重庆市重点学校2023-2024学年高二上学期12月期中数学试题(含答案)

—2024学年上期12月高二期中测试数学试题一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。1.向量，，，则（

）A.9 B.3 C.1 D.2.如图所示，空间四边形中，点分别为的中点，则等于（

）

A. B.C. D.3.已知直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为（

）A. B.C. D.4.已知直线，.则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（

）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切6.已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（

）A. B.C. D.7.当时，方程表示的曲线不可能是（

）A.圆 B.直线C.焦点在轴的椭圆 D.焦点在轴的双曲线8.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（

）A. B. C. D.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。9.在正四棱柱中，，，M，N分别为棱，上的一点，则下列说法正确的是（

）A.B.当M，N分别为棱，的中点时，直线与所成角的余弦值为C.存在点M，使得为钝角D.直线与平面所成角的正弦值的取值范围是10.若曲线与圆恰有4个公共点，则m的值可能是（

）A. B. C. D.211.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）.在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：.则下列结论正确的是（

）A.曲线C关于y轴对称 B.的最小值为C.面积的最大值为 D.的取值范围为12.已知，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A.B.若，则C.若，则D.若，则的取值范围是三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。13.已知，，，且共面，则x的值为.14.已知两条平行直线间的距离为，则.15.在两坐标轴上的截距相等，且与圆相切的直线有条.16.已知椭圆C：，点，M为椭圆上任意一点，A，B为椭圆的左，右顶点，当M不与A，B重合时，射线交椭圆C于点N，直线交于点T，则动点T的轨迹方程为.四、解答题：共70分。17.如图，在四面体中，，，.

(1)求的值；(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.18.如图，在矩形和中，，，，，，，记.(1)将用，，表示出来；(2)当时求与夹角的余弦值；(3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.19.已知坐标平面内三点，，.(1)求直线AC的倾斜角；(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.20.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点到点与点的距离之比为2，记动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)过点作曲线的切线，求曲线关于直线对称的曲线的方程.21.已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点.(1)求双曲线的方程；(2)已知点，设过点的直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，，当时，求直线的斜率.22.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值.数学参考答案123456789101112ABAACDDAABDACABDBCD1.因为，所以，解得，则，所以.2.因为点分别为的中点，所以，3.由可得，即曲线为半圆，又直线过定点，作直线与曲线图象，如图，当直线与圆相切时，，故可得直线斜率，由图象知，当直线斜率时，直线与曲线有两个交点，4.当时，直线的斜率为，的斜率为，又，所以，充分性成立；直线，，若，则有，解得或，必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.5.由，得，则，整理得，表示圆心为，半径为的圆，圆的圆心为为圆心，半径，两圆的圆心距为，满足，所以两个圆相交.6.双曲线的一条渐近线方程为，因为直线与C无公共点，所以，即，所以，又，所以C的离心率的取值范围为.7.对于方程，当时，，方程为表示圆心在原点，半径为1的圆；当时，，则，此时方程，即表示焦点在轴的椭圆；当时，，方程为，即表示两条直线；当时，，则，此时方程，即表示焦点在轴的双曲线.8.依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为，解得，因为，所以9.

以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由，，，，有，，，可得，故A正确；当M，N分别为棱，的中点时，，，，，所以，，所以，，，故B正确；，设，所以，，所以，故C错误；设，所以，，设平面的一个法向量为，所以令，解得，，所以平面的一个法向量为，又，设直线与平面所成角的大小为，所以，又，所以，故D正确.10.曲线表示直线和，解得.因为曲线与圆恰有4个公共点，所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，又圆的圆心为，半径为，所以，解得.11.由题意得：，即，则，解得：，令，则，所以.对于A选项：方程中的x换成方程不变，所以曲线C关于y轴对称，A选项正确；对于B选项：，当且仅当，即时等号成立，所以B选项正确；对于C选项：面积为，则面积的最大值为，所以C选项错误；对于D选项：因为，则的取值范围为，所以D选项正确，12.

对于A项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，，故A项错误；对于B项，根据椭圆以及双曲线的定义可得，所以，.在中，由余弦定理可得，即，整理可得，.所以有，即，故B项正确；对于C项，若，则为直角三角形，所以，，即，整理可得，，两边同时除以可得，，即，故C项正确；对于D项，由已知可得.所以，.令，则.因为，所以.又，所以有，所以有；，所以有，所以有.所以，.由对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以，，所以，，故D正确.13.5 14.5 15.4 16.（）13.设，则，可得，解得.14.根据题意，两条直线平行，必有，解可得则即，变形可得，又由两条平行直线间的距离为，则有，故，解之可得或，则时；时.15.圆的圆心坐标为，半径为，当横纵截距为零时，直线方程为，令，整理得，因为，所以方程有两个解，故当横纵截距为零时存在两条直线与圆相切；当横纵截距不为零时，设直线方程为，令，解得或9，所以横纵截距不为零时存在两条直线与圆相切，综上可得，存在4条截距相等的直线与圆相切.16.由题知，MN不与x轴重合，设直线MN的方程为，联立，消x整理得，，设、，则，.因为AM的方程为，AN的方程为两直线方程联立得：，因为.所以，解得.所以动点T的轨迹方程为（）.方程得到为关键.17.（1）在四面体中，，，.（2）如图所示：

因为，则，因为F是CD中点，则，于是.，所以.18.（1）因为，，，记，所以，且，，由空间向量的线性运算法则，可得.（2）当时，；所以可得，易知又可知.（3）假设存在使得平面，又平面，可知，，由（1）知，,可得.且化简得，解得，满足条件.故存在，使得平面.19.（1）由，得，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为.（2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，

此时由增大到，又，，所以的取值范围为，即直线CD的倾斜角的取值范围为.20.（1）根据题意设，则，化简可得；所以曲线的方程为.（2）易知圆的圆心为，半径为；如下图所示：

①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，显然圆心到直线的距离为，与半径相等，即直线与圆相切；所以此时切线方程为此时圆心关于切线的对称点为，此时曲线的方程为；②当过点的直线斜率存在时，不妨设斜率为，则切线方程为，即，又圆心到直线距离等于半径，即，解得，此时切线方程为.设圆心关于切线的对称点为，则可得，解得；此时曲线的方程为；综上可知，曲线关于直线对称的曲线的方程为或21.（1）设曲线的方程为，由曲线过，两点，得，解得，所以曲线的方程为.（2）由题意可设过点的直线方程为，由消去，得，则且，解得①设，则有②设直线的方程为，令得，所以直线与轴交点的坐标为，同理可得直线的方程为，令得，所以直线与轴交点的坐标为.由题意可知，所以，，整理得，所以，即所以③将②代入③得，整理得，解得满足①式，综上，.

22.（1）因为，所以，则，所以的标准方程为，因为点在上，所以，解得，从而，.所以的标准方程为.（2）易知点在的外部，则直线的斜率存