2023-2024学年苏科版数学八年级上册专项练习：实数（章节复习+考点讲练）解析版

2023-2024学年苏科版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习

专题4.4实数（章节复习+考点讲练）

思维导图知识索引

正有理数

有理数o有限小数或循环小数

非负的平方很算术平方根

实按定义分负有理数

一个正数有两个平方根数

平

的正无理数

。只有一个平方根，方无理数〜无限不循环小数

平方根分

它是0本身粮负无理数

类

负数没有平方根正实数

被开方数为非负数开平方按性质符号分o

负实数

正数的立方根是正教

立

有关概念实数的绝对值、相反数、倒数

0的立方根是0方

根与性质实数与数轴上的点一一对应

负数的立方根是负数

被开方数为任意实数开立方

实数的实数的大小比较

运算实数的混合运算

知识模块精讲讲练

知识点01：平方根和立方根

类型

平方根立方根

项目

被开方数非负数任意实数

符号表示±y!~a\[a

一个正数有两个平方根，一个正数有一个正的立方根；

且互为相反数；一个负数有一个负的立方根；

性质

零的平方根为零；零的立方根是零；

负数没有平方根；

(V^)2=>0)(“V=a

重要结论a(a>0)

Ja1=时=<=a

-a(a<0)a--\[a

知识点02：实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

①按定义分：

「有理数：有限小数或无限循环小数

实数4

［无理数：无限不循环小数

②按与o的大小关系分：

跖/正有理数

正数《十十B皿

［正无理数

实数0

负数(负有理数

负无理数

细节剖析：

(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小

数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.

(2)无理数分成三类①开方开不尽的数，如石,次等②有特殊意义的数，如g③有特定结

构的数，如0.1010010001-

(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数,并且无理数不能写成分数形式.

(4)实数和数轴上点是一一对应的.

2.实数与数轴上的点-对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实教，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.三类具有非负性的实数

在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式:

(1)任何一个实数。的绝对值是非负数，即|。|20；

(2)任何一个实数。的平方是非负数，即

(3)任何非负数的算术平方根是非负数，即、份20(a>0).

非负数具有以下性质：

(1)非负数有最小值一一零；

(2)有限个非负数之和仍是非负数；

(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.

4.实数的运算

数。的相反数是二巴；一个正实数的绝对值是它本身:一个负实数的绝对值是它的相反数:0的绝对值

是。

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序先乘方、开方、再乘除，

最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

(1)实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

(2)正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较，绝对值大的反而小:

(3)两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

知识点03：近似数及精确度

1.近似数

接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.

一般采用四舍五入法取近似数,只要看要保留位数的下一位是舍还是入.

2.精确度

近似数中，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确

细节剖析：

(1)精确度是指近似数与准确数的接近程度.

(2)精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小,

例如精确到01米，说明结果与实际数相差不超过0.05米.

考点01；平方根

【典例精讲】（2022秋•高新区校级月考）9■的平方根是±3.

42—

【思路点拨】根据平方根的定义解答即可.

【规范解答】解：9的平方根是土3.

42

故答案为：土国.

2

【考点评析】本题考查了平方根的运用.解题的关键是掌握平方根的定义，注意：一个正数有两个平方

根，它们互为相反数.

【变式训练1-11（2022秋•海陵区校级期末）64的平方根是（）

A.±4B.4C.±8D.8

【思路点拨】±8的平方都等于64,可得64的平方根是±8.

【规范解答】解：：±8的平方都等于64；

A64的平方根是±8.

故选：C.

【考点评析】本题是基础题，考查平方根的定义及简单计算.

【变式训练1-2]（2016秋•姜堰区期中）4的平方根是（）

A.2B.+2C.±A/2D.-2

【思路点拨】根据平方根的定义求出4的平方根即可.

【规范解答】解：4的平方根是±2；

故选：B.

【考点评析】此题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数

没有平方根.

【变式训练1-3】（2012秋•滨湖区校级期中）一个正数的两个平方根分别是2a-1和-a+2,则a=一

【思路点拨】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解出即可.

【规范解答】解：由题意得：2a-1+（-/2）=0,

解得：a=-1.

故答案为：-L

【考点评析】本题考查平方根的知识，难度不大，关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数.

【变式训练『4】（2016秋•灌云县月考）一个正数的x的平方根是2a-3与5-a,求a和x的值.

【思路点拨】根据平方根的定义得出2a-3+5-a=0,进而求出a的值，即可得出x的值.

【规范解答】解：,••一个正数的x的平方根是2a-3与5-a,

213-3+5-a=0,

解得：a--2,

x=（-7）2=49.

【考点评析】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键.

星考点02：算术平方根

【典例精讲】（2019春•崇川区校级期末）已知IX，是二元一次方程组[mx+ny=8的解，则勃-〃的算术

Iy=l[nx-my=l

平方根为2.

【思路点拨】由题意可解出〃，〃的值，从而求出的值，继而得出其算术平方根.

【规范解答】解：将代入二元一次方程组

Iy=llnx-my=l

得]2me8,

[2n-m=l

解得：下3.

ln=2

：.2m-/7=4,而4的算术平方根为2.

故2〃-〃的算术平方根为2.

故答案为：2.

【考点评析】本题考查了算式平方根和二元一次方程组的解的知识，属于基础题，难度不大，注意细心

运算.

【变式训练2-1】（2022•鼓楼区一模）下列说法正确的是（）

A.吗■是耳的平方根B.0.2是0.4的平方根

C.-2是-4的平方根D.我是F的平方根

【思路点拨】根据平方根与立方根的定义即可求出答案.

【规范解答】解：人名的平方根是±年_,故/不符合题意.

B、0.4的平方根是±公!匝，故6不符合题意.

10

C、-4没有平方根，故C不符合题意.

D、/万是血的平方根，故2符合题意.

故选：D.

【考点评析】本题考查算术平方根与立方根，解题的关键是正确理解立方根与平方根的定义，本题属于

基础题型.

【变式训练2-2】(2017秋•丰县期中)下列说法正确的是()

A.-9的平方根是-3B.9的平方根是3

C.9的算术平方根是3D.9的算术平方根是±3

【思路点拨】根据平方根与立方根的定义即可求出答案.

【规范解答】解：T)负数没有平方根，故4错误；

(方)9的平方根是±3,故夕错误；

(〃)9的算术平方根是3,故2错误；

故选：C.

【考点评析】本题考查立方根与平方根，解题的关键是熟练运用立方根与平方根的定义，本题属于基础

题型.

【变式训练2-3】(2023春•清江浦区期末)±日=±2,(V3)2=3.

【思路点拨】根据平方根的定义、二次根式的性质求出即可.

【规范解答】解：土«=土2,(V3)2=3,

故答案为：±2,3.

【考点评析】本题考查了平方根、算术平方根，二次根式的性质的应用，主要考查学生的计算能力.

【变式训练2-4】(2022秋•海陵区校级月考)我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负

整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例如：-9,-4,-1这二

个数，-(-9)X(-4)=6,V(-9)X(-1)=3,V(-4)x(-1)=2,其结果6,3,2都是整数，所

以-1,-4,-9这三个数称为“完美组合数”.

(1)-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.

(2)若三个数-3,m,-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12,求加的值.

【思路点拨】(1)对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这

三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；

(2)分两种情况讨论：①当/不=12时，②当4三^=12时，分别计算即可.

【规范解答［解：(1)-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”，理由如下：

vV(-18)X(-8)=12,V(-18)x(-2)=6,V(-8)x(-2)=4,

/.-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”；

⑵••7（-3）X（-12）=6,

分两种情况讨论：

①当U^i=12时，-3〃=144,

/.m=-48；

②当5/-12m=12时，-12〃=144,

：.m=-12（不符合题意，舍）；

综上，力的值是-48.

【考点评析】本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负

数乘积的算术平方根”是解决问题的关键.

£考点03：非负数的性质：算术平方根

【典例精讲】（2022秋•姑苏区校级期中）已知实数x,y满足|3+x|W?工=0,则代数式（户/皿的值

为1.

【思路点拨】由已知可求x=-3,y=2,则有x+尸-1,即可求解.

【规范解答】解：：|3+x1+V7及=0，

x=-3,尸=2,

（X+P）2。22的值1,

故答案为：1.

【考点评析】本题考查实数；熟练掌握绝对值和算术平方根的性质是解题的关键.

【变式训练3-1】（2021秋•滨海县期末）已知实数x,y满足正工+（户1）2=0,贝丘”等于（）

A.1B.-1C.-3D.3

【思路点拨】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

【规范解答】解：工+（尹1）占0,而正工＞0，（片1）220,

C,x-2=0,产1=0,

解得x=2,y=-1,

x-y=2-(-1)=2+1=3.

故选：D.

【考点评析】本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0,则每

一个算式都等于0列式是解题的关键.

【变式训练3-2】（2018秋•宜兴市校级期中）已知心话+%-1|=0,那么（a+6）?。□的值为（）

A.-1B.1C.32°i7D.-32017

【思路点拨】根据非负数的性质列方程求出a、6的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

【规范解答】解：由题意得，<3+2=0,b-1=0,

解得a=-2,b=l9

所以，（a+6）2017=（-2+1）2017=-1.

故选：A.

【考点评析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为。时，这几个非负数都为0.

【变式训练3-3】（2022秋•江都区期末）已知处方都是实数，若记+（b-3）2=0，则「-4-

5.

【思路点拨】先根据非负数的性质求出协力的值，再代入代数式进行计算即可.

【规范解答】解：•..心历+（b.3）2=o，

<3+2=0,b-3=0,

；・a~-2,b=3,

：.a-5=-2-3=-5.

故答案为：-5.

【考点评析】本题考查的是非负数的性质，熟知当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等

于0是解题的关键.

【变式训练3-4】（2021秋•无锡期末）已知也x+y-2与（x->3）?互为相反数，求（下+外的平方根.

【思路点拨】根据互为相反数两数之和为0列出关系式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的

解得到x与y的值.

【规范解答】解：••W2x4y-2与（x-尹3）2互为相反数，

V2x+y-2+（x-尸3）2=0,

又..W2x+y-220,（x-j+3）

.’2x号—2二。

x-y+3=0

'.1

X一丁

解得•,

V=~3

・"+尸T）鸿3普啮，

.,.（4+y）的平方根为+—.

一3

【考点评析】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相反数的性质、非负数的性质、

解二元一次方程组的能力及平方根的定义.

【变式训练3-5】（2022春•绥棱县校级期中）己知a、6满足怎花+16-«|=0,解关于x的方程（K2）

x+B=a-1.

【思路点拨】根据非负数的性质列式求出a、6的值，然后代入方程得到关于x的方程，求解即可.

【规范解答】解：根据题意得，2a+8=0,b-V3—01

解得a=-4,b=y[3,

所以（-4+2）x+3=-4-1,即-2x=-8,

解得x=4.

【考点评析】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0,则每

一个算式都等于0列式是解题的关键.

・考点04：立方根

【典例精讲】（2010秋•苏州校级期中）-27的立方根是-3,病的平方根是±3.

【思路点拨】根据平方根和立方根的知识点进行解答，若/=a,则矛=%，#=bQbNO）则了=

±Vb.据此得到答案.

【规范解答】解：-3的立方为-27,故-27的立方根为-3,

a1=9,故9的平方根为±3,

故答案为-3、±3.

【考点评析】本题主要考查立方根和平方根的知识点，基础题，比较简单，但注意个正数有两个平方根,

它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根.立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负

数的立方根是负数，0的立方根式0.

【变式训练4-1】（2022秋•东台市期中）下列计算正确的是（）

A.F=±2B.^27=-3C..（-4）2=-4D.^5=4

【思路点拨】根据平方根和立方根的定义逐一计算可得.

【规范解答】解：从返=2,此选项错误；

B、百二-3,此选项正确；

C、«（_4）2=,16=4,此选项错误；

D、S'无法计算，而丁正=4,此选项错误；

故选：B.

【考点评析】本题主要考查平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义.

【变式训练4-2】（2021春•启东市校级月考）如果我而心1.333,强心2.872,那么轲丽约等于

（）

A.28.72B.0.2872C.13.33D.0.1333

【思路点拨】根据立方根，即可解答.

【规范解答】解：：我市'-1.333,

­,•必2370=y12.37x1000^1.333X10=13.33.

故选：C.

【考点评析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义.

【变式训练4-3】（2023春•射阳县期末）已知3x+l的平方根为±2,2y-1的立方根为3,求｛2x+y的

值.

【思路点拨】首先依据平方根和立方根的定义求得x、y的值，从而可求得“2x+y的值.

【规范解答】解：：3x+l的平方根为土2,2y-1的立方根为3,

；.3x+l=4,2y-1=27,

x=1,y=14,

.--V2x+y=V16=4.

【考点评析】本题主要考查的是平方根和立方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键.

【变式训练4-4].（2022秋•仪征市期末）求x的值:

(1)4^-25=0；

(2)(x+1)3-64=0.

【思路点拨】(1)根据平方根的性质即可求解；

(2)根据立方根的性质即可求解.

【规范解答】解：(1)44-25=0,

4於=25,

4型，

4

x=+—；

一2

(2)(e1)二64=0,

(x+1)3=64,

肝1=4,

x=3.

【考点评析】本题主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的性质是解题的关键，特别要注意

正数有两个平方根.

■;考点05：实数的性质

【典例精讲】(2022秋•苏州期中)小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出-50653的立方根？

他进行了如下步骤：

①首先进行了估算：因为103=1000,1003=1000000,所以打50653是两位数;

②其次观察了立方数：F=l,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；

猜想印50653的个位数字是7；

③接着将50653往前移动3位小数点后约为50,因为33=27,43=64,所以知50653的十位数字应为3,

于是猜想力50653=37,验证得：50653的立方根是37；

④最后再依据“负数的立方根是负数”得到弘50653=-37,同时发现结论：若两个数互为相反数，则

这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立.

请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：

⑴力-117649=--空-；

⑵若5-2x+相=0则♦=3；

已知又x-2+2=x，且%3y-l与/l-2x互为相反数,求甩y的值.

【思路点拨】（1）根据题中的猜想得出刃117649的个位数与十位数，再取其相反数即可；

（2）根据两数相加等于0列出关于x的方程，求出x的值；由%三+2=x求出x的值，再根据相反数

的定义列出关于y的方程，求出y的值即可.

【规范解答】解:（1）V103=1000,1003=1000000,

郎117649是两位数•

Vl3=l,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；斗门7649的个位数

字是9

•.•将117649往前移动3位小数点后约为H7,因为33=27,43=64,53=125,所以知50653的十位数字

应为4,

/.117649的立方根是49,.

..•两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，

；•为-117649=-49.

故答案为：-49；

⑵:知l-2x+狗=3

1-2x=-5,解得x=3.

,,,知x-2=x-2,

.•・x-2=0,x-2=-1或x-2=1,解得x=2,1或3；

yj3y-l与A/1-2X互为相反数，

.'.3y-l=2x-1,即

当x=2时，3y-1=3,解得尸国；

当x=l时，3y-1=1,解得y=2；

3

当x=3时，3y-1=5,解得y=2.

故答案为：3；x=2时，y=—：x=l时，y=—；x=3时，y=2.

33

【考点评析】本题考查的是实数的性质，熟知若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数

是解题关键.

【变式训练5-1】.（2018秋•建邺区期末）加的相反数是（）

A.V2B.-V2C.巨D.一巨

22

【思路点拨】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为3由此求解即可.

【规范解答】解：&的相反数是-加.

故选：B.

【考点评析】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的

相反数是负数，一个负数的相反数是正数，。的相反数是0.学生易把相反数的意义与倒数的意义混

淆.

【变式训练5-2]（2021秋•江阴市期末）V3-1的相反数是（）

A.1+>/3B.1—>\/3C.-1+V^D.-1—^3

【思路点拨】根据相反数的定义即可得出答案.

【规范解答】解：愿-1的相反数是-（我-1）=1-43,

故选：B.

【考点评析】本题考查了实数的性质，体现了整体思想，把百-1看作整体，根据a的相反数是-a是

解题的关键.

【变式训练5-3】（2009秋•宿迁校级期中）牛两的相反数是2.

【思路点拨】根据a的相反数就是-a,直解写出然后化简即可.

【规范解答】解：言的相反数是-牛两=2

故答案是2.

【考点评析】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的

相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.

【变式训练5-4】（2019秋•东台市期末）V2-1的相反数是1-\万.

【思路点拨】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数.

【规范解答】解：&-1的相反数是1-

故答案为：1-企.

【考点评析】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

牵考点06：实数与数轴

【典例精讲】（2022秋•姑苏区校级期中）如图，在数轴上，点46表示的数分别为0、2,加工47于点⑹

且比'=1,连接/C,在4c上截取浙比；以/为圆心，的长为半径画弧，交线段相于点£,则点£

【思路点拨】根据勾股定理可得羔={AB2+BC2={22+12，由题意可得比WAD=AC-CD,

因为/£=/〃即可得出答案.

【规范解答】解：•.•比-1,AB=2,

；•Ac=VAB2+BC2=A/22+12=正，

,:BC=Cg\,

'.AD=AC-CD=y[^-1，

:.AE=AD=娓-L

则点£表示的实数是赤-1.

故答案为：VB_i-

【考点评析】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对

应关系进行求解是解决本题的关键.

【变式训练6-1】（2022秋•大丰区期末）如图，数轴上点力表示的实数是（）

A.V5-1B.V5+1c.V3+1D.V3-1

【思路点拨】先根据勾股定理求出斜边，再根据向右就用加法求解.

【规范解答】解：：丘于=遥，

所以点4表示的数为：-1+逐，

故选：A.

【考点评析】本题考查了实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键.

【变式训练6-2】（2018秋•淮阴区期中）如图，在数轴上表示实数小+1的点可能是（）

PQRS

----------1---------1~a_i•1•-------

0123456

A.PB.QC.RD.5

【思路点拨】先判断出4+1的范围，然后根据数轴判断即可.

【规范解答】解：：4<7V9,

.\2<V7<3,

；.3<：4+1<4,

在数轴上表示实数J7+1的点可能是Q.

故选：B.

【考点评析】本题考查了实数与数轴，无理数的大小，确定出4+1的范围是解题的关键.

【变式训练6-3】（2022秋•鼓楼区期末）如图，数轴上点C所表示的数是石

【思路点拨】根据勾股定定理，求得必，即可求解.

【规范解答】解：由题意可得：OALAB,04=3,AB=2,OC=OB,

由勾股定理可得：OC=OB=VOA2+AB2=V13-

故答案为：V13•

【考点评析】此题考查了勾股定理以及实数与数轴，解题的关键是求得0B.

【变式训练6-4】(2015秋•南京校级月考)用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示后的点.

-6-5-4-3-2-10123456

【思路点拨】过。作垂线，再作直角三角形6。。，两直角边长分别为2,3,进而得到斜边长为丁石，再

以。为圆心、呢长为半径画弧可得J石的位置.

【规范解答】解：如图所示：

【考点评析】此题主要考查了运用勾股定理解答关于数轴上如何表示无理数的作法，熟练掌握基本作图

方法是解题关键，属中档题.

【变式训练6-5】(2020秋•赣榆区期末)如图，一只蚂蚁从点力沿数轴向右爬了2个单位长度到达点氏

点月表示-加，设点6所表示的数为加

(1)求I加11+1/-11的值；

(2)在数轴上还有C、〃两点分别表示实数。和4且有|2c+d|与丁了正互为相反数，求2c-3d的平方

根.

।4।।4।1।>

-2-10123

【思路点拨】(1)先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可；

(2)根据互为相反数的两个数相加和为0,求出c,d即可.

【规范解答】解：(1)由题意得：m=-V2+2-

m-1<0,

|研11+1%-11

=研1+1-m

=2；

(2)由题意得：12c+d[+>]d+4=。,

.\2c^-d=0,衣4=0,

d=-4,c=2,

；.2c-3d=16,

V16的平方根是±4,

；.2c-3d的平方根是土4.

【考点评析】本题考查了实数与数轴，绝对值，平方根，算术平方根，准确熟练的计算是解答正确的关

键.

“考点07：实数大小比较

【典例精讲】（2023•常州）下列实数中，其相反数比本身大的是（）

A.-2023B.0C.—D.2023

2023

【思路点拨】求得各项的相反数后与原数比较大小即可.

【规范解答】解：-2023的相反数为2023>-2023,则A符合题意;

0的相反数为0,则方不符合题意;

1的相反数为-—±—<—则C不符合题意;

202320232023

2023的相反数为-2023V2023,则2不符合题意;

故选：A.

【考点评析】本题考查有理数的大小比较及相反数，熟练掌握比较有理数大小的方法是解题的关键.

【变式训练7-1]（2022秋•祁江区期末）请你写出一个大于1,且小于3的无理数是

【思路点拨】根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于

两者之间的数即可.

【规范解答】解：：1=4，3=对,

写出一个大于1且小于3的无理数是

故答案为加（本题答案不唯一）.

【考点评析】此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质.

【变式训练7-2】（2023•仪征市二模）2娓,727,5三个数的大小关系是（）

A.5<727<276B.V27<5<2A/6C.2a<5〈收D.&?<2遥<5

【思路点拨】根据实数大小比较的方法即可求解.

【规范解答]解:2巫=则，

因为24<25<27,

所以怎<5<a7,

即2迎

故选：C.

【考点评析】本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：任

意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数比

大小，绝对值大的反而小.

【变式训练7-3】（2020秋•苏州期末）比较大小：2-\万<1（填”或

【思路点拨】直接利用估算无理数的大小方法分析得出答案.

【规范解答】解：：1<注<2,

.,.0<2-V2<1>

故答案为：<.

【考点评析】此题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数的大小是解题关键.

【变式训练7-4】（2018秋•江都区期中）为了比较通+1与板的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题

分别进行了研究.

（1）小伍同学利用计算器得到了北心2.236,V10^3.162,所以确定JM+1>（填“>”或

或“=”）

（2）小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出所示的图形，其中NC=90°,BC=

3,〃在回上且请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学对遥+1和技的大小做出准确

的判断.

【思路点拨】（1）代入计算，再根据实数大小比较的方法进行比较即可求解；

（2）依据勾股定理即可得到「O=>\/CD2+AC2=AB=VAC2+BC2='B>AD=炳+\,再根

据中，AD^BD>AB,即可得到通

【规范解答】解：（1）VA/5^2.236,162,

.,.A/5+1^3.236,

V3.236>3.162,

.•.遥+]>V75.

故答案为：>;

（2）・.・NC=90°,BC=3,BD=AC=\,

：.CD=2,AD=>/CD2+AC2=V5>AB=-7AC2+BC2=,

：.BD^AD=y/5+l,

又•.•△力初中，AIABD>AB,

.，•V5+I>VTQ.

【考点评析】本题主要考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意：三角形两边之和大于

第三边.

“考点08：估算无理数的大小

【典例精讲】（2021秋•江都区月考）已知a<小<6,且a,6为两个连续的整数，则K6=5.

【思路点拨】先估算出近的取值范围，得出a,b的值，进而可得出结论.

【规范解答】解：：4<7<9,

.\2<V7<3.

•:a、6为两个连续整数，

<3=2,6=3,

.•.a+6=2+3=5・

故答案为：5.

【考点评析】本题考查的是估算无理数的大小，利用夹值法求出a,右的值是解答此题的关键.

【变式训练8-1】（2021秋•亭湖区校级期中）估计丁7的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【思路点拨】根据平方数进行计算即可解答.

【规范解答】解：=2,V9=3,

而F<77〈病，

.-.2<V7<3,

估计小的值在2和3之间.

故选：B.

【考点评析】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数

的平方.

【变式训练8-2】（2022秋•江都区期中）估计5-、后的值在（）

A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间

【思路点拨】根据求平方和不等式的性质进行求算.

【规范解答】解：〈百〈2,

-2<-Vs<-1>

.*.3<5-V3<4,

故选：B.

【考点评析】本题考查了无理数的估算，掌握平方法和不等式的性质是解题的关键.

【变式训练8-3】（2023春•仪征市期末）若丁五的值在两个连续整数a与b之间，则a+6=7.

【思路点拨】由〈后，可得即可得出a、6的值，代入计算即可得出

答案.

【规范解答】解：•.•北

3<V11<4,

Aa=3,6=4,

.•.«3+6=3+4=7.

故答案为：7.

【考点评析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练应用估算无理数大小的方法进行求解是解决本题

的关键.

【变式训练8-4】（2022秋•灌云县月考）我们知道，血是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小

数部分.即加的整数部分是1,小数部分是、历-1,请回答以下问题：

（1）的小数部分是标-3,5-J近的小数部分是4-示.

（2）若a是标的整数部分，力是百的小数部分.求a+力-f+1的平方根.

（3）若7+J5=x+y,其中x是整数，且0<y<l,求x-尹述的值.

【思路点拨】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数折，5-后的大小，进而确定它们的整数部

分、小数部分即可；

（2）根据算术平方根的定义，估算无理数标，正的大小，进而确定它们的整数部分、小数部分，即

确定a、6的值，再代入计算出k6-百+1的值，最后求其平方根即可；

（3）估算无理数7+返的值，确定x、y的值，代入计算£-方述的值即可.

【规范解答】解：（1）V3<V7O<4,

...折的整数部分是3,小数部分为-3,

V3<V13<4,

/.-4<-A/13<-3,

.,.1<5-Vl3<2,

A5-的整数部分是1,小数部分为5-V13-1=4-V13.

故答案为：V10-3,4-y/13；

(2)vV81<V90<</100;即9<加5<10,

所的整数部分a=9,

的整数部分为1,愿的小数部分b=M-1>

a^b-A/3+I—9+^/3-1-^3+1—9,

a+Z?-A/S+1的平方根为土J0=±3；

(3)V2<V5<3,

/.9<7+V5<10,

又,；7+通=户乃其中x是整数，且0<y<l,

；.x=9,y=7+通-9=遍-2,

产遥=9-V5+2+V5

=11,

答：x-产«的值为11.

【考点评析】本题考查平方根、算术平方根以及估算无理数的大小，理解算术平方根、平方根的定义是

正确解答的前提，确定a、b、x、y的值是得出正确答案的关键.

【变式训练8-5】(2022秋•兴化市校级期末)材料1：2.5的整数部分是2,小数部分是0.5,小数部分可

以看成是2.5-2得来的，类比来看，企是无理数，而所以加的整数部分是1,于是可用

V2-1来表示正的小数部分.

材料2：若10-/&=>道，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a,力要满足a=10,b=-

—1.

2

根据以上材料，完成下列问题：

(1)的整数部分是4,小数部分是斤-4；

（2）3+愿也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<3+«<6,求a+6的算术平方根.

【思路点拨】（1）根据完全平方数，进行计算即可解答；

（2）先估算出我的值的范围，从而估算出3+我的值的范围，进而求出a,6的值，然后代入式子中进

行计算即可解答.

【规范解答】解：（1）V16<17<25,

；.4<近7<5,

•••布的整数部分是4,小数部分是5-4,

故答案为：4,y/17-4；

（2）Vl<3<4,

.-.1<V3<2,

A4<3+V3<5,

：3+百也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<3+M<b,

.•.H=4,b=5,

••.界8=4+5=9,

的算术平方根是3.

【考点评析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键.

■考点09：实数的运算

【典例精讲】（2022秋•南京期末）计算：.（-3）2+我=5.

【思路点拨】原式利用二次根式性质，以及立方根定义计算即可得到结果.

【规范解答】解：原式=|-31+2=3+2=5,

故答案为：5

【考点评析】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：二次根式性质及立方根，熟练掌握运算法则是解

本题的关键.

【变式训练97］（2022•鼓楼区校级开学）已知㈤为实数，规定运算：利=1-工，a3=l-a4=l-

ala2

—，a5=l-1-,…，a〃=l-二一.按上述方法计算：当绮=3时，物24的值等于（）

a3a4an-l

【思路点拨】化简前几个数，得到当以三个数为一组，不断循环，因为2024+3=674...2,所以包曲

出再代数求值即可.

【规范解答】解：•••冬=3,

•a—1-1—2

a13

为=1-~~~~

a22

包=1-」^=3,

a3

a—1-