2023-2024学年人教部编版初中九年级下学期期中数学真题05

期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填涂在答题卡上1．（3分）在﹣2，﹣1，0，1这四个整数中，绝对值最小的整数为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．（3分）已知长度单位1纳米＝10﹣9米，目前发现一种新型冠状病毒的直径为154纳米，用科学记数法表示154纳米是（）A．1.54×10﹣7米 B．1.54×10﹣9米 C．0.154×10﹣6米 D．154×10﹣9米3．（3分）如图，该几何体由5个相同的立方体搭成，它的三视图中，面积相等的是（）A．主视图与俯视图 B．主视图与左视图 C．俯视图与左视图 D．三个视图都不相等4．（3分）下列运算正确的是（）A．﹣3a2•2a3＝﹣6a6 B．6a6÷（﹣2a3）＝﹣3a2 C．（﹣a3）2＝a6 D．（ab3）2＝ab65．（3分）已知方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14 B．k＜14 C．k≠146．（3分）5月12日为母亲节，小南和小开为各自的母亲买一束鲜花，现有三种不同类型的鲜花可供选择：康乃馨、百合和玫瑰，两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为（）A．13 B．12 C．237．（3分）在抗击疫情中，某社区志愿者小分队年龄如表：年龄（岁）1822303543人数23221则这10名队员年龄的中位数是（）A．20岁 B．22岁 C．26岁 D．30岁8．（3分）不等式组3−A． B． C． D．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC＝24，AB＝30，则△ABDA．105 B．120 C．135 D．11510．（3分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．5 B．34 C．8 D．23二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：（−12）﹣1−12．（3分）把一块矩形直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为．13．（3分）如图，反比例函数y=kx（k≠0）图象经过A点，AC⊥x轴，CO＝BO，若△ACB的面积为6，则k的值为14．（3分）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O'A'B，其中点A的运动路径为AA'，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a是常数，且a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到线段AD，连接BD．当BD最短时，a的值为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（a−2ab−b2a）÷2a217．（9分）小明随机调查了若干市民租用公共自行车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如图统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）这次被调查的总人数是多少？（2）试求表示A组的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图．（3）如果骑自行车的平均速度为12km/h，请估算，在租用公共自行车的市民中，骑车路程不超过6km的人数所占的百分比．18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C是AB右侧半圆上的一个动点，点D是AB左侧半圆的中点，DE是⊙O的切线，切点为D，连接CD交AB于点P，点Q为射线DE上一动点，连接AD，AC，BQ，PQ．（1）当PQ∥AD时，求证：△DPQ≌△PDA．（2）若⊙O的半径为2，请填空：①当四边形BPDQ为正方形时，DQ＝；②当∠BAC＝时，四边形ADQP为菱形．19．（9分）如图是一矩形广告牌ACGE，AE＝2米，为测量其高度，某同学在B处测得A点仰角为45°，该同学沿GB方向后退6米到F处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P点仰角为37°．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆PE的高为2.25米，求广告牌的高度（AC或EG的长）．（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75）20．（9分）今年疫情防控期间，某小区卫生所决定购买A，B两种口罩，以满足小区居民的需要．若购买A种口罩9包，B种口罩4包，则需要700元；若购买A种口罩3包，B种口罩5包，则需要380元．（1）购买人A，B两种口罩每包各需多少元？（2）卫生所准备购进这两种口罩共90包，并且A种口罩包数不少于B种口罩包数的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21．（10分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC于点F，求△DEF周长的最大值．22．（10分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=x−2x（x≠0）的图象与性质，因为y=x−2x=1−2x列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1−1121234…y=…1223124﹣4﹣2﹣1−2−1…y=…3253235﹣3﹣101312…描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y=x−2（1）请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（“增大”或“减小”）②y=x−2x的图象是由y=−2x③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）函数y=x−2x与直线y＝﹣2x+1交于点A，B，求△23．（11分）（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线的时候，直接写出线段AF的长．

参考答案1．C．2．A．3．A．4．C．5．D．6．A．7．C．8．D．9．B．10．B．11．﹣6．12．130°．13．﹣6．14．2π﹣23．15．2316．解：原式=a2=(a−b)2=a−b当a=2+1，b原式=217．解：（1）调查的总人数是：19÷38%＝50（人）；（2）A组所占圆心角的度数是：360×15C组的人数是：50﹣15﹣19﹣4＝12．；（3）路程是6km时所用的时间是：6÷12＝0.5（小时）＝30（分钟），则骑车路程不超过6km的人数所占的百分比是：50−45018．解（1）证明：连接OD，∵点D为的中点，AB为⊙O的直径，∴OD⊥AB，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE∥AB，又∵PQ∥AD，∴四边形ADQP是平行四边形，∴PQ＝DA，AP＝QD，在△DPQ与△PDA中，PQ=DAAP=QD∴△DPQ≌△PDA（SSS）；（2）①如图，∵四边形BPDQ是正方形，∴DQ＝DP，DQ⊥DP，∵DE是⊙O的切线，∴DQ⊥OD，∴点P与点O重合，∴DQ＝OD＝2，②∵四边形ADQP是菱形，∴DQ＝AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD，在Rt△AOD中，OA＝OD，∴∠DAO＝45°，∴∠ADP＝∠APD＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，又∵∠C=1∴∠BAC＝∠DPA﹣∠C＝67.5°﹣45°＝22.5°，故答案为：2；22.5°．19．解：由题意：DH＝BF＝6米，DB＝HF＝1.7米，PE＝2.25米，如图，设直线DH交EG于M，交AC于N，则EM＝AN．设AN＝x，则PM＝x+2.25，在Rt△AND中，∵∠ADN＝45°，∴AN＝ND＝x，∵AE＝MN＝2，则MH＝6+x+2＝8+x，在Rt△PHM中，∵tan37°=PM∴x+2.25x+8解得x≈15，∴AC＝AN+NC＝15+1.7≈17（米），故广告牌的高度为17米．20．解：（1）设购买A种口罩每包x元，B种口罩每包y元，根据题意可得：9x+4y=7003x+5y=380解得：x=60y=40答：购买A种口罩每包60元，B种口罩每包40元；（2）设购买A种口罩m包，则B种口罩（90﹣m）包，根据题意可得：m≥2（90﹣m），解得：m≥60，∵购买口罩的费用w＝60m+40（90﹣m）＝20m+3600，∵20＞0，∴m越小费用越低，∵m≥60，所以m＝60，90﹣60＝30，∴最省钱方案，A种口罩60包，B种口罩30包．21．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y＝ax2+bx﹣3，得到a−解得a=1b=−2∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）如图，连接DB、DC．设D（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵DF∥OB，∴∠DFE＝∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE最大时，△DEF的面积中点，此时△DBC的面积最大，则有S△DBC＝S△DOB+S△DOC﹣S△BOC=12•3•（﹣m2+2m+3）+12•3•m−92∴m=32时，△DBC的面积最大，此时△此时D（32，−∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴F（−34，∴DF=9∵△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝ED=9∴C△DEF最大值=922．解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y=x−2x的图象是由y③图象关于点（0，1）中心对称．故答案为：增大，上，1，（0，1）；（3）根据题意得：x−2x=−2x+1，解得：当x＝1时，y＝﹣2x+1＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣2x+1＝3，∴交点为（1，﹣1），（﹣1，3），当y＝0时，﹣2x+1＝0，x=1∴S△AOB=12×23．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，根据勾股定理得，BC=2AB＝22点D为BC的中点，∴AD=12BC∵四边形CDEF是正方形，∴AF＝EF＝AD=2∵BE＝AB＝2，∴BE=2AF故答案为BE=2AF（2）无变化；如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC=CA在正方形CDEF中，∠FEC=12∠在Rt△CEF中，sin∠FEC=CF∴CFCE∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴BEAF∴BE=2AF∴