第04讲 二元一次方程组与一次函数、用二元一次方程组确定一次函数的表达式(5类热点题型讲练)（解析版）

第04讲二元一次方程组与一次函数、用二元一次方程组确定一次函数的表达式(5类热点题型讲练)1.会把二元一次方程转化成一次函数；培养学生数形结合的思想；2.会应用方程与函数的联系解决实际问题；3.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.知识点01二元一次方程组与一次函数的关系1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=02）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.知识点02二元一次方程组确定一次函数的表达式（待定系数法）1)点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。2)图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。题型01两直线的交点与二元一次方程组的解例题：（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知关于x的一次函数与的图象交于点，则方程组的解是．【答案】【分析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，据此求解．【详解】解：关于的一次函数与的图象交于点，方程组的解是．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【变式训练】1．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）一次函数的图象和的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程的解为．【答案】【分析】首先利用函数解析式计算出点坐标中的值，进而可得的坐标，然后可得二元一次方程组的解．【详解】解：一次函数的图象和的图象相交于点，，解得：，，二元一次方程组的解为，故答案为：．【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握两函数交点坐标就是两函数组成的方程组的解．2．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，则方程组的解是．【答案】【分析】方程组的解即为其所对应的一次函数交点的横纵坐标，据此即可解答．【详解】解：方程组即为，∵一次函数与图象的交点坐标是，∴方程组的解为：；故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的交点与对应的方程组的关系，明确方程组的解即为其所对应的一次函数交点的横纵坐标是解题的关键．题型02图象法解二元一次方程组例题：（2023春·山东泰安·七年级统考期中）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是．

【答案】【分析】由交点坐标，先求出，再求出方程组的解即可．【详解】解：∵的图象经过，∴，解得，一次函数与的图象相交于点，方程组的解是，故答案为．【点睛】本题考查一次函数图象的交点与方程组的解的关系，解题的关键在于对知识的熟练掌握．【变式训练】1．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）如图，一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是．

【答案】【分析】图象法解方程组即可．【详解】解：由图象可知，，∴二元一次方程组的解是故答案为：【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组．熟练掌握图象法解方程组，是解题的关键．2．（2023秋·安徽淮北·八年级校考期末）如图，一次函数与的图像相交于点，则关于的二元一次方程组的解是

【答案】【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标进行判断．【详解】解：把代入，得，解得，所以点坐标为，所以关于的二元一次方程组的解是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）的综合应用，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解题关键．题型03已知两直线求围成的图形面积例题：（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，求两条直线：与直线：的交点的坐标是，与轴围成的三角形的面积是．【答案】12【分析】联立两直线解析式解方程组即可得到交点坐标；求出两直线与轴交点间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：联立得，解得．所以，交点坐标为，令，则，解得，，解得，所以，两直线与轴交点之间的距离为，所以，两条直线和轴所围成的三角形的面积．故答案为：，12．【点睛】本题考查了两直线相交的问题，三角形的面积，第二问先求出两直线与轴的交点间的距离是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·云南保山·八年级校联考期末）如图，已知直线与直线．

(1)求两直线与轴的交点的坐标；(2)求的面积．【答案】(1)(2)2【分析】（1）把分别代入直线与直线，即可求解；（2）联立，求出点C的坐标，再根据，求出的长度，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）当时，，，∴；（2）联立，解得，即，∵，∴，∴的面积．【点睛】本题考查了一次函数图象与y轴的交点问题，直线的交点问题，直线与坐标轴围成的三角形的面积，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键．2．（2023春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，两直线交于点E．

(1)求出A，E两点的坐标；(2)求四边形的面积．【答案】(1)点A坐标为，点E坐标为(2)4【分析】（1）对于，当时求出x，即可得到点A的坐标，联立两个函数的解析式，求出方程组的解即可得出点E的坐标；（2）先求出点D、C的坐标，再利用面积的和差解答即可．【详解】（1）对于，当时，，解得，∴点A坐标为，联立，解得，∴点E坐标为；（2）对于，当时，，解得，∴点C坐标为，∴，当时，，∴点D坐标为，∴，∴．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、两个函数的交点等知识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．题型04利用两点求一次函数的解析式例题：（2023秋·广西崇左·八年级校考阶段练习）已知一次函数图象经过两点，求一次函数的解析式．【答案】【分析】利用待定系数法求函数解析式．【详解】解：设一次函数的解析式为，则，解得，∴一次函数的解析式为．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握利用待定系数法求解析式的方法是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）已知某一次函数的图像经过点，，求这个一次函数的解析式．【答案】【分析】将，代入求出k、b的值，再将k、b的值反回代入中，即可得到一次函数的解析式．【详解】将，代入，得，解得，∴一次函数的解析式为．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）已知是的一次函数，当时，；当时，；(1)求与的函数关系式？(2)若在（1）中函数图象上，求的值？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式即可；（2）将代入一次函数关系式中，求出值即可．【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，将时，；当时，代入，，解得：，与之间的函数关系式为．（2）解：∵在（1）中函数图象上，∴当时，，解得．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）将代入一次函数关系式求出值．题型05图形中求一次函数的解析式例题：（2023秋·四川绵阳·九年级统考开学考试）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，过点A作直线l将分成周长相等的两部分，则直线l的函数解析式为．

【答案】【分析】先利用确定，，则根据勾股定理计算出，直线l交于C点，设，由于直线l将分成周长相等的两部分，所以，解方程求出t得到，然后利用待定系数法求直线l的解析式．【详解】解：当时，，解得，∴，当时，，∴，∴，直线l交于C点，如图，设，

∵直线l将分成周长相等的两部分，∴，即，解得，∴，设直线l的解析式为，把，分别代入得，解得，∴直线l的解析式为．故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【变式训练】1．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，我国传统计重工具杆秤的应用方便了人们的生活．某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离厘米与秤钩所挂物体质量y千克之间的关系，进行了6次称重，下表为称重时所记录的一些数据．x41216242836y011.52.534根据表格中的数据，写出y关于x的函数表达式：．【答案】【分析】观察表中数据变化特征，设解析式，运用待定系数法、二元一次方程组求解．【详解】解：由表格知，y随x的增大而增大，设函数表达式为，则，解得∴，经检验，x，y其它组值也满足解析式．故答案为：【点睛】本题考查确定函数解析式，理解待定系数法、运用方程的思维求解是解题的关键．2．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于点，．直线恰好将分成两部分的面积比是，则．

【答案】或/或【分析】首先根据函数表达式求出，点的坐标，然后求出面积，然后根据的特点得知恒过点，然后根据题意可知与坐标轴或的交点坐标，进而可求的值．【详解】解：∵直线与轴、轴分别交于点，，当时，得，∴，，当时，得，解得：，∴，，∴，∵直线，当时，得，∴函数图像恒过点，∴，∵直线恰好将分成两部分的面积比是，∴或，当时，则，∴，∴，∵在直线上，

∴，当时，设点的纵坐标为，则，∴，∵在直线上，∴，解得：，∴，∵在直线上，∴，解得：，综上所述，或．故答案为：或．

【点睛】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，两条直线的交点问题，三角形的面积，运用了分类讨论的思想．掌握函数图像与坐标轴的交点坐标的确定方法是解题的关键．一、单选题1．（2023秋·甘肃武威·九年级统考开学考试）经过两点的一次函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据待定系数法求解即可【详解】设一次函数的解析式为,在直线上，，解得：，一次函数的解析式为故选择：C【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．2．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）直线与直线平行，下列说法不正确的是（

）A． B．直线与没有交点C．方程组无解 D．方程组有无穷多个解【答案】D【分析】根据一次函数图象的特征解答即可．【详解】解：A．两直线平行时，比例系数相等，，故正确，不符合题意；B．两直线平行，没有交点，故正确，不符合题意；C．两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故正确，不符合题意；D．两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，掌握当两直线平行时比例系数相等是解题关键．3．（2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）已知直线：与直线：交于点，则方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线解析式求出点C坐标，根据两函数交点坐标与方程组的解得关系即可求解．【详解】将代入得：，解得：，∴方程组的解是，故选B．【点睛】本题考查两函数的交点坐标与方程组的解的关系，掌握两函数的交点坐标与方程组的解是解题关键．4．（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知一次函数和的图像交于点，则根据图像可得关于的二元一次方程组的解是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两直线的交点的特点即可求解．【详解】解：∵一次函数和的图像交于点，∴点的横纵坐标是关于的二元一次方程组的解，即二元一次方程组得解为，故选：．【点睛】本题主要考查两条直线的交点与二元一次方程组的解的关系，理解图示，掌握两条直线的交点的特点是解题的关键．二、填空题5．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）直线关于y轴对称的直线的函数表达式为．【答案】【分析】先在直线找出两点：，，这两个点关于y轴的对称点是，，然后这两个点在直线关于y轴对称的直线的解析式：上，把，代入，解得：，，即可作答．【详解】解：先从直线y＝2x＋1上找出两点：，，这两个点关于y轴的对称点是，，那么这两个点在直线关于y轴对称的直线解析式：上，把，代入，得解得：，，则直线关于y轴对称的直线解析式为上，故答案为：．【点睛】本题要注意利用一次函数的特点，解决本题的关键是找到所求直线解析式中的两个点，这两个点是原直线解析式上的关于相应的坐标轴对称的点．6．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）已知一次函数与的图象都经过，且与y轴分别交于B，C，则的面积为．【答案】【分析】利用待定系数法求得a、b的值，进而求得点B，C的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：∵一次函数与的图象都经过，把代入得，，∴，∴一次函数解析式为，∴，把得，，∴，∴一次函数解析式为，∴，∴，∴，故答案为：6．

【点睛】本题考查两直线的交点问题、一次函数的图象上点的特征，通过已知点的坐标求函数解析式是解题的关键．7．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆市杨家坪中学校考期中）已知一次函数和的图象交点坐标为，则二元一次方程组的解为．【答案】【分析】根据两直线的交点即是方程组的解即可求解．【详解】解：由题意得：的解为，即的解为：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的综合，熟练掌握两直线的交点就是方程组的解是解题的关键．8．（2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，现将直线绕点按逆时针方向旋转交轴于点，则点的坐标是．

【答案】【分析】过作轴于，过作，证明是等腰直角三角形，则有，再通过角度的和差，证明，根据性质得出点，最后通过待定求出直线的函数表达式即可．【详解】解：如图，过作轴于，过作，交直线于D，作轴于，

∵，，∴，，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，设直线的函数表达式为：，把，代入得，解得，∴直线的函数表达式为：，令，则，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了一次函数与几何变换，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题9．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C．(1)求点C的坐标；(2)在直线上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点C的坐标为(2)存在；点M的坐标为或【分析】（1）联立两直线解析式成方程组，解方程组即可求解；（2）先求出，设，当M在x轴下方时的面积是面积的2倍，的面积等于的面积，；当M在x轴上方时的面积是面积的2倍，的面积等于的面积的3倍，；即可求解．【详解】（1）解：联立两直线解析式成方程组，得：，解得：，∴点C的坐标为；（2）解：存在；当时，有，解得：，∴点A的坐标为，∴，∴，设，当M在x轴下方时，∵的面积是面积的2倍，∴的面积等于的面积，∴，解得：，∵点在直线上，∴，解得：，∴；当M在x轴上方时，∵的面积是面积的2倍，∴的面积等于的面积的3倍，∴，∴，∵点在直线上，∴，解得：，∴；综上所述，点M的坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，面积的计算，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．10．（2023·四川甘孜·统考中考真题）某次气象探测活动中，在一广场上同时释放两个探测气球．1号探测气球从距离地面5米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球距离地面的高度y（单位：米）与上升时间x（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)求y关于x的函数解析式；(2)探测气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度？此时它们距离地面多少米？【答案】(1)(2)探测气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米【分析】（1）设关于的函数解析式为，将点代入计算即可得；（2）先求出1号气球上升分时，高度为米，再根据两个气球位于同一高度建立方程，解方程即可得．【详解】（1）解：由题意，设关于的函数解析式为，将点代入得：，解得，则关于的函数解析式为．（2）解：由题意可知，1号气球上升分时，高度为米，则，解得，此时，答：探测气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．11．（2023春·河南鹤壁·八年级统考期中）已知一次函数的图像经过点，．(1)求这个一次函数的表达式；(2)求出该函数图像与x轴、y轴的交点坐标.(3)通过计算判断点在不在该函数的图像上.【答案】(1)(2)该函数与轴的交点坐标为；该函数与轴的交点坐标为(3)不在该函数的图像上，理由见解析【分析】（1）设这个一次函数的表达式为，将，代入，利用待定系数法求解；（2）分别令和即可；（3）将代入解析式，看函数值是否是6即可．【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为，把点，代入得：，解得：，∴这个一次函数的表达式为：；（2）解：把代入得：，解得：，∴把代入得：，∴该函数与轴的交点坐标为，该函数与轴的交点坐标为；（3）解：当时，，∴不在该函数的图像上．【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，能够利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．12．（2023秋·四川成都·九年级校考阶段练习）如图所示，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点、，直线、交于点C．

(1)求点D的坐标和直线的解析式；(2)求的面积；(3)在直线上存在异于点C的另一点P，使得，请直接写出点P的坐标．【答案】(1)，；(2)；(3)8或0；【分析】（1）把代入解答即可得到点D的坐标；利用待定系数法把点、，代入解答即可得到直线的解析式；（2）根据方程组解得点C的坐标，再根据三角形的面积公式，即可得到的面积；（3）根据直线的解析式求得，解方程组得到，设，根据列方程即可得到结论．【详解】（1）解：当时，，解得：，∴D点坐标为，设直线的解析式为，把、代入得，解得，∴直线的解析式为；（2）解：解方程组得，∴C点坐标为，∴；（3）解：设，∵，∴，解得：或0，∴点P的坐标或；【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数焦点问题及面积问题，解题的关键是根据面积关系列等式．13．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，直线：与直线：相交于点，与轴分别交于，两点．(1)求，的值，并结合图像写出关于，的方程组的解；(2)求的面积；(3)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，若线段的长为，直接写出的值．【答案】(1)，，，的方程组的解为(2)的面积为(3)或【分析】（1）把点代入可求出的值，再代入可求出的值，最后解方程组即可求解；（2）由（1）求出，两条直线的解析式，由此及求出的长，的高，由此即可求解；（3）求出点为与点为，可求出，根据，结合绝对值的性质即可求解．【详解】（1）解：把点代入，得，，把点代入，得，∴，∵直线：与直线：相交于点，∴方程组的解为．（2）解：∵：，：，∴，，，设到轴的距离为，且，∴．（3）解：直线与直线的交点为与直线的交点为．∵，∴，即，∴或，∴或．【点睛】本题主要考查一次函数图形的性质，两条直线相交的图形变换，与坐标轴的交点的综合，掌握一次函数的特点，解二元一次方程组是解题的关键，14．（2023