专题01 三角形中三边关系、高线、中线、角平分线压轴题十三种模型全攻略（原卷版）

专题01三角形中三边关系、高线、中线、角平分线压轴题十三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一三角形的稳定性】 1【考点二三角形的分类】 3【考点三构成三角形的条件】 5【考点四确定第三边的取值范围】 6【考点五三角形内角和定理的证明】 8【考点六与平行线有关的三角形内角和问题】 11【考点七与角平分线有关的三角形内角和问题】 13【考点八画三角形的高】 15【考点九与三角形的高有关的计算问题】 16【考点十根据三角形中线求长度】 19【考点十一根据三角形的中线求面积】 21【考点十二三角形角平分线的定义】 23【考点十三利用网格求三角形面积】 25【过关检测】 28【典型例题】【考点一三角形的稳定性】例题：（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（

）A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短C．三角形的内角和为 D．垂线段最短【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，是一座钢架桥，它的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是_______．【考点二三角形的分类】例题：（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）下列分类正确的是（

）A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形【变式训练】1．（2023·江苏·七年级假期作业）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（

）A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误2．（2023·全国·八年级假期作业）已知：如图，试回答下列问题：（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．（2）以线段为公共边的三角形是___________．（3）线段所在的三角形是_______，边所对的角是________．【考点三构成三角形的条件】例题：（2023春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（

）A．2cm，4cm，7cm B．3cm，6cm，9cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，4cm，9cm【变式训练】1．（2023春·广东揭阳·七年级期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（

）A．4，6，10 B．2，5，8 C．3，4，5 D．5，7，132．（2021秋·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）下列三条线段中，不能组成三角形的是（

）A．3、4、5 B．3、4、7 C．7、8、13 D．8、9、16【考点四确定第三边的取值范围】例题：（2023春·黑龙江绥化·七年级校联考期中）若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______．【变式训练】1．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）三角形的两边长分别是2、7，若第三边长为奇数，则此三角形第三边的长是______．2．（2023·河北·统考模拟预测）已知一个三角形的第一条边长为，第二条边长为(1)求第三条边长的取值范围；（用含，的式子表示）(2)若，满足，第三条边长为整数，求这个三角形周长的最大值【考点五三角形内角和定理的证明】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（

）A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作C．过点A作于点D D．过BC上一点D作，【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（

）A．延长至D过C作 B．过A作C．过D作 D．过P作，，2．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（

）定理：三角形的内角和为．已知：．

求证：．证明：延长到点，过点作，◎（两直线平行，内错角相等），___▲______（_____※______）．（平角定义），（等量代换）．A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等【考点六与平行线有关的三角形内角和问题】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，过点作．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（

）

A．45° B．60° C．90° D．105°2．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【考点七与角平分线有关的三角形内角和问题】例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，和分别平分和，若，则的大小为______．

【变式训练】1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，，．求的度数．2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在中，是的角平分线，作交于点E，，，求的度数．

【考点八画三角形的高】例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出边上的高的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，，点，，是垂足，下列说法错误的是（

）A．中，是边上的高 B．中，是边上的高C．中，是边上的高 D．中，是边上的高【考点九与三角形的高有关的计算问题】例题：（2023春·广东惠州·七年级校联考期中）如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（

）

A．3 B．4 C．5 D．【变式训练】1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，，分别是的高，，，，求的长．

2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）三角形如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，．

(1)求的面积；(2)求的长；(3)和的面积有何关系？【考点十根据三角形中线求长度】例题：（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，是的中线，，．若的周长为16，则周长为__________．

【变式训练】1．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的周长为，，是边上的中线，的周长比的周长大2，则的长为______．

2．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．

(1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长；(2)当为的角平分线时，若，，求的度数．【考点十一根据三角形的中线求面积】例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，的面积为20，点，，分别为的中点，则阴影部分的面积为（）

A．4 B．5 C．6 D．10【变式训练】1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，是的中线，则下列结论中，正确的个数有（）（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是________．

【考点十二三角形角平分线的定义】例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图，，平分，若，则的度数为（）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．2．（2023春·上海·七年级阶段练习）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE．【考点十三利用网格求三角形面积】例题：（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求的面积．

【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为的网格，每一小格均为正方形，已知．

(1)画出中边上的中线；(2)画出中边上的高．(3)直接写出的面积为_________．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．

(1)画出中边上的高；(2)画出中边上的中线；(3)直接写出的面积为______．【过关检测】一、选择题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（

）A．3，4，5 B．8，7，15 C．3，4，8 D．5，5，112．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）从数学角度看下列四副图片有一个与众不同，该图片是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图所示，中边上的高是（

）

A． B． C． D．4．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，在三角形中，为的平分线，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．5．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是（

）

A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题6．（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）三角形的两条边长分别是4cm和9cm，则第三条边长x的范围是______．7．（2023春·山西临汾·七年级校联考阶段练习）如图是螳螂的示意图，已知，，，则的度数为___________．

8．（2023秋·七年级单元测试）如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段、的中点，且的面积为60，则的面积_______．9．（2023秋·八年级课时练习）如图，是的_________边上的高；在中，是_________上的高，还是_________的高；是_________的_________边上的高．10．（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考阶段练习）已知是的角平分线，是的BC边上的高，，，则的度数为______°．三、解答题11．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，在中，是的角平分线，，若，，求的度数．12．（2023春·江苏南京·七年级南京市科利华中学校考阶段练习）如图，点A、B、C是方格纸中的格点．

(1)画出边上的中线；(