专题13 相似三角形的经典模型（10大题型）（原卷版）

专题13相似三角形的经典模型（10大题型）【题型目录】题型一A字型相似题型二8字型相似题型三AX型相似题型四母子型相似题型五三角形内接矩形相似题型六射影定理相似题型七旋转相似题型八k字型相似题型九折叠相似题型十动态相似【经典例题一A字型相似】【模型解读】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；③模型拓展2：如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．102．（2023·广东深圳·校考三模）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝．3．（2023秋·上海长宁·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．4．（2022春·全国·九年级专题练习）王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？【经典例题二8字型相似】【模型解读】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（）A． B． C． D．2．（2021秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为cm．3．（2023·江苏南通·统考一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点．(1)当时，求的度数用含的式子表示；(2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由；(3)若，求的值．4．（2023·山东·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接，交线段于点，若，求的值．(3)如图2，已知抛物线的对称轴交轴于点，与直线，分别交于、两点．试问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【经典例题三AX型相似】【模型解读】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.1、（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A． B． C． D．2、（2022·河北石家庄·九年级期末）已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点．①若，求的长；②作，垂足为，求证：．3、（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．4、（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．【经典例题四母子型相似】【模型解读】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（

）A．27 B．26 C．25 D．242．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为．3．（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．4（2023·湖北襄阳·校考一模）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，交于F．(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)若，求的长．【经典例题五三角形内接矩形相似】【模型解读】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，1．（2022秋·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，中，，点E在上，于点F，，已知的面积为a，的面积为b，则矩形的面积为（）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在中，，，．

（1）若四边形为的内接正方形，则正方形的边长为；（2）若四边形为的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形的边长为．3．（2022秋·湖北宜昌·九年级校考期中）如图，在中，，高．矩形的一边在边上，E、F两点分别在、上，交于点H．

(1)若矩形为正方形，求该正方形的边长．(2)设，当x为何值时，矩形的面积最大？并求其最大值．4．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图①，在中，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，过点作的垂线交于点，以为边向上作矩形，点在或的延长线上，，当点与点重合时点停止运动，设点运动的时间为（秒）．

(1)求的长；(2)当平分矩形的周长时，求的值；(3)当点在的直角边的垂直平分线上时，直接写出的值；(4)如图②，当点在的延长线上时，、分别交边于点、，当与图中某个三角形全等时，求的值．【经典例题六射影定理相似】【模型解读】①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．1、（2022秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)2、（2022秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．4、（2022秋•汝州市校级月考）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．【经典例题七旋转相似】【模型解读】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．③如图所示，，则，，且．1．（2021秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（）A．3 B．2 C．5 D．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转90°，得到，连接，交于点，则的长为．

3．（2022秋·江西吉安·九年级校考阶段练习）数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1．

转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边于点E，F，连接，如图2．剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4．(1)______，写出图中两个等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)线段之间的数量关系为______；(3)连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点G、点H．如图3，求的值．4．（2023·湖南邵阳·统考一模）如图1，在中，，，过点A作直线，过点B，C分别作直线l的垂线，垂足分别为点E，D．

操作探究：（1）如图2，若直线l从图1状态开始绕点A旋转，请探究线段的数量关系并说明理由；（2）如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转，与线段BC相交于点G，请再探究线段的数量关系并说明理由；尝试应用：（3）在图3中，延长线段交线段AC于点F，若，，求．【经典例题八k字型相似】【模型解读】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（

）A． B．2 C． D．2．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD:DE=2:3，则CF=．3．（2023·河南周口·校联考三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

4．（2023秋·全国·九年级专题练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．【经典例题九折叠相似】1．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（

）

A． B． C． D．2．（2023·河南信阳·校考三模）如图，正方形中，，点P为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点A的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为．

3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．

(1)求证：；(2)若，求的长．4．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，已知中，，E是上的一点，，点D是线段上的一个动点，沿折叠，点C与重合，连接．

(1)求证：；(2)若点F是上一点，且，求的最小值．【经典例题十动态相似】1．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是在以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（

）A． B． C． D．2．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值为．

3．（2023·江苏淮安·校考二模）如图：已知菱形中，，点为边上一动点，连接交外角角平分线于点，连接，，交于点．

(1)如图，①设的度数为，直接写出的取值范围______；②当点为中点时，连接，求证：；(2)如图，过点作的平行线，且使，连接，①证明：；②当，时，求的长．4．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）（1）特殊发现：如图1，正方形与正方形的顶B重合，、分别在、边上，连接，则有：①______；②直线与直线所夹的锐角等于______度；（2）理解运用将图1中的正方形绕点B逆时针旋转，连接、，①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过边的中点O，，直接写出的长等于______；（3）拓展延伸如图4，点P是正方形的边上一动点（不与A、B重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由．

【重难点训练】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．3 B． C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（

）A．6 B． C． D．4．（2021秋·四川眉山·九年级统考期末）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为．6．（2023·广东深圳·校考三模）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝．7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为．8．（2021秋·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是边AB的中点，连