2022年高考数学押题预测卷02（天津卷）（考试版+全解全析）

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2022年高考押题预测卷02【天津卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项:

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

A.14B.14.5C.15D.15.5

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

5.设。=ln/r,〃=lg3,c=则()

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

A.c>b>aB.b>c>aD.a>c>b

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。6.已知三棱柱ABC-A4G的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为退，AB=2,

一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目AC=\,N84c=60：则此球的表面积等于（）

要求的.）A.8万B.9万C.10乃D.1U

1.已知集合4={xeZ|W<5卜3=卜归"},则AC|8=()

7.已知函数/3=/，a=/（log,J,&=乂1吗9，c=/hog,ll,则下述关系式正确的是（）

A.(2,5)B.[2,5)C.{2,3,4}D.{3,4)

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c

2.命题“心€(0,1),f7<0”的否定是()

8.已知双曲线力>0>,过原点的直线与双曲线交于A.8两点，以A8为直径的圆恰好过双曲

A.%.(0,l),.tp-之0B.任(0,1)，4一<0a2b'

线的右焦点C,若AABC的面积为2a2,则双曲线的渐近线方程为

C.V.r0e(0,1),XQ-x020D.切€(0,1),%-％之0

3.函数/(司=*-2/-1的图象大致是(A.y=±-xB.y=±y/2xC.y=±^-xD.y=±y/3x

,ir

9.已知函数/（x）="为自然对数的底数），若〃X）+〃T）上。恒成立，则实数，的

-eT（A+l）,,r<0

取值范围是（）

A.[f,+oo)B.[0t-Hx)

C.[0,e]D.[0,2r]

二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对I个的给3分，全部答对

的给5分。）

10.已知GR,i是虚数单位，若（l+i）（l-沆）=々，则:的值为____.

b

4.某校抽取100名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五11.（2A?-3'的展开式中F的系数为.（用数字作答）

组：第•组［13,14）,第二组［14,15）,L,第五组［17,18］.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,X

12.已知直线/："*+y-2,"-2=0与圆。:/+,2-8>=0交A,B两点，若NAC8=g,则直线/的方程为

若成绩低于〃即为优秀，如果优秀的人数为14人，则。的估计值是（）

13.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，18.（15分）

已知椭圆C:；■+二=1(。>力>0)的离心率为J,以椭圆中心为圆心，氏半轴长为半径的圆被直线

且任一同学每天到校情况相互独立.用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，则随机变量

ab2

X的数学期望为:设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学

3工+4)，+5=0截得的弦长为2曲

在7：30之前到校的天数恰好多2”，则事件M发生的概率为.

(1)求椭圆C的方程：

14.已知实数"满足工>>20,则上+山的最小值是_____

(2)椭圆C的左顶点为A,右顶点为4,右焦点F,M是椭圆位于x轴上方部分的•个动点，以点F为

x+yx-y

圆心，过点M的圆与x轴相交，交点T在F右边，过点8作x轴的垂线/交直线AM于点N,过点尸作直

15.己知扇形408半径为1,ZAOB=60。，弧A3上的点P满足丽=2)+〃。*则〃的最

线FELMT,交直线/于点E,判断粤是否为定值，并给出证明.

大值是一;胡.丽最小值是一：\EN\

19.(15分)

已知数列也｝，｛〃,｝,5”，是数列也｝的前〃项和，已知对于任意〃GM,都有M,=2S“+3,数列也｝是

等差数列，4=log34,且4+5,a+1,4-3成等比数列.

(1)求数列｛〃"｝和｛<｝的通项公式.

an,^n=2k-\,keAT)

三、解答题(本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)⑵记C,尸包大"=2&&eN.)>求数列｛%｝的前H项和人

16.(14分)

2n

函数/(A)=(sinx+cosA-y+73COS(2X+^-)-(3)Zqq+j.

(1)求函数/(”的最小正周期并求当xe[o,、]时，函数/(力的最大值和最小值；20.(16分)

已知函数，(x)=(x)=lnx.

(2)己知△/$(7的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若=sinC=2sinB,且a=2,求AABC(1)设Mx)=g(x)V求函数妆x)的单调增区间；

的面积.(2)设.>1,求证：存在唯一的飞，使得函数y=g(x)的图象在点A(%,g(.%))处的切线/与函数y=/(可

17.(15分)的图象也相切；

如图，在四极•锥P-ABC。中，底面ABCZ)是正方形，PD1DA,PDLDC,M是棱4。的中点，N是棱(3)求证：对任意给定的正数”，总存在正数X,使得不等式|号月一，Va成立.

PD上一点,PD=2AB=4.

(I)若N是极PZ)的中点，求证：PA//平面MNC；

(II)若N是棱尸。的中点，求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；

(III)若二面角C-MN-。的余弦值为立，求ON的长.

7

2022年高考押题预测卷02【天津卷】

数学.全解全析

一、选择题(本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.)

123456789

CDDBDAABD

1.【答案】C

【详解】

解：VA={xeZ|-5<x<5},B=1x|x>2|,

AcB={xeZ|24xv5}={2,3,4}.

故选：C.

2.【答案】D

【详解】

全称命题“Vxe(0,1),/-x<0”的否定形式需要改量词，以及结论否定，

即否定是加€(0,l)X-aW0.

故选：D

3.【答案】D

【详解】

/(-%)=-2(-x)2-1=-2x2-1=/(x),则f(x)是偶函数，图象关于轴对称，排除

C,

当x>0且x->+oo,/(x)f+oo,排除A,

当x>0时，_/(x)=e'-2x2-l,则/(x)="—4x,

vr(o)=i>o,r(i)=^-4<o,r(io)>o,则ra)=o有两个不同的零点，

即当x>0时，函数至少有三个单调区间，排除B,

故选：D.

4.【答案】B

【详解】

优秀人数所占的频率为W14=014,

100

测试结果位于［3,14)的频率为0。6<0.14,测试结果位于［13,15)的频率为

0.06+0.16<0.14,所以，ae(14,15),

由题意可得0.06+（a-14）x（）.16=0.14,解得“=14.5.

故选：B.

5.【答案】D

【详解】

因为y=lnx在（0,物）上单调递增，所以］ni>lne,即”>1

因为y=lgx在（。,+功上单调递增，所以lgl<lg3<lgM，即

因为函数尸■在（0,y）上单调递减，所以即¥>°>；,

综上：a>c>b,

故选：D.

6.【答案】A

【详解】

由AB=2,AC=1,ZBAC=60°,由余弦定理可得：

BC=yjAB2+AC2-2AB-AC-cos60°=^4+l-2x2xlxl=6,

AAC2+BC2=AB2,/ACB=90。，...底面外接圆的圆心在斜边AB的中点，

设三角形ABC的外接圆的半径为r,则r=等=1,

又S“3c=g8C.AC=；xlx#=*'

所以V柱=SMUC'AA1=5/3,所以可得AAi—2,

因为三棱柱ABC-4BG的侧棱垂直于底面，

所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，设

外接球的半径为七则N=A（竽）2=口+口=2,

所以外接球的表面积5=47^=471x2=871：,

故选：A.

7.【答案】A

【详解】

•••/（X）是偶函数，并且当x>0时，〃x）=eT,函数单调递减,

a=/^>ogt,1j=/(-log4.3)=/(logt.3),^=/^og,^=/(log3e),

=〃1嗝9)，

•.Tog,9>log,3>1>log3e>0,.•./(log,,9)</(log(,3)</(log?e),

即c<a<b.

故选：A

8.【答案】B

【详解】

•••以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C,

二以为直径的圆的方程为V+y2=c2,

2

由对称性知AABC的面积S=2stM1c=2x$h=ch=2a,

即〃=生，即B点的纵坐标为y=空，

CC

则由X」+(空)2=C2,得炉=C2-(均=--,

CCC"

因为点B在双曲线上，

得4a4=(/-〃>,

即2a2=^-/,得"'=/,得c=布(1,b=-Jla-

则双曲线的渐近线方程为y=±-x=士岳.

a

故选B

9.【答案】D

【详解】

当x>0时，则一x<0,可得/(%)=e*—以+5,/(—力=—e"(―jv+l)=e"(x—1),

/(x)+/(-x)=xex-rjc+-^>0,即，(2x-1)<2xex.

①当0<x<；时，贝ijd二]，令8(力=当二则g，")=2e??『)

22x-l'72x-\(2x-l)

所以，函数g(x)在(0,£)上单调递减，所以，g(x)<g(O)=O,止匕时，此0；

②当x=；时，可得1之0，此时，

③当时，贝卜卫匕2e，(2x+l)(x-1)

x>[4小)一(21『

22x-l

当;<x<l时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减,

当x>l时,g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增，

所以，gGL,=鼠1)=*，此时，，W2e-

综上，当x>0时，0</<2e；

当x=0时，则有/(0)=1+；*0,可得rN—2；

当x<0时，则-x>0,/(x)=-e"'(x+1),〃-x)=e-*+rx+；,

/(x)+/(-x)=-xe-，+a+；W0恒成立，同理可求得04f42e.

综上所述，实数f的取值范围是[0,2e].

故选：D.

二、填空题：(本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给

3分，全部答对的给5分。)

10.【答案】2

【详解】

\+b=a[a=2"

试题分析：由(l+i)(1—〃)=l+b+(l-b)i=a,可得｛,八八，所以，,,：=2,故答案

l-o=0[b=\b

为2.

11.【答案】80

【详解】

解：•・•(2x2-1)5的展开式的通项公式为却|=0(-1)12»~也"，令10-3厂=4,求得，=2,

X

故展开式中X4的系数为盘.2,=80,

故答案为：80.

12.【答案】x-y=0

【详解】

圆C的标准方程为/+()-4)2=16,圆心为C(0,4),半径为r=4,

因为NAC8=],且|AC|=|Bq=4,所以，AA3C为等腰直角三角形，且|AB|=忘|47|=40,

圆心C到直线/的距离为〃=£浮&=g4。=2五，整理可得(机+1)2=0,解得机=-1.

。〃广+12

因此，直线/的方程为x-y=o.

故答案为：x-y=0.

20

13.【答案】2

243

【详解】

2

由题意知：X={0,l,2,3},且服从X~B(3,§),

E(X)=〃p=3x|=2.

甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2的基本事件有｛甲

121

3天乙1天，甲2天乙0天｝,又尸(*=0)=婢(§)3(?。=三，P(x=l)=

尸(X=2)=*y守卷，P(X=3)=%)。卓吟,

,•27272727243

故答案为：2,—.

243

14.【答案】2+20

【详解】

,/x>3?>0,

「.x+y>x-y>0,4x=2[(x+y)+(x-y)],

2(xy

4x+x+y=2(x+y)+2(x-y)+x+y=2(x-y)+x+y+2>2+2^~^.*+♦=2+2及

x+yx-yx+yx-yx+yx-y'x+yx-y

，当且仅当在(x-y)=x+y时，即当x=(3+2点)y时，等号成立，

因此言+岩的最小值为2+2日

故答案为：2+2应

15.【答案】空

32

【详解】

以0B为x轴，过。做的垂线作〉轴，建立平面直角坐标系,

C>(O,O),B(1,O),A(-,—),p(cos^sin6，)6'€。，?

22_，

则(cos仇sin。)=〃；,*^)+〃(l,0),

所以cose=,+4,sin6=^^/l,

，冗，c万，24、

2+//=—sin^+cos^=—j=sin(O+^),(—<0+—<—).

3J333333

==(--cos0,--sin0)(1-cos。，一sin0)

22

=1-73sin(6»+y)>|-73.

故答案为：空;

32

三、解答题(本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

16.(14分)

【答案】(1)7=不，最大值为3,最小值为-#+1；(2)组.

3

【详解】

(1)/(x)=(sinx+cosx)2+V3cos(2x+^)

=1+sin2x-5/3cos2x=2sin2x--+1,

•••函数/(X)的最小正周期7=1="；

因为T词所以-("J咛,

、冗SITTT

因为函数f(x)在X€0,—单调递增，在XW上单调递减

所以"0)=2+1=-6+1,

膈卜3,/图=2x*+l=G+l

所以函数的最大值为3,最小值为-6+1；

(2)/(2=2sin(A-1)+l=l,sin(A-1)=0

TT_.TT57r.A冗丁ona4

・<2A<-・・.A=0艮［JA=——,

333f3f3

由正弦定理以及sinC=2sinB,可得c=2b,

由余弦定理可得a?=b2+c2-2bccosA^4=b2+4b2-2-b-2b--,

2

可得b=述,

3

.4石.01..,,2,2石、2币2上

x

,,C=-J•,S&ABC=-bcsmA=b•—=(—^-)—=~

17.(15分)

【答案】(I)证明见解析；(II):：(III)72.

6

【详解】

(I)证明：是棱AD的中点，N是棱PD的中点，

MN//PA,

；MNu平面MNC,PA<z平面MNC,

PA//平面MNC.

(II)以。为原点，D4为X轴，OC为y轴，。尸为Z轴，建立空间直角坐标系,

z

则尸(0,0,4),B(2,2,0),A/(1,0,0),TV(0,0,2),C(0,2,0),

丽二(2,2,-4)，丽=(T(),2),A?C=(-l,2,0),

设平面MNC的一个法向量为n=(x,y,z),

n-MN=-x+2z=0

取x=2,得3=(2,1,1),

n-MC=-x+2y=0

设直线PB与平面MNC所成角为。，

则直线P8与平面MNC所成角的正弦值为：

|丽臼2_1

sin0-1」~~rT?="t——7==—.

|PB|-|n|7246

(III)设DN=t,由题意易知0<f44,则N=(0,0,f),丽=(-l,0,f),

MD=(-1,0,0),就=(-1,2,0),

设平面MNC的一个法向量为m=(a,b,c),

m-MN=-a+tc=0取a=2,得比=[2,1,7

m•MC=-a+2b=6

因为y轴显然与平面MND垂直，所以不妨取平面MND的一个法向量为万=(0,1,0),

•.•二面角C—MN—。的余弦值为也,

7

由0</44,解得t=五.

：.DN的长为壶.

18.(15分)

22

【答案】(1)—4-^=1；(2)为定值，证明见解析.

43

【详解】

八、c1h23

(1)v-=-=x>—=-

a2a24

・・・圆被直线3x+4y+5=0截得的弦长为

a2=小+(币),

22

解得4=2,•••椭圆C的方程为：—+^=1.

43

(2)设直线AM的方程为>=欠*+2)

y=k(x+2)

联立，/2

—+—=1

43

可得(4炉+3卜2+16人+原2-12=0

16A2-12

4F+3

4-a]2&、

可得M伙>0)

邓2+3'4公+3,

’12公+3丫

以尸为圆心,|9|为半径的圆为。-1)2+卜2=

、4床+3,

’12如+3]

(x-l)2+y2

联立《、4公+3)

y=0

16k2+6

可得”,0

4公+3

线段的中垂线为：y=2Z(x-l)

Jy=2%(D

E(2,2k)

[x=2

7y=k(x+2),

又c，•.•阳2,的

x=2

所以E为线段8N中点

\BE\

两

19.(15分)

邛+2ii1

—+-/i2--n--(?n^kA,kwN]

【答案】(8428

1)%=3",b„=2n-\.(2)Tn=-4”+ii3

—+-n2--(?/i=2&keN]

848

75।40〃-25丁+|

1648,

【详解】

(1)因3a“=2S”+3,〃22时，3«„_,=2S,,..+3,

则有3a“-3%=2。”,即4=3%,而〃=1时,3a,=2o,+3,即4=3,

•••｛%｝是首项4=3,公比为3的等比数列，从而4=3"；

设等差数列低｝的公差d，m^=log33=l,依题意(仇+1尸=(4+5)(d-3),

(34+2)2=(d+6)(5d_2),^_2)2=0；j=21所以2=2"-1；

.〃(3",?〃=(Z-2左eW”

(2)由⑴知G=.9...…

当〃为偶数时，r=G+C2+…+C=(G+G+…+CT)+(C2+C+…+C)

n

3(1-9^)14-(72-1)

=(3+33+.・・+3”一)+(1+3+.・・+〃-1)=।

?〃+2一劣1

当〃为奇数时，Tn=T^-C,t+i=--+-｛n+^-n

04

3〃+21I1

-+-n2——n——(?〃2k4,keN)

——+-/r一一(?〃2kkwN]

I848

(3)VneN*，G“_\C2“+C2nC2n+t=C2n(C2n_x+C2n+l)

=(2n-1)-(32n-,+32n+,)=10(2/7-1)-32"-1=y(2n-1)-9n

2n1Q

所以句是数列｛；⑵-1).9"｝的前„项和，

A+I3

设｛(2〃-1>9"｝的前项和为此，

(=9+3x92+…+(2〃-1>9”,

9/?„=lx92