对Va,h,c&D,g(a),g(b),g(c)为一个三角形的三

边长，则称函数g(x)为“稳定函数”.已知函数f(x)=亨+加在区间白，e2］上是“稳

定函数”，则实数，〃的取值范围为()

第2页共25页

11

A.(2e+-r+8)B.(2e?+—,+oo)

C.(4e+｝,+oo)D.(4/+：,+co)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(多选)9.下列说法正确的是()

A.某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该

校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比

为6：5：4,则应从高二年级中抽取20名学生

B.线性回归方程y=bx+a对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点

C.命题“Vx>0,lg(f+l)20"的否定是0>0,lg(Al)<0"

D.方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差

越小，数据的离散程度越小

(多选)10.若函数/(x)=sin|.r|-COS2JV,则()

A.f(x)是周期函数

B.f(X)在［-11,TT］上有4个零点

7T

C.f(x)在(0,-)上是增函数

D./(x)的最小值为-I

(多选)11.数列｛板｝为等比数列，公比为其前〃项和为际，若45-0=15,SF4

=16,则下列说法正确的是()

A.S"+1=2Sn+1

n

B.an=2

C.数列｛log3(Sa+l)｝是等比数列

D.对任意的正整数k&为常数)，数列｛log2(W-5„)｝是公差为1的等差数列

(多选)12.设函数/(x)=min｛\x-2\,x2,\x+2\｝,其中y,z｝表示x,y,z中的

最小者.下列说法正确的有()

A.函数f(x)为偶函数

B.当+8)时，有/(x-2)W/(x)

C.当x€R时，f(/(x))W/(x)

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D.当x曰-4,4］时，\f(x)-2|与(x)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知/(x)=sin(2x+<p)+V3cos(2x+(p)(|(p|v£)是奇函数，则(p=.

14.已知函数f(x)=log4(4V+|)+kx(k€R)是偶函数，则&的值为.

15.如图，在AABC中，力是BC的中点，E在边A8上，AC=2,BE=2EA,与CE的

交点为O.若丽•应1=-2,则AB的长为.

16.已知圆Ci和圆C2与x轴和直线y=H(女>0)相切，两圆交于尸，Q两点,其中尸点

13

坐标为(3,2),已知两圆半径的乘积为万，则上的值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知四边形ABCC中，4c与8力交于点E,A8=2BC=2CD=4.

(1)若/4OC="，AC=3,求cosNCW；

(2)若AE=CE,BE=2a,求△ABC的面积.

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18.（12分）为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用

寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如图频率分布直方图:

A型

（1）估算A型设备的使用寿命的第80百分位数;

（2）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表:

超过2500小时不超过2500小时总计

4型

B型

总计

根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关?

（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能

完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备（更换设备时间忽略不计），A型和8型设

备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6

度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说

明理由.

2

参考公式：代=4cTrb?\小_1_4，〃=a+b+c+d・

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据：

P（犬》依）0.0500.0100.001

to3.8416.63510.828

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19.(12分)已知数列｛呢｝满足:。/1+。〃=2〃+7(nGN*),且m=4.

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

1,72,—1,

(2)已知数列｛加｝满足：hn=,定义使加•历•加•••依N*)

，005+2)即，n>2,nWN*

为整数的人叫做“幸福数”，求区间［1,2021］内所有“幸福数”的和.

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20.（12分）已知抛物线C：/=2p），（p>0）,过点T（0,p）作两条互相垂直的直线h和

12,交抛物线C于A,8两点，/2交抛物线C于E,尸两点，当点4的横坐标为1时，

1

抛物线C在点A处的切线斜率为3.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）己知。为坐标原点，线段AB的中点为M,线段E尸的中点为N,求证：直线MN

过定点.

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21.(12分)已知函数/(犬)=/(/+烟+M2),g(x)=ax1^x^-axlnx.

(1)若函数/(x)在x=-1处取极小值，求实数m的值；

(2)设加=0,若对任意在(0,+8),不等式/(%)2g(x)恒成立，求实数。的值.

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XV

22.（12分）已知点A,8在椭圆和+==1（a>b>0）上，点A在第一象限，。为坐标

a2b2

原点，且OALAB.

（1）若。=遍，b=l,直线0A的方程为x-3y=0,求直线OB的斜率：

b

（2）若△OAB是等腰三角形（点0,A,B按顺时针排列），求一的最大值.

a

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2022年江苏省高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.若集合A={x|/-4<0},B={x|/gx<0},则ACB=()

A.(-2,1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(0,2)

解：-4<0}={x|-2<x<2],

B={x|/gx<0}={x[0<x<l},

：.AnB=(0,1).

故选：C.

z

2.设复数z在复平面内对应的点为(1,-3),则^~：=()

14-1

A.2+iB.2-iC.-1+2/D.-1-2/

解：•・,复数z在复平面内对应的点为(1,-3),

/.z=l-3i,

Az=l+3i,

zl+3i(l+3i)(l-i)4+2i.

贝U-----=--------=------------------=--------=2+z,

1+i1+i(l+i)(l-i)2

故选：A.

解：函数的定义域为{x|x¥0且xW±l},

5

小）=患2讶,则/J”_而2se国r=一2法/%7r—fG即小）是奇函数，图象关于

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原点对称，排除A,B,

当X-+8,f（x）>0,排除C,

故选：D.

4.已知面=3,向=1,|a-2b|=V19,则向量三，7的夹角为（）

7Tn27157r

A.-B.-C.—D.—

6336

解：根据题意，设向量工茄勺夹角为仇

若|a|=3,|&|=L\a-2b\=V19,则有（a—2b）2=a2+4Z）2-4a*6=13-12cos0=19,

解可得cos0=

O-rr

又由OWOWn,则e=竽；

故选：c.

5.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器，机器人具有感知、决策、执行等基

本特征可以辅助甚至替代人类完成危险、繁重、复杂的工作，提高工作效率与质量，服

务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范围，为了研究A,B两个机器人专卖店的销售

状况，统计了2020年2月至7月A,B两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折

线图，则下列说法错误的是（）

-A店管业躺B店营业额

A.根据A店的营业额折线图可知，该店营业额的平均值在［34,35］内

B.根据B店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势

C.根据4,B两店的营业额折线图，可得4店的营业额极差比8店大

D.根据A,8两店的营业额折线图，可得B店7月份的营业额比A店多

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14+20+26+45+64+36

解：根据A店的营业额折线图可知该店营业额的平均值为=34.17,

故A正确;

根据B店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势，故B正确；

A店营业额的极差为64-14=50,8店营业额的极差为63-2=61,故A店营业额的极

差比B店小，故C错误；

由折线图可知，B店7月份的营业额比A店多，故。正确，

故选：C.

6.图1是我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（又称‘‘赵爽弦图"），它是由四个

全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计

了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形,

如图2所示，若A8=7,DE=2,则线段8。的长为（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

解：设可得A£）=2+x,

且NA£>B=180°-60°=120°,

在△AB力中，可得ABZnAJ+Bf）2-2AD-Bl>cosZADB,

即为49=（2+x）~+x^-2（2+x）—分，

化为f+2x-15=0,

解得x=3（-5舍去），

故选：A.

x2y2

7.已知Fi,尸2是双曲线"一片=l®〉0,b>0）的左、右焦点，过人的直线/与双曲线

a2b2

的左支交于点A,与右支交于点B,若|AFi|=2a,4&力4=字，则婴巴里=（）

S

3LABF2

第13页共25页

解：如图，根据双曲线的定义，可得AF2-AFi=2a,BFi-BF2=2a,

|AQ|=2m乙&4『2=雪，则AF2=4〃，AB=BF2=4”,

^,AF2AFi1

AB

S〉ABF22'

故选：B.

8.若函数g(x)在区间。上，对Vmb,cED,g(〃)，g(b),g(c)为一个三角形的三

边长，则称函数g(x)为“稳定函数”.已知函数/(x)="+m在区间［攻，e2］上是“稳

定函数”，则实数，”的取值范围为()

11

A.(2e4--/+8)B.(2e2+-/+oo)

C.(4e+万，4-oo)D.(4/+工，4-oo)

解：由于/(x)=警+m,则［(乃=号竺，

易知函数f(x)在［去，e］上单调递增，在(e,e2］上单调递减，

112

而f(葭)=m~2e2,/(e)=m+5，/(e2)=m+葭，

="+7n在底，e2］上的最大值为m+J,最小值为m-e?,

11

依题意，2f(x)min>f(JC)max,即2(m-2e?)An+己，解得7n>4e2+］.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(多选)9.下列说法正确的是()

A.某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该

第14页共25页

校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比

为6：5：4,则应从高二年级中抽取20名学生

B.线性回归方程y=bx+a对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点

C.命题“Vx>0,lg(f+l)>0"的否定是lg(f+l)<0"

D.方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差

越小，数据的离散程度越小

解：对于A，用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，

应从高二年级中抽取的学生数为60、屋口=20,故4正确；

对于B,由最小二乘法求得的线性回归方程y=bx+a不一定经过其样本数据点，故B

错误；

命题“Vx>0,lg(?+1)20”的否定是lg(?+1)V0"，故C正确；

方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小，在样本容量相同的情况下，

方差越大，数据的波动越大，即离散程度越大，方差越小，数据的波动越小，即离散程

度越小，故。正确.

故选：ACD.

(多选)10.若函数f(x)=sin|jf|-cos2x,则()

A.f(x)是周期函数

B.f(X)在［-TT,TT］上有4个零点

n

C.f(x)在(0,-)上是增函数

2

D./(%)的最小值为-1

解:函数f(x)=sin|x|-cos2r,

对于A：函数y=sin|x|不是周期函数，故A错误；

对于&八尤)=fsin2x+s讥”—1(%>0)(令…)=°,在［…可上，

k2sin2x—sinx—1(%<0)

求得工=一［,p故3正确；

4466

对于C：当x£(0,*)时,于(x)=2sin2x+sinx-1,

所以/(x)=4sinxcosx+cosx,

第15页共25页

由于工£(0,2)，所以sinx>0且cosx>0,故#(x)>0,

故函数/(X)在X6(o,今上单调递增，故c正确；

-1Q

对于£>：由于/(x)=2sin2x4-siar-1=2(sinx+^)2—o，

故选：BC.

(多选)11.数列｛板｝为等比数列，公比为q>l,其前〃项和为S”，若“5-41=15,SF4

=16,则下列说法正确的是()

A.S〃+1=2S〃+1

B.an=2n

C.数列｛log3(S〃+l)｝是等比数列

D.对任意的正整数左(左为常数)，数列｛log2(S/k-S)｝是公差为1的等差数列

解：因为公比为q>l,由卜一如=15，

可得”即勺4,

iQiq-Qiq。=16q乙4

所以4q4-15夕2-4=0,

解得/=4,

所以『i=J,所以a〃=2"[Sn=2"-l,

(q=2

所以S〃+i=2"+i-1=2S〃+1,S〃+l=2",

所以log3(Srt+l)=nlog32,

n+knk

所以数列｛10g3(S+l)｝是等差数列，对任意的正整数小k,Sn+k~Sn=2-2=(2

-1)2”,

所以数列log2(Sn+k-S〃)=n+log2(2&-1),

所以数列｛log2(S+&-S)｝是公差为1的等差数列,

故正确的为4D

故选：AD

(多选)12.设函数/(x)=min[\x-2|,7,|x+2|),其中加〃｛居y,z｝表示x,y,z中的

最小者.下列说法正确的有()

A.函数/(x)为偶函数

第16页共25页

B.当xe[l,+8)时，有/(x-2)

C.当xCR时，f(/(x))W/(x)

D.当x€[-4,4]时，\f(x)-2l^f(x)

解：在同一直角坐标系中画出函数y=|x-2|,y=/,y=|x+2|的图象如右图所示,

|x+2|,%<—1

/,-1<x<1,

(|x-2|,x>1

显然有f(-x)=/(x),可得/(x)为偶函数；故A正确；

又当x与l时，/(x)=|x-2|,f(x-2)的图象可看作/(x)的图象右移2个单位得到,

显然时，/(x)的图象在/(x-2)图象之上，

.•.当灰口,+8)时，有f(x-2)Wf(x),故B正确;

又由图象可知：若xeR时，f(x)NO,可令f=/(x),

由y=FG)和y=rCO)的图象可知：当时，>=，在曲线y=/(t)的上方，...当

时，有闫⑺,

即有/(/(x))"X)成立，故C正确；

若xe[-4,4],/(-4)=2,/(-4)-2=0,显然/(-4)>[/(-4)-2|,故。不

正确，

13.已知/(无)=sin(2x+<p)+V3cos(2x+(p)(|(p|<^)是奇函数，则<p=_—

解：,.*/(x)=sin(2x+(p)+V3cos(2x+<p)=2sin(2x+<p+^)为奇函数，

yr

:.<p+可=kn(kEZ),

第17页共25页

即<p=Znr—§（依Z）,

又即I4

・••当2=0时，（p=—

故答案为：-全

14.己知函数/（x）=log4（4X+1）（髭R）是偶函数，则2的值为_一今_.

解：（1）由函数/（X）是偶函数，可知/（X）=/（-X）

/.Iog4（4"+1）+履=log4（4，+1）-kx

即的4j号=-2kx,

log44x=-2kx

：.x=-2kx对一切xGR恒成立，

..1

••仁一2

故答案为-

15.如图，在△A8C中，。是BC的中点，E在边4B上，AC=2,BE=2EA,AO与CE的

交点为O.若筋♦而=一2,则4B的长为_2百一

解：•.•。是BC的中点，BE=2EA,

：.BE=^BA,BC=2BD,

,：E,O,C三点共线，设病=；l届+(1-4)^?=竽或+2(1-2)面)，且三点A,O,

。共线，

2Aa

.,./■+2(1-入)=1，解得"本

：.BT0=^1BTA+^1BCT,

L4

：.A0=AB+BO=AB+^BA+^BC=^(AB+AQ,

第18页共25页

：.AO-BC=^AB+AC)-(AC-AB)=^(^AC2-AB2)=1(4-AB2)=-2,

：.AB2=12,\AB\=2V3.

故答案为：2g.

16.已知圆Ci和圆C2与x轴和直线(k>0)相切，两圆交于P,。两点，其中P点

13

坐标为(3,2),已知两圆半径的乘积为一，则k的值为2夜.

2——

解：..•圆C1和圆C2与x轴和直线>=依(A>0)相切，两圆交于P,。两点，其中P点

坐标为(3,2),

；.Ci和C2在第一象限，

设m6为圆。和圆C2的半径，

则Cikma,a),C2(mb,b)(nz>0),

：点尸在圆Ci和圆Ci,

.f(ma-3)2+(a-2)2=a2

,•[(mb-3)2+(b-2>=b2'

又•.•圆Ci和圆C2与x轴相切，

.'.a,b是，/J-(6m+4)r+13=0的两个根，

又■:ab=竽，

7=T-'解得m=夜，

m22

•.•直线C1C2的倾斜角是直线>=丘(k>0)的一半,

故答案为：2企.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知四边形ABCC中，AC与BD交于点E,AB=2BC=2C£>=4.

(1)若/AOC=",AC=3,求cosNCAQ；

(2)若AE=CE,BE=2>f2,求△ABC的面积.

解：(1)在△ACD中，NAOC=号，AC=3,CD=2,

第19页共25页

4cCD

可得

sin乙ADCsin乙CAD'

即有sinZCAD=CDsi^ADC=孥=孚,

可得cosZCAD=g=T;

(2)在△ABC中，AB=4,BC=2,BE=2迎,

设AE=CE=x,ZAEB=a,ZCEB=n-a,

由余弦定理可得cosa=铛咨x2+8—4

2x-2v22x-272

询吊得x=&,cosa=—sina=Jl-g=冬,

所以△ABC的面积为2x1x*2V2sina=&x2&x[=夕.

Z4

18.(12分)为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用

寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如图频率分布直方图:

(1)估算4型设备的使用寿命的第80百分位数:

(2)将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：

超过2500小时不超过2500小时总计

A型

8型

总计

根据上.面的列联表,能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关?

(3)已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能

第20页共25页

完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设

备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和8型设备每台每小时耗电分别为2度和6

度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说

明理由.

2

参考公式：K2=(、八,“、,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(匕+d)

参考数据：

P(烂》口)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

解：(1)前3组的频率之和为(0.0002+0.0004+0.0006)X500=0.6,

前四组频率之和为：(0.0002+0.0004+0.0006+0.0005)X500=0.85,

所以第80百分位数一定位于［3000,3500),

故第80百分位数为：3000+x500=3400(小时).

U.OD-U.O

(2)由频率分布直方图可知，

A型超过2500小时的有100X(0.0006+0.0005+0.0003)X500=70台，

则A型不超过2500小时的有100-70=30台，

B型超过2500小时的有100X(0.0006+0.0003+0.0001)X500=50台,

则B型不超过2500小时的有100-50=50台,

故2X2列联表如下:

超过2500小时不超过2500小时总计

A型7030100

B型5050100

总计12080200

9

・・<2=2。。X(70x50-30x5())〜区

*K-100x100x120x80〜

,有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关.

(3)A型设备每台变换的频率为不=0.3,所以10台A型设备估计要更换3台，

100

B设备每台变换的频率为里=0.5,所以10台8型设备估计要更换5台，

100

选择A型设备的总费用yi=(10+3)x1+10X2X0.75X2500X104=16.75(万元),

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选择B型设备的总费用)，2=(10+5)X0.6+10X6X0.75X2500x10-4=20.25(万元),

故选择A型设备.

19.(12分)已知数列｛“"｝》两足：(in+1+tin=2n+7(nGN))且ai=4.

(1)求数列｛而｝的通项公式；

1,n=1/*

(2)已知数列｛丛｝满足:加=，定义使"坨2•历•…•"(依N)

，°9(71+2)M，n>2,nWN*

为整数的攵叫做“幸福数”，求区间［1,2021］内所有“幸福数”的和.

解：(1)2〃+7①，

・、M22,an+cin-1=2〃+5②,

当儿》2时,①-②可得如j-M1=2,

・・・｛。〃｝的奇数项与偶数项各自成等差数列，且公差均为2,6/1=4,4/2=5,

.*.a2«-1=«1+2(/2-1)=2n+2=2n-l+3=>aw=n+3(〃为奇数)，

。2〃=。2+2(n-1)=2〃+3=。“=〃+3(〃为偶数)，

♦・。〃=〃+3；

,1,n=1

(2)由b=，

Z°g(n+2)(n+3)，n>2/n6/V*

lslg6lg(k+3)lg(k+3)

b\*b2*b39•/?^=log451og56e•••log(K2)(k+3)=7^a-7*---•----------=--------

Ig'lg5e(k+2)lg4

=log4(k+3),

设log4(女+3)=m,：.k=4m-3,

令1W4机-3W2021=lWmW5,m£N*,

，m=l,2,3,4,5,

区间［1,2021］内的“幸福数”为41-3,42-3,45-3,

_4-(1-45)

.,・所有“幸福数”的和为n------3x5=1349.

1—4

20.(12分)已知抛物线C：W=2py(p>0),过点T(0,p)作两条互相垂直的直线人和

/2,/1交抛物线C于4,8两点，/2交抛物线C于E,尸两点，当点A的横坐标为1时，

抛物线C在点A处的切线斜率为今

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)已知。为坐标原点，线段AB的中点为M,线段EF的中点为N,求证：直线MN

过定点.

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解：(1)因为/=2py(p>0)可化为y=京，

所以<=今

因为当4点的横坐标为1时，抛物线C在点A处的切线斜率为二,所以%=

所以p=2,

所以抛物线C的标准方程为7=4)，.

(2)证明：由(1)知点T的坐标为(0,2),

由题意可知，直线/I和/2斜率都存在且均不为0,

设直线的方程为丫=履+2,

由:魂;2，联立消去y并整理可得/—

所以A=(-4Z)2+32=16ZT+32>0,

设A(xi,yi),B(X2,”)，则xi+x2=4k,x]X2=-8,

所以yi+y2=Z(xi+x2)+4=4必+4,

因为M为A5的中点，所以M(2Z,2庐+2),

122

因为/」/2,N为EF中点，将M中的人换为一/，可得N(-£,—+2),

2+2后—(马+2)

所以直线MN的方程为y-(2必+2)=——五/——<x-2k)=«—%)•(%-28,

整理可得>=(k-"+4,

所以直线MN恒过定点(0,4).

21.(12分)已知函数/(x)="(/+/nx+"P),g(x)=a^+x+axlnx,

(1)若函数f(x)在x=-1处取极小值，求实数〃2的值；

(2)设加=0,若对任意xW(0,+°°),不等式/(x)2g(x)恒成立，求实数。的值.

解：(1)/(x)=e'[/+(m+2)x+n^+m],

由题意得，(-1)=0,即m=土1,

当机=1时，f(x)(x+1)(x+2),

此时f(x)在(-2,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，符合题意；

当m=-1时，/(x)="(x+1)x,

此时/(x)在(-8,-1)上单调递增，在(-1,+8)上单调递减，不符合题意.

综上可得，m=\.

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(2)由/(x)2g(x)得xe'-1-〃(.x+lnx)20,指数化得不等式-1-〃Cx+lnx)

20恒成立，

令t=x-\-lnx,则V/ER,不等式el-at-120恒成立，

令〃(力=ef-at-1,reR,则h'(r)=£-m

当“WO时，〃'(/)>0,h(/)单调递增，h(-1)=:+。-1<0,不符合题意；

当〃>0时、令力'(/)=0,得x=lna,当(-°°,Ina)时，h'(1)<0,〃(f)单

调递减，

当尤Una,+8)时，T⑺>0,h⑺