2023学年完整公开课版曲线与方程

2.1.1曲线与方程xy0如图,是直线表示y=x(x∈R)的图象么？①满足y=x(x∈R)的每一对有序实数对(x,y)都在直线上；②直线上每一个点(x,y)都满足方程y=x(x∈R).思考：如图,是圆表示(x-a)2+(y-b)2=r2的图象么？①满足(x-a)2+(y-b)2=r2的每一对有序实数对(x,y)都在圆上；②圆上每一个点(x,y)都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2思考：xy.C即点曲线C坐标（x,y）方程F(x,y)=0

按某种规律运动几何对象X,y制约关系代数表示↑↑

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.方程f(x,y)=0叫做这条曲线C的方程;曲线C叫做这个方程f(x,y)=0的曲线.1.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”

,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.无鱼目混珠的情况。2.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.由曲线的方程的定义可知:如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0说明：例1

:判断下列命题是否正确解:(1)不正确，不具备②，应为x=3,(2)不正确,不具备①，应为y=±1.(3)不正确,不具备②,应为x=0(-3≤y≤0).(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)△ABC的顶点A(0,3)，B(-2,0)，C(2,0)，O为BC中点，则中线AO的方程x=0例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.M

第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳:

证明已知曲线的方程的方法和步骤

第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.1．已知坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么(

)．A．曲线C上的点的坐标都适合方程F(x，y)＝0B．凡坐标不适合F(x，y)＝0的点都不在C上C．不在C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0D．不在C上的点的坐标有些适合F(x，y)＝0，有些不适合F(x，y)＝0答案C2．下列选项中方程表示图中曲线的是(

)．解析对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相交直线；对于D，由lgx＋lgy＝0知x>0，y>0.答案C3．方程x2＋xy＝x表示的曲线是(

)．A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．故选C.答案C4．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()．A．两个点B．四个点C．两条直线D．四条直线解析由已知∴即或

或或.答案B7．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解由x＝，得x2＋y2＝4.又x≥0，∴方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.２.１.２求曲线的方程

则这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线。

在直角坐标系中，某曲线C上的所有点与一个二元方程实数解建立如下关系：1.曲线的方程、方程的曲线的定义：一.复习引入（1）曲线上点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上。2.解析几何有两类问题:一是利用曲线求方程;二是利用方程研究曲线的性质.其中最基本的方法是坐标法.二.新课1.如何求曲线(点的轨迹)方程？求曲线方程的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标的代数方程的过程.

在直角坐标系下：2.例题讲解例1.设A、B两点的坐标是(－1,－1)和(2，3),求线段AB的垂直平分线的方程？xyoABEx1.已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点的距离相等，求动点P的轨迹方程。求曲线方程的一般步骤：1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标；（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）2.寻找条件:写出适合条件P的点M的集合;3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0；4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。Ex2.△ABC顶点B、C的坐标分别是(0,0)和(4,0)，

BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹方程。以这个方程的解为坐标的点是否都在曲线上？思考？xBCyA(x－2)2+y2=9

(x≠5且x≠-1)D求曲线方程的一般步骤：1.建系设点:建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标；2.寻找条件:写出适合条件P的点M的集合;3.列出方程:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0；4.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；5.检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。检验是否产生增解或漏解Ex3.

以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的坐标系.求直角顶点C的轨迹方程。yx0Ex4.已知点C到直线L的距离为8，若动点P到点C和直线L的距离相等，求动点P的轨迹方程。例3.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.例3.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,解：因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,所以曲线的方程是