动量守恒定律的应用

动量守恒定律的应用基本概念☆

1.动量守恒定律的表述☆2.动量守恒定律成立的条件。☆

3.应用动量守恒定律的注意点☆

4.动量守恒定律的重要意义简单应用

例1、01年全国17、例2、

例3、04年北京24、练习、例4、综合应用87年高考、例5.例6、例7、

例8、例9、例10、00年高考22、

95高考.04年江苏18、04年青海甘肃25实验题例11

练习2动量守恒定律的应用1.动量守恒定律的表述。一个系统不受外力或者受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。即：m1v1+m2v2

=m1v1′+m2v2′2.动量守恒定律成立的条件。⑴系统不受外力或者所受外力之和为零；⑵系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；⑶系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。⑷全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。3.应用动量守恒定律的注意点：(1)注意动量守恒定律的适用条件，(2)特别注意动量守恒定律的矢量性：要规定正方向，已知量跟规定正方向相同的为正值，相反的为负值，求出的未知量是正值，则跟规定正方向相同，求出的未知量是负值，则跟规定正方向相反。(3)注意速度的同时性和同一性。

同时性指的是公式中的v1

、v2必须是相互作用前同一时刻的速度，v1′、v2′必须是相互作用后同一时刻的速度。

同一性指的是公式中的所有速度都是相对于同一参考系的速度，一般以地面为参考系。

火车机车拉着一列车厢以v0速度在平直轨道上匀速前进，在某一时刻，最后一节质量为m的车厢与前面的列车脱钩，脱钩后该车厢在轨道上滑行一段距离后停止，机车和前面车厢的总质量M不变。设机车牵引力不变，列车所受运动阻力与其重力成正比，与其速度无关。则当脱离了列车的最后一节车厢停止运动的瞬间，前面机车和列车的速度大小等于

。例1解：由于系统(m＋M)的合外力始终为0，由动量守恒定律(m＋M)v0=MVV=(m＋M)v0/M(m＋M)v0/M

（12分）质量为M的小船以速度V0行驶，船上有两个质量皆为m的小孩a和b，分别静止站在船头和船尾，现小孩a沿水平方向以速率（相对于静止水面）向前跃入水中，然后小孩b沿水平方向以同一速率（相对于静止水面）向后跃入水中.求小孩b跃出后小船的速度.01年全国17解：设小孩b跃出后小船向前行驶的速度为V，根据动量守恒定律，有

平直的轨道上有一节车厢，车厢以12m/s的速度做匀速直线运动，某时刻与一质量为其一半的静止的平板车挂接时，车厢顶边缘上一个小钢球向前滚出，如图所示，平板车与车厢顶高度差为1.8m，设平板车足够长，求钢球落在平板车上何处？（g取10m/s2）例2v0解:

两车挂接时，因挂接时间很短，可以认为小钢球速度不变，以两车为对象，碰后速度为v，由动量守恒可得Mv0=(M＋M/2)·v∴v=2v0/3=8m/s钢球落到平板车上所用时间为t时间内平板车移动距离s1=vt=4.8mt时间内钢球水平飞行距离s2=v0t=7.2m则钢球距平板车左端距离x=s2－s1=2.4m。题目v0

有一质量为m＝20千克的物体，以水平速度v＝5米／秒的速度滑上静止在光滑水平面上的小车，小车质量为M＝80千克，物体在小车上滑行距离ΔL

＝4米后相对小车静止。求：

（1）物体与小车间的滑动摩擦系数。

（2）物体相对小车滑行的时间内，小车在地面上运动的距离。例3解：画出运动示意图如图示vmMVmMLS由动量守恒定律（m+M)V=mvV=1m/s由能量守恒定律μmgL=1/2×mv2-1/2（m+M)V2∴μ=0.25对小车μmgS=1/2×MV2∴S=0.8m

（20分）对于两物体碰撞前后速度在同一直线上，且无机械能损失的碰撞过程，可以简化为如下模型：A、B两物体位于光滑水平面上，仅限于沿同一直线运动。当它们之间的距离大于等于某一定值d时.相互作用力为零：当它们之间的距离小于d时，存在大小恒为F的斥力。设A物休质量m1=1.0kg，开始时静止在直线上某点；B物体质量m2=3.0kg，以速度v0从远处沿该直线向A运动，如图所示。若d=0.10m,F=0.60N，v0=0.20m/s，求：（1）相互作用过程中A、B加速度的大小；（2）从开始相互作用到A、B间的距离最小时，系统（物体组）动能的减少量；（3）A、B间的最小距离。04年北京24v0BAdv0m2m1d解：（1）（2）两者速度相同时，距离最近，由动量守恒（3）根据匀变速直线运动规律v1=a1tv2=v0－a2t当v1=v2时解得A、B两者距离最近时所用时间t=0.25ss1=a1t2s2=v0t－a2t2△s=s1+d－s2将t=0.25s代入，解得A、B间的最小距离△smin=0.075m题目

练习.

如图所示，一质量为M=0.98kg的木块静止在光滑的水平轨道上，水平轨道右端连接有半径为R=0.1m的竖直固定光滑圆弧形轨道。一颗质量为m=20g的子弹以速度v0＝200m/s的水平速度射入木块，并嵌入其中。（g取10m/s2）求：（1）子弹嵌入木块后，木块速度多大？（2）木块上升到最高点时对轨道的压力的大小Rv0

解：由动量守恒定律mv0=（M+m）V∴V=4m/s由机械能守恒定律，运动到最高点时的速度为vt

1/2mvt2+2mgR=1/2mV2

vt2=V2-4gR=12由牛顿第二定律mg+N=mvt2/R∴N=110N由牛顿第三定律，对轨道的压力为110N

如图所示，光滑水平面上质量为m1=2kg的物块以v0=2m/s的初速冲向质量为m2=6kg静止的光滑圆弧面斜劈体。求例4（1）物块m1滑到最高点位置时，二者的速度；（2）物块m1从圆弧面滑下后，二者速度。m2m1V0解：（1）由动量守恒得m1V0=（m1+m2）V

V=m1V0/（m1+m2）=0.5m/s（2）由弹性碰撞公式

如下图所示，在水平光滑桌面上放一质量为M的玩具小车。在小车的平台（小车的一部分）上有一质量可以忽略的弹簧，一端固定在平台上，另一端用质量为m的小球将弹簧压缩一定距离用细线捆住。用手将小车固定在桌面上，然后烧断细线，小球就被弹出，落在车上A点，OA=s，如果小车不固定而烧断细线，球将落在车上何处？设小车足够长，球不至落在车外。87年高考AsO下页解：当小车固定不动时：设平台高h、小球弹出时的速度大小为v，则由平抛运动可知s=vt当小车不固定时：设小球弹出时相对于地面的速度大小为v′

，车速的大小为V，由动量守恒可知：

mv′=MV（2）因为两次的总动能是相同的，所以有题目下页设小球相对于小车的速度大小为v″，则设小球落在车上A′处，由平抛运动可知：由（1）（2）（3）（4）（5）解得：题目上页

如图所示，M=2kg的小车静止在光滑的水平面上．车面上AB段是长L=1m的粗糙平面，BC部分是半径R=0.4m的光滑1/4圆弧轨道，今有一质量m=1kg的金属块静止在车面的A端．金属块与AB面的动摩擦因数μ=0.3．若给m施加一水平向右、大小为I=5N·s的瞬间冲量，求小车能获得的最大速度（g取10m/s2）MABCROmI解：I=mv0v0=I/m=5/1=5m/s当物体m由最高点返回到B点时，小车速度V2最大,由动量守恒定律mv0=-mv1+MV2=5由能量守恒定律1/2mv0

2=1/2mv12+1/2MV22+μmgL解得：V2=3m/s（向右）

v1=1m/s（向左）例5.

甲乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏．甲和他的冰车的总质量共为M=30kg，乙和他的冰车的总质量也是30kg．游戏时，甲推着一质量为m=15km的箱子，和他一起以大小为v0=2m/s的速度滑行．乙以同样大小的速度迎面滑来．为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子到乙处时乙迅速把它抓住．若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出，才能避免和乙相碰？V0=2m/s乙甲V0=2m/s例6V0=2m/s乙甲V0=2m/s解：由动量守恒定律（向右为正）对甲、乙和箱(M+M+m)V1=(M+m-M)V0V0=2m/sVxv1甲乙

对甲和箱（向右为正）

(M+m)V0=MV1+mvxv1v1甲乙

对乙和箱-MV0+mvx=(M+m)V1VX=5.2m/sV1=0.4m/s题目

如图所示，在光滑水平面上有两个并排放置的木块A和B，已知mA=500克，mB=300克，有一质量为80克的小铜块C以25米/秒的水平初速开始，在A表面滑动，由于C与A、B间有摩擦，铜块C最后停在B上，B和C一起以2.5米/秒的速度共同前进，求：

(a)木块A的最后速度vA′(b)C在离开A时速度vC′ABCv0解：画出示意图如图示：对ABC三个物体组成的系统，由动量守恒定律，从开始到最后的整个过程，ABCvBCvA′ABCvC′mCv0=

mAvA′+(mB+mC)vAB80×25=500×vA′+380×2.5vA′=2.1m/s从开始到C刚离开A的过程，mCv0=

mCvC′+(mA+mB)vA′80×25=80×vC′+800×2.1vC′=4m/s例7

光滑的水平桌面上有一质量m3=5kg,长L=2m的木板C,板两端各有块挡板.在板C的正中央并排放着两个可视为质点的滑块A和B,质量分别为m1=1kg,m2=4kg,A、B之间夹有少量的塑料炸药,如图所示,开始时A、B、C均静止,某时刻炸药爆炸使A以6m/s的速度水平向左滑动,设A、B与C接触均光滑,且A、B与挡板相碰后都与挡板粘接成一体,炸药爆炸和碰撞时间均可不计,求：炸药爆炸后,木板C的位移和方向.例8BCABCA1kgL=2m4kg5kgv0=6m/s解：炸药爆炸后,对A、B由动量守恒定律，m1v0-m2v2=0v2=1.5m/sC不动,A经t1与板碰撞t1=0.5L/v0=1/6sB向右运动s2=v2t1=0.25m（图甲）BCA甲v2A与板碰撞后，对A、C由动量守恒定律，m1v0=（m1+m3）

VV=1m/sVB经t2与板碰撞（图乙）C乙BA0.5L–s2=

（v2+V）t2t2=0.3sS车=Vt2=0.3mB与板碰后车静止

例9.质量为M=3kg的小车放在光滑的水平面上，物块A和B的质量为mA=mB=1kg，放在小车的光滑水平底板上，物块A和小车右侧壁用一根轻弹簧连接起来，不会分离。物块A和B并排靠在一起，现用力压B，并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功135J，如右图所示。撤去外力，当B和A分开后，在A达到小车底板的最左端位置之前，B已从小车左端抛出。求：(1)B与A分离时A对B做了多少功?(2)整个过程中，弹簧从压缩状态开始，各次恢复原长时，物块A和小车的速度MABmAmBMABmAmBE0=135J解：(1)AB将分离时弹簧恢复原长,AB的速度为v,小车速度为V,对A、B、M系统，由动量守恒定律和机械能守恒定律得：VvABM(mA+mB)v-MV=01/2(mA+mB)v2+1/2MV2=E0即2v-3V=0v2+1.5V2=135解得v=9m/s,V=6m/s∴WA对B=1/2mBv2=40.5J(2)B离开小车后，对小车和A及弹簧系统由动量守恒定律和机械能守恒定律得：AMmAv1-MV1=01/2mAv12+1/2MV12=E0–40.5即v1-3V1=0v12+3V12=189解得v1=13.5m/s,V1=1.5m/s答：

B与A分离时A对B做了多少功40.5J(2)弹簧将伸长时小车和A的速度分别为9m/s,6m/s；将压缩时为13.5m/s,1.5m/s

人和冰车的总质量为M，人坐在静止于光滑水平冰面的冰车上，以相对地的速率v将一质量为m的木球沿冰面推向正前方的竖直固定挡板。设球与挡板碰撞时无机械能损失，碰撞后球以速率v反弹回来。人接住球后，再以同样的相对于地的速率v将木球沿冰面推向正前方的挡板。已知M：m=31：2，求：（1）人第二次推出球后，冰车和人的速度大小。（2）人推球多少次后不能再接到球？例10解：每次推球时，对冰车、人和木球组成的系统，动量守恒，设人和冰车速度方向为正方向，每次推球后人和冰车的速度分别为v1、v2…，则第一次推球后：Mv1－mv=0v1=mv/M第一次接球后：（M＋m）V1′=Mv1

+

mv第二次推球后：（M＋m）V1′=Mv2－mv∴Mv1＋mv=Mv2－mv∴v2=3mv/M=6v/31以此类推，第N次推球后，人和冰车的速度

vN=(2N－1)mv/M当vN＞v时，不再能接到球，即2N－1＞M/m=31/2N＞8.25∴人推球9次后不能再接到球题目

在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图所示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除定均无机械能损失）。已知A、B、C三球的质量均为m。

（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

（2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。v0BACP00年高考22v0BACP（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒，有

v1ADPmv0=(m+m)v

1①当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2

，由动量守恒，有DAPv22mv1=3mv2②由①、②两式得A的速度

v2=1/3v0

③题目上页下页（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP

，由能量守恒，有

撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D的动能，设D的速度为v3

，则有

当弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度。当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为v4

，由动量守恒，有2mv3=3mv4

⑥

当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为，由能量守恒，有

解以上各式得题目上页

如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点0两侧的人的序号都记为n(n=1，2，3…)。每人只有一个沙袋，x>0一侧的每个沙袋质量为m=14千克，x<0一侧的每个沙袋质量为m′=10千克。一质量为M=48千克的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍(n是此人的序号数)。

(1)空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋多少个？95高考.3120123x3120123x解：由于小车的速度逐级变化，使得问题越来越复杂。为使问题得到解决我们先用归纳法分析。(1)在x>0的一侧：第1人扔袋：Mv0－m·2v0=(M＋m)v1，第2人扔袋：(M＋m)v1－m·2·2v1=(M＋2m)v2，第n人扔袋：[M＋(n－1)m]vn

1

m·2nvn

1=(m+nm)vn，要使车反向,则要Vn<0亦即：M＋(n－1)m－2nm<0

n=2.4，取整数即车上堆积有n=3个沙袋时车将开始反向(向左)滑行。题目(2)只要小车仍有速度，都将会有人扔沙袋到车上，因此到最后小车速度一定为零，在x<0的一侧：经负侧第1人：(M＋3m)v3－m′

·2v3=(M＋3m+m′)v′

，经负侧第2人：(M＋3m＋m′)v4－m′·4v4=(M＋3m＋2m′)v5′

……

经负侧第n人(最后一次)：

[M＋3m＋(n′－1)m′]vn’

1－m′·2n′vn′

1=0

n′=8故车上最终共有N=n＋n′=3＋8=11(个沙袋)题目3120123x(16分)一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和．若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值)．设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg.（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小．（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数．（供使用但不一定用到的对数值：lg2=O.301，lg3=0.477)04年江苏18、

解：（1）设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量守恒定律，有狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度满足可解得将代入，得题目下页

（2）解：设雪橇运动的方向为正方向。狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vi,狗的速度为Vi+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为Vi′

，由动量守恒定律可得

第一次跳下雪橇：MV1+m（V1+u）=0

第一次跳上雪橇：MV1+mv=（M+m）V1′

第二次跳下雪橇：（M+m）V1′=MV2+m（V2+u）

第二次跳上雪橇：MV2+mv=（M+m）V2′题目下页

第三次跳下雪橇：（M+m）V2′=MV3+m（V3+u）

第三次跳上雪橇：（M+m）V3′=MV3+mv第四次跳下雪橇：（M+m）V3′=MV4+m（V4+u）

此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇。因此，狗最多能跳上雪橇3次。雪橇最终的速度大小为5.625m/s.题目上页

（19分）如图，长木板ab的b端固定一档板，木板连同档板的质量为M=4.0kg，a、b间距离s=2.0m。木板位于光滑水平面上。在木板a端有一小物块，其质量m=1.0kg，小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10，它们都处于静止状态。现令小物块以初速v0=4.0m/s沿木板向前滑动，直到和档板相撞。碰撞后，小物块恰好回到a端而不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。04年青海甘肃25S=2mabMmv0

S=2mabMmv0

解：设木块和物块最后共同的速度为v，由动量守恒定律mv0=(m+M)v①设全过程损失的机械能为ΔE，木块在木板上相对滑动过程损失的机械能为W=fΔs=2μmgs③注意：Δs为相对滑动过程的总路程碰撞过程中损失的机械能为

例11、A、B两滑块在同一光滑的水平直导轨上相向运动发生碰撞（碰撞时间极短）。用闪光照相，闪光4次摄得的照片如图所示。已知闪光的时间间隔为△t，而闪光本身持续时间极短，在这4次闪光的瞬间，A、B两滑块均在0—80cm刻度范围内，且第一次闪光时，滑块A恰好通过x=55cm处，滑块B恰好通过x=70cm处，问：（1）碰撞发生在何处？（2）碰撞发生在第一次闪光后多少时间？（3）两滑块的质量之比等于多少？下页ABAABA01020304050607080cmABAABA01020304050607080cm解：

第一次闪光时，滑块A、B恰好通过x=55cm处、x=70cm处，可见碰前B向左运动，碰后B静止在x=60cm处；碰前A向右运动，碰后A向左运动，碰撞发生在x=60cm处；设闪光时间间隔为Δt，向左为正方向，A在碰后最后两次闪光间隔内向左运动20cm，A在碰后速度为∴VA′=20cm/Δt，A在碰后到第二次闪光间隔向左运动10cm，历时为△t/2，所以碰撞发生在第一次闪光后的时间t=△t/2vB=20cm/Δt，vA=-10cm/Δt，VB′=0由动量守恒定律mAvA+mBvB=mAVA′+0-10mA+20mB=20mA+0∴mA∶mB=2∶3题目练习2.某同学设计一个验证动量守恒的实验：将质量为0.4kg的滑块A放在光滑水平轨道上，并向静止在同一轨道上质量为0.2kg的滑块B运动发生碰撞，时间极短，用闪光时间间隔为0.05s,闪光时间极短的照相机照，闪光4次摄得的照片如图8所示，由此可算出碰前的总动量=

，碰后动量=

，碰撞发生在=______cm处，结论是

.

ABAAB