过关卷13.3-4 等腰三角形-简单数学之2021-2022学年八年级上册考点专训（解析版）（人教版）

过关卷13.3-4等腰三角形一、选择题（每小题3分，共36分）1．有下列说法：①等腰三角形的腰相等；②等腰三角形的两底角相等，③等腰三角形的中线、高线和角平分线互相重合；④等腰三角形两底角的平分线相等；⑤等腰三角形的腰一定大于腰上的高线其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质分别判断即可．【详解】解：①等腰三角形的腰相等，故正确；②等腰三角形的两底角相等，故正确；③等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故错误；④等腰三角形两底角的平分线相等，故正确；⑤等腰三角形的腰一定大于或等于腰上的高线，故错误；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，解题的关键是了解等腰三角形的性质，难度不大．2．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（）A．AD＝BD B．∠A＝30°C．∠ACB＝90° D．△ADC与△BCD的面积相等【答案】B【分析】根据三角形中线定义、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等底等高的三角形面积相等进行逐项判断即可．【详解】解：A、∵CD是△ABC的边AB上的中线，∴AD=BD，故A正确，不符合题意；B、不能判定出∠A=30°，故B错误，符合题意；C、∵CD=CD＝AB，∴CD=AD=BD，∴CD＝AB，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=90°，故C正确，不符合题意；D、∵△ADC与△BCD边AD和BD上的高相等，且AD=BD，∴△ADC与△BCD的面积相等，故D正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查三角形中线定义、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等底等高的三角形面积相等，理解三角形的中线性质和等腰三角形的等边对等角性质是解答的关键．3．如图，在中，为的中点，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．【详解】解：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAD=∠CAD=25°，∴∠BAC=50°，故选：D．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4．如图，在中，平分，平分，经过点且，若，，，则的周长是（）A．15 B．16 C．17 D．24【答案】A【分析】先根据平行线的性质、角平分线的定义、等边对等角得到BE=OE，OF=CF，再进行线段的代换即可求出的周长．【详解】解：∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∵平分，∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴BE=OE，同理可得：OF=CF，∴的周长为AE+AF+EF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=7+8=15．故答案为：A【点睛】本题考查了等腰三角形的判定“等边对等角”，熟知平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定定理是解题关键．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（）A．BC＝EC B．BE＝EC C．BC＝BE D．AE＝EC【答案】C【分析】证明∠BEC=∠BCE，可得结论．【详解】解：由作图可知，CD⊥AB，CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠ECD+∠DCB，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，故选：C．【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6．在正方形网格中每个小正方形的边长都是1，已知线段，以为腰画等腰，则顶点C共有（）个．A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】A【分析】根据等腰三角形的定义，分别以点A和点B为顶点，可得点C．【详解】解：如图，点C共有5个，故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形，根据等腰三角形的定义结合网格性质画图是解题的关键．7．如图，直线、交于点，若、是等边的两条对称轴，且点在直线上（不与点重合），则点、中必有一个在（）A．的内部 B．的内部C．的内部 D．直线上【答案】D【分析】根据等边三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质解决问题即可．【详解】解：如图，∵△PMN是等边三角形，∴△PMN的对称轴经过三角形的顶点，∵直线CD，AB是△PMN的对称轴，又∵直线CD经过点P，∴直线AB一定经过点M或N，故选：D．【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，等边中，，点在边上，，，垂足分别为、，设，若用含的式子表示的长，正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等边三角形的性质可得AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【详解】解：是等边三角形，，，，，∴∠BPD=90°-∠B=30°，∠CDE=90°-∠C=30°，，，，，，，，故选：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．9．如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下边结论①P在∠A的平分线上；②QP//AR；③△BRP≌△QSP；④QS=SC中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据角平分线的判定定理知，①正确；根据等腰三角形的性质知，∠1=∠2，∠3=∠2，所以∠1=∠3，内错角相等，所以PQ∥AR，②正确；根据AAS证明△BRP≌△QSP，③正确；根据等边三角形的判定与性质可得④正确．【详解】解：如图，∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，∴∴点P在∠A的平分线上，故①正确；∵点P在∠A的平分线上；∴∠2=∠3．又∵AQ=PQ，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴QP//AR，故②正确．∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠C．

又∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，

∴∠BRP=∠CSP．

又∵PR=PS，

∴△BRP≌△QSP，故③正确．∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=∠BAC=60°又QP//AR∴∠PQC=∠BAC=60°∴∠QPC=60°∴△PQC为等边三角形，∵PS⊥AC∴QS=SC，故④正确∴正确的结论有①②③④，共4个，故选：D．【点睛】充分利用等边三角形三个角相等、三线合一等性质，找到图中相等的量，再根据角平分线的性质、平行线的判定等知识进行判定．10．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】首先根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．【详解】解：如图①：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵CD=AC，∴∠A=30°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=；如图②：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵CD=AC，∴∠CAD=30°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B=30°，∴∠B=∠ACB=15°．∴这个三角形的底角为：75°或15°．故选：D．【点睛】此题考查了直角三角形的性质与等腰三角形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．11．如图1．直线，是等边三角形，点在直线上，边在直线上，把沿方向平移长度的一半得到；持续以上的平移得到图2，再持续以上的平移得到图3，…，则第2021个图形中等边三角形的个数为（）A．8084 B．6064 C．4042 D．2021【答案】A【分析】先得出阴影部分的三角形是等边三角形，然后观察图可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此可求解．【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴由平移的性质可得、、都是等边三角形，∴观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，……；∴由此规律可得：第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，∴第2021个图形中等边三角形的个数为（个）；故选A．【点睛】本题主要考查平移的性质及规律问题，解题的关键是根据图形得到规律．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠ABC＝60°，点O为△ABC内一点，且OA＝OC，作点B关于直线OC的对称点B'．连接BB'、OB'、CB'．下列结论正确的是（）①∠OAB＝∠OCB；②；③当时，．A．① B．①③ C．② D．①②③【答案】D【分析】证明△ABO≌△CBO（SSS），推出∠BAO＝∠BCO，∠ABO＝∠CBO＝30°，故①正确由B，B′关于OC对称，推出OB＝OB′，CB＝CB′，∠CB′O＝∠CBO＝30°，∠BCO＝∠B′CO，故②正确，再证明∠AJK＝∠COK＝90°，可得③正确．【详解】解：如图，连接OB，设AB交于J．，设OA交于K．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，在△ABO和△CBO中，，∴△ABO≌△CBO（SSS），∴∠BAO＝∠BCO，∠ABO＝∠CBO＝30°，故①正确∵B，关于OC对称，∴，，故②正确，∴，∵，∴OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，∵∠OKC＝∠AKJ，∠BCO＝∠B′CO＝∠JAK，∴∠AJK＝∠COK＝90°，∴，故③正确．故选：D．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）13．如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB的中点，连接CD，∠ACB=46°，则∠A=_____°．【答案】67【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠ACB=46°，∴∠A=（180°-∠ACB）=67°；故答案为：67．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．14．如图，中，，将沿平移得到，与相交于点，则的长为________．【答案】5【分析】根据平移的性质得BE=3cm，AB∥DE，从而得∠EGC=∠BCA，进而即可求解．【详解】解：∵将沿平移得到，∴BE=3cm，AB∥DE，∴∠A=∠EGC，∵，∴∠A=∠BCA，∴∠EGC=∠BCA，∴EG=EC=8-3=5cm，故答案是：5．【点睛】本题主要考查平移的性质，平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，掌握平移的对应边平行且相等，是解题的关键．15．如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________．【答案】2【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．【详解】解：∵，∴∠A+∠ABC=，∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，∴AD=BD，∴∠ABD=，∴，∵，∴AD=BD=2CD=2，故答案为：2．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．16．如图，在中，，，AD平分交BC于D，于E，若的周长是4cm，则AB的长为_________cm．【答案】4【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出AB=△BDE的周长．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC，∵AC=BC，∴BC=AE，∵△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB，∴AB=4cm．故答案为：4．【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，关键是利用线段和差把三角形的周长转化为AB的长．17．如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是________．【答案】8【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR的周长=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．【详解】解：设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM，作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN，连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形，∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF，∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=8，即在保持OP=8的条件下△PQR的最小周长为8．故答案为：8．．【点睛】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．18．如图，在中，，点D在边上，关于直线，对称，的角平分线交边于点G、连接，当的值等于_______时，为等腰三角形．【答案】10°，25°或40°【分析】首先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；再分三种情况讨论解答即可，当GD=GF时，就可以得出∠GDF=80°，根据∠ADG=40°+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．②当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．③当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GDF=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形．故答案为：10°，25°或40°．【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）19．一艘轮船由南向北航行，在处测得小岛在西偏北方向上，两小时后，轮船在处测小岛在西偏北方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船仍按15海里时的速度向前航行，有无触礁的危险？【答案】该船继续向北航行有触礁的危险，理由见解析【分析】过点作，垂足为．根据已知条件易求海里，再根据30°角直角三角形的性质可得海里，由，即可判定该船继续向北航行有触礁的危险．【详解】过点作，垂足为．轮船的速度是15海里时，到的时间是2小时，（海里）．处测得小岛在西偏北方向上，两小时后，轮船在处测小岛在西偏北方向上，，，，，（海里），，（海里），，该船继续向北航行有触礁的危险．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及含30°直角三角形的性质，其中轮船有没有危险由PC的长与18比较大小决定．20．如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．（1）求证：；（2）求的度数．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）由题意易得，，则有，然后问题可求证；（2）由（1）可得，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵，∴，即，∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴根据三角形内角和可得，∴，由（1）可得，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．21．如图所示，在中，．（1）尺规作图（尺和圆规），过顶点，作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在上任取一点，连接、．①求证：；②当时，求证：．【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②见详解．【分析】（1）利用角平分线的尺规作图：以A为圆心任意长为半径画弧，分别交AB、AC于M、N，然后分别以M、N为圆心大于MN为半径画弧，交于点D，连接AD并延长即可；（2）①由等腰三角形的“三线合一”得到AD所在直线为线段BC的垂直平分线，即可得到答案；②由直角三角形锐角互余和角的相等关系即可得到结果．【详解】解：（1）以A为圆心任意长为半径画弧，分别交AB、AC于M、N，然后分别以M、N为圆心大于MN为半径画弧，交于点D，连接AD并延长，（2）①如图，∵，AD平分∠BAC，∴AD所在直线为线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，②如图，延长BE交AC于F，令射线AE交BC于H，由，AD平分∠BAC，可知∠ABC=∠ACB，AH⊥BC，即∠AHB=90°，∴∠BAD+∠ABC=90°，当时，∠CBE+∠ACB=∠BAD+∠ABC=90°，∴∠BFC=90°，即．【点睛】本题考查了等腰三角形的“三线合一”的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．22．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）试说明：DE＝EF；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数；（3）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD＝120°，并请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）70°；（3）∠A=60°，理由见解析．【分析】（1）根据线段的和差关系可得BD=CE，利用可SAS证得△DBE≌△ECF，由“全等三角形的对应边相等”即可得结论；（2）由等腰的性质求得∠B＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理推知∠BDE+∠DEB＝110°；根据全等三角形的性质可得∠BDE＝∠FEC，根据平角的定义即可得答案；（3）由（2）知，∠DEF＝∠B，根据三角形内角和可得∠DEF=60°，可得∠B＝60°，推出△ABC是等边三角形，即可得到结论．【详解】（1）∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，∴BD＝EC，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS）∴DE＝EF．（2）∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠BDE+∠DEB＝180°-40°=110°．∵△DBE≌△ECF，∴∠BDE＝∠FEC，∴∠FEC+∠DEB＝110°，∴∠DEF＝180°-110°=70°．（3）当∠A＝60°时，∠EDF+∠EFD＝120°，理由如下：∵∠EDF+∠EFD＝120°，∴∠DEF＝180°-120°=60°，由（2）知，∠DEF＝∠B，∴∠B＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴当∠A＝60°时，∠EDF+∠EFD＝120°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°，∠DEC＝°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）25，115，小；（2）2，理由见解析；（3）可以，80°或110°．【分析】（1）首先利用三角形内角和为180°可算出∠BAD＝180°-40°-115°＝25°；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得∠DEC的度数；（2）由三角形全等的性质即可知AB＝DC＝2．（3）分类讨论当①时和当②时，计算出的大小即可．【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠ADB＝115°，∴∠BAD＝180°-40°-115°＝25°；∵∠ADE＝40°，∠ADB＝115°，∴∠EDC＝180°-∠ADB-∠ADE＝180°-115°-40°＝25°．∴∠DEC＝180°-40°-25°＝115°，当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；（2）∵△ABD≌△DCE，∴AB＝DC＝2．（3）根据题意可知，故，①当时，∵，∴，∴．②当时，∴，∴．综上可知，当或时，是等腰三角形．【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形性质以及三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．24．如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接．A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰三角形或等边三角形D．直角三角形（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．我们选定两个特殊位置考虑：