正余弦定理的应用

正余弦定理的应用—面积问题

正、余弦定理的实际应用基础达标在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC=________.解析：如图，由已知∠BAD=60°，∠CAD=70°，

∴∠BAC=60°+70°=130°.2.若P在Q的北偏东44°，则Q在P的________方向．解析：如图，依题意知∠AQP=44°，则点Q在点P的南偏西44°.

3.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)．要测算出A、B两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=100m，∠B=60°，∠C=45°，则AB=________m.4.如图，A、B两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C，测得CA=80m，CB=40m∠ACB=60°，则A、B两地之间距离为________m.经典例题题型一距离问题【例1】

一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向处，求A、D两处的距离．则由正弦定理，得即又∵sin15°=

sin120°=∴AC=

15(nmile)．在△ACD中，∵∠A=∠D=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD=

AC=15(3+)(nmile)，∴A、D两处的距离为15(3+

)nmile.解：如图所示，在△ABC中，∠CAB=45°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠ACB=180°-45°-120°=15°，AB=300.5=15(nmile)．题型二高度问题【例2】

某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．∴BD=在Rt△ABE中，

tan∠AEB=AB为定值，若要使仰角∠AEB最大，

则BE要最小，即BE⊥CD，这时∠AEB=30°.在Rt△BED中，

∠BDE=180°-135°-30°=15°，

∴BE=BDsin∠BDE=20

sin15°在Rt△ABE中，AB=BEtan∠AEB

∴塔的高度为

解：如图所示，在△BDC中，CD=40m，∠BCD=90°-60°=30°，∠DBC=180°-45°=135°.由正弦定理，得题型三角度问题【例3】近几年来，印度洋海域索马里海盗活动猖獗，并频频袭击过往货轮，某年某月某日，巡逻人员在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处

海里的B处一货轮遭到抢劫，立即发出阻截信号，此时，在A处北偏西75°方向，距离A处2海里的C处的中国编队接到信号后，立即以10海里/小时的速度追截海盗船，而海盗船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：中国编队沿什么方向行驶能最快追上海盗船？

解：如图，设中国编队用th在D处追上海盗船，则有CD=10BD=10t，在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC∴BC=

∵cos∠CBA=

∴∠CBA=45°，即B在C的正东方向．∵∠CBD=90°+30°=1