2023-2024学年四川省成都双流中学高三上学期10月月考理数试题及答案

双流中学高2024届高三10月月考数学（理工类）本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，，，则等于C．3A．2,3B．2,5D．2,3,5i2．若复数z（iz在复平面上对应的点所在的象限为1A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知幂函数f(x)x的图象过点P(2,4)，则1A．B．1C．2D．324．设fx为定义在R上的偶函数，且当x0时，fxex1，则f1f1A．e-1B．-2e-2C．2e-1D．2e-2则2x＋y的最大值是D．300xy5．若整数x，y满足不等式组2xy1003xy530A．11B．23C．266．已知l,m,n是三条不同的直线，,是两个不同的平面，那么下列命题正确的是A．若lm，ln，m且n，则lB．若，l，ml，则mC．若m//，n//m且n，则//，D．若//，l，m//l且n，则mn7xP2,5是角cos22029212921292029A．B．C．D．28．设函数fx的最小正周期为，且ffx，则2sinxx4A．f(x)在442,单调递减B．f(x)在单调递减1C．f(x)在单调递增2D．f(x)在44,单调递增9．若向量，互相垂直，且满足ab2ab2，则ab的最小值为abA．2B．1C．2D．210．已知函数yxa6log3ax2x1在x内恒为正值，则实数a的取值范围是311A．a3B．a3C．a33D．a333311OABCD430，E，F分别是线段，OC上的一点，则的最小值为A．4B．8C．D．42222x,xx0,2时，fx，若x412．定义在上fx满足fx2R2，当x2fx1,x1,2x7t时，t2fx3t恒成立，则实数t的取值范围是2525A．2B．D．C．2第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．113．写出一个以x为对称轴的奇函数．214．若函数fxa1xlog142为偶函数，则a＝x.215．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bienao臑M－ABC中，MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝2，则该鳖臑的外接球的体积为．16．设ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且满足OAOBOBOCOCOA，则|OBOA||OBOC|(R)的最小值为.2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。π21712分）已知函数f(x)2sin(x)103,0，满足______．π①函数f(x)的一个零点为0②函数f(x)图象上相邻两条对称轴的距离为③函数fx22π3图象的一个最低点的坐标为,3，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答．(1)求f(x)的解析式；π(2)把yf(x)的图象向右平移1yg(x)g(x)6π3,m上的最大值为2，求实数m的最小值．在区间1812分）已知函数fxx3ax2ax1，aR.2（1）当a1时，求函数fx在区间2,1上的最大值；（2）当a0时，求函数fx的极值.2abccosC1912分）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bc.2b2c2a（1）求A的值；（2）若c2，求ABC面积的取值范围.32012分）如图，在四棱台ABCD中，底面ABCD是菱形，AB2AA2AB2，1111111，AA平面ABCD.ABC601(1)证明：BDCC1；(2)棱BC上是否存在一点E，使得二面角EADD的余弦值为?若存在，求线段CE113不存在，请说明理由.2112分）已知函数f(x)sinxax2(aR)．1π2(1)当a时，讨论f(x)在区间上的单调性；2(2)若当x0时，fxexcosx0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．224-4极坐标与参数方程）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相16同的长度单位.曲线C的极坐标方程是（1）求曲线C的直角坐标方程；2.13cos2（2C与x轴正半轴及y轴正半轴交于点四边形OMPN面积的最大值.M,NC上任取一点P234-5不等式选讲）设函数f(x)|mx2|x6．(1)当m2时，求不等式f(x)|x2|的解集；114(2)若函数g(x)f(x)|12mx|x的最小值为a,b,c满足ab2cabb2c的最小值．4双流中学高2024届高三10月月考数学（理工类）参考答案1．C2．A3．C4．D5．D6．D7．C8．B9．B10．C11．D12．A13．ysinx（答案不唯一）14．2171）若选①②：15．416．2.3因为函数fx的一个零点为0，所以f00，所以2sin10，1ππ所以sin，因为0，所以．226ππ因为函数fx图象上相邻两条对称轴的距离为，所以T2π．22π6因为03，所以2，所以函数fx的解析式为fx2sin2x1；若选①③：因为函数fx的一个零点为0，所以f00，所以2sin10，1ππ所以sin，因为0，所以．2262π3因为函数fx图象的一个最低点的坐标为,3，2ππ62π3π6所以2sin32，所以sin1，2πππ2π，即k1kZ，因为03，所以2．所以362π1；6所以函数fx的解析式为fx2sin2x若选②③：ππ因为函数fx图象上相邻两条对称轴的距离为，所以T2π，222π3因为03，所以2，因为函数fx图象的一个最低点的坐标为,3，2π4π3所以2sin22，所以sin1，34πππ2π即2πkZ，所以326ππ6π因为0，所以，所以函数fx的解析式为fx2sin2x1；26y2sin2xπππ6π（2）把yf(x)的图象向右平移个单位得到12sin2x1，666π6π6再将y2sin2x1向上平移1个单位得到y2sin2x，π6ππππ即y2sin2x，由xm得2x2m，3666π3因为gx在区间,m上的最大值为2，1π6π3ππππ所以sin2x在区间,m上的最大值为1，所以2m，所以m，所以m的最小值为.6233181）当a1时，fxx3x2x1，13x3x22x1x3x.令fx0，得x=1或x所以f，列表如下：13111-1xf-2,1133x+0-0+fxf1f2极大值极小值2，f12，所以函数fx在区间2,1上的最大值为2.由于fax3x22axa2xa3xa，令fx0，得xa（2）f或x.3x23x≥0，所以函数fx在R上单调递增，无极值.当a0时，f当a0时，列表如下：a3aa3,,aa,xa3f'x+0-0+fx极大值极小值a35函数fxfaa31，极小值为f13a.的极大值为27191）由余弦定理得b2c2abccosA.22abccosC2abccosCacosC∵2bc.2bc∴b2c2a22bccosAsinAcosCcosAcosA由正弦定理得2sinBsinC∴2sinBcosAsinCcosAsinAcosC∴2sinBcosAsinACsinB，12∵ABC是锐角三角形，∴0，0，0，∴B0.∴A，∴A.BA223（2）由（1）得A设B，则C，333∵ABC是锐角三角形，∴0，∴2262bc3由正弦定理得sinsin()22sin2sin2b∵c2，∴2313112)132tan2231321得tan2，∴14由，∴b6232tan21333SABC23∴ABC面积的取值范围是(,23).∵SBCbcsinAb，2222201）证明:如图所示，连接AC,AC,11因为ABCD为棱台，所以,A,C,C11四点共面，1111又因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，因为AA平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD，1AA1,AC1A又因为AAACA且平面，所以BD平面1A，111因为1平面1A，所以BDCC.11（2）解：取BC中点Q，连接AQ，因为底面ABCD是菱形，且ABC60，所以ABC是正三角形，所以AQBC，即AQAD，由于AA平面ABCDAAQ,AD,AAxy为轴、轴和z1113,0,0坐标系，则A0,0,0,A0,1,D,Q1设平面假设点EE的坐标为3,,01AE3,,0,ADAD1E11nAE3xy0的法向量nx,y,z，则，nADyz01取xλ，可得y3,z3，所以n,3,3.又由平面ADD的法向量为AQ3,0,0，13313所以cosAQ,n，解得263233由于二面角EADD为锐角，则点E在线段QC上，所以，即CE112231时，二面角EADD的余弦值为.故BC上存在点E，当CE11321112211）当a时，f(x)sinxx2，f(x)cosx，22πππxf(x)0；当0x时，f(x)0当时，．323π3ππ32所以f(x)在上单调递增，在,上单调递减.3（2）设h(x)esinxcosx2ax，由题意知当x0时，h(x)0．x求导得h(x)xcosxsinxa．设(x)excosxsinxa，则(x)exsinxcosx，eyxyxxy当xy故函数yex在x1x,0令x0单调递减，所以exx1；令mxxsinx，可得mx1cosx0，故mx在单调递增时，xsinx．所以当x0时，(x)exsinxcosxx1xcosx1cosx0．故(x)在[0,)上单调递增，当x0时，(x)min(0)2a，且当x时，(x)．若a2，则h(x)(x)0，函数h(x)在[0,)上单调递增，h(x)h(0)0因此x[0,)，，符合条件．若a2，则存在0[0,)，使得00，即h00，当0xx时，h(x)0，则h(x)x在上单调递减，此时0h(x)h(0)0，不符合条件．0综上，实数a的取值范围是(,2]．221）由题可变形为23y3x（2）由已知有M(2,0)，N(0,4)，设P(2cos,4sin)，2cos216，x2y22x2y2，cosx，x22216，∴1.∵∴416π(0,).2121于是由SOMPNSOMPSONP24sin42cos4sin42)42，4cos424)，2π由(0,)得(,)，于是24444∴四边形OMPN最大值42.231）当m2时，不等式f(x)时，2x2x2x60，解得，则3x2；|x2||2x2||x2|x60．①当x<2x3②当2x1时，2x2x2x60，则2