第四章 静电场

两个定理：高斯定理、环流定理。

静电场——相对于观察者静止的电荷产生的电场。

两个物理量：场强、电势。

一个实验规律：库仑定律。第四章静电场自然界中只存在正、负两种电荷。电荷守恒定律：在一个孤立系统内发生的过程中，正负电荷的代数和保持不变。电荷的量子化：指电荷只能取离散的、不连续的量值的性质。一、电荷e为最小电量单位,称元电荷或电荷的量子。4-1电荷量子化库仑定律2.真空中的库仑定律大小：方向：同号相斥,异号相吸矢量式:1.

点电荷：理想模型，线度和距离相比可忽略的电荷。二、库仑定律（静电场的基本实验规律）斥力引力讨论：正负电荷对力的方向的影响该式只适用于处于真空中的点电荷[思考]一带电体可作为点电荷处理的条件是（A)电荷必须呈球形分布；（B)带电体的线度很小；（C)带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计；（D)电量很小。答：（C)对。4-2电场强度b)

带电量相对较小(不影响原电场分布)★实验电荷q0用来检验电场的性质条件:a)

正点电荷(定点检验)在给定点,不变,对不同的点,不同。q0一、电场强度—描述电场的基本物理量定义：单位：注意空间是否存在电场以及电场的强弱和方向，与试验电荷q0无关，而由电场本身决定。在电场中，空间每一点都相应有一个矢量

，它是空间坐标的函数，记作。若已知电场中某点的场强，则点电荷q0在该点受的力为。说明：电场中某点的电场强度在数值和方向上等于单位正电荷在该点所受的电场力。连续带电体二、场强叠加原理点电荷系电场中任一点的场强,为各电荷单独存在时在该点产生场强的矢量和.三、场强的计算由定义，P点的场强:1.场源为点电荷的场强分布则q0所受的力:如图：已知场源为q

，设P为场中任一点，b)方向：q>0,沿方向;a)

大小：具有球对称，讨论q<0,沿方向。＋求：（1）轴线延长线上A点的场强；

（2）轴线的中垂线上B点的场强。例1、电偶极子的电场强度:两个等量异号点电荷，相距l，当r>>l时，该点电荷系称电偶极子。（P106）称电偶极子的极轴电偶极矩解：(1)A点：设+q和-q的场强分别为(2)

B点：由对称性得:结论：E与P、r的关系电偶极子重要物理模型2.

电荷连续分布的任意带电体场强分布电荷元dq

在P处的场强为：所有电荷在P点产生的场强为：总场强:注意(1)实际应用时，应写成的分量形式，进行标量积分。dq

=线分布为电荷线密度面分布为电荷面密度体分布为电荷体密度(2)运用叠加原理求场强时,电荷元的取法:例2.求均匀带电圆环轴线上的场强，q,R已知。（P107）解：1.建立坐标系3.写出分量式4.分析对称性或2.任取电荷元xP方向如图3.当x>>R,相当于点电荷的场强讨论1.当x=0（环心处）,E=0;2.最大值：例3.计算均匀带电圆盘轴线上的场强，q,R已知。（P109)解：半径为r宽为dr

的细圆环上的电量为：根据例2结果,dq

在P点的场强为:则P点总场强为:a)当x>>R时，相当于点电荷的场强：（匀强电场）讨论：b)当x<<R（无限大平面）时，补例.

两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度为

,计算其场强分布。两板之间：两板之外：解：由场强叠加原理00方向：如图所示。典型结论点电荷的场强分布均匀带电圆环轴线上的场强分布无限大均匀带电平面的场强分布两块无限大均匀带电平面之间的场强分布一、电力线

（电场的图示法）?a)切线方向表示电场方向;b)疏密表示场强大小。

1.规定：2.

性质:a)电力线为假想的线,电场中并不存在；b)电荷在电场中的轨迹不是电力线。a)起于正电荷,止于负电荷;b)两电力线不相交。C）连续性。3.

说明:4-3电场强度通量高斯定理点电荷的电场线正点电荷+负点电荷一对等量异号点电荷的电场线+带电平行板电容器的电场线++++++++++++

通过任一面的电力线数匀强电场非匀强电场二、电通量（2）对闭合曲面，通常规定外法线（由内指向外）方向为正。当电力线从闭合曲面穿出时，电通量为正；穿入时，电通量为负。闭合曲面的电通量为：讨论：电通量可正、可负，取决于面法线方向的选取：（1）对非闭合曲面，面法线的正方向可选曲面的任一侧;解：例.计算均匀电场中一圆柱面的电通量。1.

点电荷q位于球面S的球心三、高斯定理2.

点电荷q位于任意闭合曲面S´内3.

点电荷q位于任意闭合曲面S''以外4.闭合曲面内包围多个点电荷高斯定理:在真空的任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷代数和的

0

分之一.

该闭合曲面称高斯面.高斯定理为求电场强度提供了一条途径.请思考：1）高斯面上的与那些电荷有关？2）哪些电荷对闭合曲面的有贡献？高斯定理过曲面的电通量由曲面内的电荷决定。高斯面上的场强是由全部电荷（面内外电荷）共同产生。注意:〔思考〕点电荷Q被曲面S所包围，从无穷远处引入另一点电荷

q至曲面外一点，如图所示，则引入前后（A)曲面S的电通量不变，曲面上各点场强不变。（B)曲面S的电通量变化，曲面上各点场强不变。（C)曲面S的电通量变化，曲面上各点场强变化。（D)曲面S的电通量不变，曲面上各点场强变化。解：曲面S的电通量仅和曲面内的电荷有关，曲面上的场强由全空间的电荷引起。（D)对。１.由电荷分布的对称性分析，确定场强的大小、方向分布特征；２.作高斯面，计算电通量及;３.利用高斯定理求解.当场源分布具有高度对称性时求场强分布的步骤：虽然高斯定理适用于任何电场,但用高斯定理求解具有一定对称性的电场场强时比较方便.(2)轴对称性：如无限长均匀带电直线，无限长均匀带电圆柱体或圆柱面，无限长均匀带电同轴圆柱面等(3)面对称性：如无限大均匀带电平面或平板，或若干个无限大均匀带电平行平面等均匀带电无限大平板均匀带电细棒S①球对称性：如点电荷，均匀带电球面或球体，均匀带电同心球面等；均匀带电球壳典型的对称性有：例1.均匀带电球壳的场强分布（已知半径R,电荷量q)Rq作半径为r的高斯面S，如图.

带电球壳内的电场分布rS解：由于电荷分布球对称，所以电场分布也具有球对称。四、高斯定理的应用

带电球壳外的电场分布作半径为r的高斯面S，S面上场强的大小处处相等,方向垂直于该面，如图.相当于电荷集中在球心的点电荷RqSr方向：沿径向。例2.均匀带电球体的场强分布(半径为R,体电荷密度为

，总电量为q)对称性分析：场强分布具有球对称性解:（1）r<R方向：沿径向。相当于电荷集中在球心的点电荷（2）r>Rrs方向：沿径向。均匀带电球壳：典型结论均匀带电球体：一、电场力的功在点电荷q的电场中，将检验电荷q0从a移到b1.点电荷电场中电场力作的功4-4

静电场的环路定理电势能2、电场力的做功特点电场力作功,仅与始末位置有关,与路径无关。电场力是保守力，静电场是保守场。二、静电场的环流定理q0沿闭合路径acbda

运动一周,电场力所作的功:abcd即静电场力沿任一闭合路径所作的功为零。即:静电场强的环路积分为零。称静电场的环流定理,是静电场的重要特征。1)静电场力作功与路径无关,静电场力是保守力,静电场是保守力场;结论2)沿闭合路径一周,静电场力作功为零.则q0由a移到b电场力作的功为：一般取:设检验电荷q0处于a、b两点的电势能分别为：三、电势能电荷在静电场中一定位置具有一定的势能,称电势能，静电场力作的功等于电势能的减少量。四、电势定义：电势能与试验电荷的比值（即能荷比）为电势，用字母V来表示。用VA和VB分别表示A点和B点的电势，则有：对比电势能计算公式有：点B的电势VB常叫做参考电势。理论上讲，电势零点可任意选取，但因电势零点的选取，应使场中各点的电势有确定的数值，且表达式尽量简单，所以电势零点的选取受到限制。

一般来讲，电势零点的选取应遵循下列原则：1）电势分布在有限区域，选无穷远处为电势零点；2)电势分布在无限区域，选有限空间的某点为电势零点

所以电场中点A的电势为：

物理意义：静电场中某一点的电势，在数值上等于把单位正实验电荷从该点移到零电势点时，静电场力所做的功。电势是一个标量，它的单位是伏特（V）。

电场中点A和点B两点间的电势差用UAB表示，可写为：

物理意义：静电场中A、B两点间的电势差UAB，在数值上等于把单位正实验电荷A点移到B点时，静电场力所做的功。

若已知A、B两点间的电势差UAB，则可求把任意电荷q从A点移到B点时，静电场力所做的功WAB为：

注意：

电场中某点的电势与电势为零的参考点的选取有关，而电场中任意两点的电势差则与电势为零的参考点的选取无关。二、点电荷电场中的电势分布

用场强分布和电势的定义直接积分。

负点电荷周围的场电势为负离电荷越远，电势越高。正点电荷周围的场电势为正离电荷越远，电势越低。选无穷远处为零电势点三、电势的叠加原理由场强叠加原理，可导出电势叠加原理。

在点电荷系的电场中,某点的电势等于各点电荷单独存在时在该点所产生电势的代数和。

即：注意：电势是标量，只有大小、正负之分而无方向，所以只需求代数和即可。电荷体密度为ρe的带电体产生的电势：电荷面密度为σe

的带电体产生的电势：

电荷线密度为λe

的带电体产生的电势：

电荷连续分布的任意带电体，可设想由许多点电荷元组成，各点电荷元电势的叠加就是总电势。可写为：p＋＋＋＋＋＋＋＋例1.

求均匀带电圆环轴线上的电势分布。R，q已知解:方法一叠加法方法二定义法由定义：四、电势的计算

解：由高斯定理求出场强分布由定义：例2.求均匀带电球壳的电势分布，已知R，q。整个球是一个等势体，电势均等于带电球面上的电势。相当于电荷集中在球心的点电荷产生的电势补充例3.求等量异号的同心均匀带电球面的电势差.解:

(1)定义法由高斯定理得：由电势差定义:（沿径向取积分路径）(2)叠加法

由均匀带电球壳的电势分布:一、等势面：电场中电势相等的点所构成的面叫做等势面。即V(x,y,z)=C

的空间曲面称为等势面。等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。等势面的性质：1、除电场强度为零处外，电场线与等势面正交。证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点，电场力做功为零，而路径不为零4.5电场强度与电势梯度3、两个相邻等势面的电势差相等，等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。正电荷的场负电荷的场均匀电场2、电场线的方向指向电势降落的方向。因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。

两个定理：高斯定理、环流定理。

两个物理量：电场强度、电势。

一个实验规律：库仑定律(1)高斯定理:(2)环