高一数学(必修2)2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 课件

立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此，城市交通开始从平地走向立体．问题1：在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？提示：平行或相交．问题2：若把立交桥抽象成一直线，它们是否在同一平面内？有何特征？提示：不共面，即不相交也不平行．问题3：观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？提示：是．1．异面直线(1)定义：不同在

的两条直线．(2)异面直线的画法任何一个平面内（3）异面直线的判定定理：平面的斜线与平面内不过斜足的直线是异面直线。ba

例1如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?

FAHGEDCBCDBAEFGH2.空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它们各有什么特点？

相交直线:平行直线:共面直线异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点

同一平面内，有且只有一个公共点；

同一平面内，没有公共点；

1．在初中学过，在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．问题1：在空间中，是否也有类似规律？提示：是．问题2：能否利用某一空间几何体举出符合这一规律的例子？提示：可以，例如教室墙面与墙面的交线之间．2．观察下图中的∠AOB与∠A′O′B′.问题1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？提示：分别对应平行．问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？提示：相等．平行平行线的传递性a∥c思考:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？

2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应

，那么这两个角

或

．

平行相等互补思考:

如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何

?BADCA'B'D'C'BADCA'B'D'C'思考:如图，在空间中AB//A′B′，AC//A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′相等吗？BCAB´C´A´EE´DD´3：异面直线所成的角思考1:两条相交直线、平行直线的相对位置关系，分别是通过什么几何量来反映的？思考2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否发生变化？

思考3:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？

思考4：把两条异面直线分别平移，使之在某处相交得到两条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐角(或直角)来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之为异面直线所成的角.你能给“异面直线所成的角”下个定义吗？

abobˊb'a'αbao

对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)

思考5:若点O的位置不同，则直线a′与b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为了作图方便，点O宜选在何处？

aba'

b'oa'b'o'O思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？

思考2:如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线?BADCA'B'D'C'思考3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗

?思考4：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直,那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？

AFEDCB

如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且已知AB=CD=3，,求异面直线AB和CD所成的角.M异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的

(或

)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．锐角直角(2)异面直线所成的角θ的取值范围：

.(3)当θ＝时，a与b互相垂直，记作

.0°＜α≤90°a⊥b[例1]

如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________.[思路点拨]

利用直线异面、平行、相交这三种不同关系的判断方法，结合正方体图形特点直观判断．[精解详析]

直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”．

[答案]①平行②异面③相交④异面1．不平行的两条直线的位置关系是 (

)A．相交 B．异面C．平行

D．相交或异面解析：若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．答案：D2．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，与AA1异面的是 (

)A．AB B．BB1C．DD1 D．B1C1解析：由异面直线的定义知，与AA1异面的直线应为B1C1.答案：D3．已知直线AB、CD是异面直线，求证：直线AC、BD是异面直线．证明：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内，设这个平面为α(如图)．∵AC⊂α，BD⊂α，∴A、B、C、D四点都在α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与已知中AB和CD是异面直线矛盾，故假设不成立．∴直线AC和BD是异面直线．[例2]

已知E，E1分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1.[思路点拨]欲证两个角相等，可先证角的两边分别平行，然后再通过等角定理来说明这两个角相等．[一点通]

空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．4.如图所示，在三棱锥S—MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是 (

)A．平行 B．相交C．异面

D．平行或异面解析：∵E、F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.答案：A[例3]

(12分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：(1)A1B与B1D1所成的角；(2)AC与BD1所成的角．

[思路点拨]利用正方体的图形特点，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角后进行求解．(2)连接BD交AC于点O，取DD1中点E，连接EO、EA、EC.∵O为BD的中点，∴OE∥BD1.(8分)∵∠EDA＝90°＝∠EDC，

ED＝ED，AD＝DC，∴△EDA≌△EDC.(9分)∴EA＝EC.在等腰△EAC中，∵O是AC的中点∴EO⊥AC.∴∠EOA＝90°.(10分)又∵∠EOA是异面直线AC与BD1所成的角，∴AC与BD1所成的角为90°.(12分)[一点通]

异面直线所成角的定义明确给出了异面直线所成角的范围及求异面直线所成角的方法，即平移法作出异面角后转化为解三角形求角，体现了空间角转化为平面角求法的基本思想．6.过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，

AD，AA1所成的角都相等，

这样的直线l可以作(

)

A．1条 B．2条C．3条

D．4条解析：以AA1为棱补三个全等的正方体，则四个正方体各有一条符合条件的直线．答案：D7.如图所示，空间四边形ABCD中，

AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别

为BC、AD的中点，求EF和AB

所成的角．∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，