专题14 因式分解重难点题型专训（13大题型）（解析版）

专题14因式分解重难点题型专训（13大题型）【题型目录】题型一判断是否是因式分解题型二已知因式分解的结果求参数题型三公因式题型四提公因式法分解因式题型五判断能否用公式法分解因式题型六运用平方差公式分解因式题型七运用完全平方公式分解因式题型八综合运用公式法分解因式题型九综合提公因式和公式法分解因式题型十因式分解在有理数简算中的应用题型十一十字相乘法题型十二分组分解法题型十三因式分解的应用【知识梳理】知识点一、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.知识点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.知识点三、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点四、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点五、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.知识点六、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.知识点七、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组

③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项

二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式知识点八：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.知识点九：因式分解的解题步骤因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【经典例题一判断是否是因式分解】1．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）下列因式分解，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式是解题的关键．根据提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式对各选项进行判断作答即可．【详解】解：，错误，故A不符合要求；，正确，故B符合要求；，错误，故C不符合要求；，错误，故D不符合要求；故选：B．2．（2023下·陕西宝鸡·七年级校联考期末）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、，故该选项符合题意；B、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式（含有分式），不是因式分解，故此选项不符合题意；D、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查因式分解，这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．3．（2023下·浙江宁波·七年级统考期中）下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可．【详解】解：、，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；、，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；、，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；、，从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意．故选：．【点睛】此题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，解题的关键是正确理解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4．（2023下·宁夏银川·八年级校考期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据因式分解的概念逐项判断即可．【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；B．右边是最简整式的乘积形式，故符合题意；C．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；D．分解错误，故不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式．5．（2023下·福建宁德·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的定义依次进行计算判断即可．【详解】、，等号的右侧不是积的形式，不是因式分解，不符合题意，排除；、，是整式的乘法，不符合题意，排除；、，是整式的乘法，不合题意，排除；、，符合因式分解的定义，符合题意；故选：．【点睛】此题考查了因式分解解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．【经典例题二已知因式分解的结果求参数】1．（2023下·山东枣庄·八年级统考阶段练习）已知多项式可以分解为，则x的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值．【详解】解：根据题意可得：，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难．2．（2021下·甘肃兰州·八年级校考期中）若是多项式因式分解的结果，则的值为（

）．A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】先计算，由即可求得的值．【详解】解：，由题意得，，，，故选：C．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键．3．（2023下·安徽合肥·七年级统考期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为．【答案】9【分析】把展开，求出、的值，计算即可．【详解】解：，，，，，故答案为：9．【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算．4．（2023下·全国·八年级期中）若关于的二次三项式的因式是和，则的值是．【答案】2【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可．【详解】解：由题意得：，．故答案为：2．【点睛】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．5．（2023上·湖南怀化·八年级校考开学考试）【例题讲解】因式分解：．为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：，恒成立．等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即，解得，．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】(1)若，则________；(2)若有一个因式是，求的值及另一个因式．【答案】(1)(2)，【分析】（1）将展开，再根据题干的方法即可求解；（2）设多项式另一个因式为，利用题干给出的待定系数法求解即可．【详解】（1）∵，∴，∴，故答案为：；（2）设多项式另一个因式为，则，，，，，，即另一个式子为：．【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键．【经典例题三公因式】1．（2022上·山东威海·八年级统考期中）多项式的公因式是，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．2．（2023下·湖南娄底·七年级统考期中）下列各组多项式中，没有公因式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可．【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意；、，，有公因式，此选项不符合题意，排除；、与有公因数，此选项不符合题意，排除；、，，有公因式，此选项不符合题意，排除；故选：．【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．3．（2023下·江苏南京·七年级南京市第一中学校考阶段练习）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键．4．（2021下·浙江·七年级期中）单项式与的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式；【详解】与的公因式是，故选：D．【点睛】本题考查了公因式：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．5．（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）下列各式中，没有公因式的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】B【分析】根据公因式的定义逐一分析即可．【详解】解：A、，与有公因式，故本选项不符合题意；B、与没有公因式，故本选项符合题意；C、与有公因式，故本选项不符合题意；D、与有公因式，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了公因式的含义，熟记公因式的定义与公因式的确定是解题的关键．【经典例题四提公因式法分解因式】1．（2023下·河北邯郸·八年级统考期末）将多项式因式分解，结果为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先提取公因式，再对余下的项进行合并，整理，然后观察，如果能够分解的一定要分解彻底，如果不能分解，就是最后的结果．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查用提公因式法进行因式分解的能力，难点在于把看作一个整体．2．（2023下·浙江·七年级校联考期中）若多项式，则是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】提取公因式后剩下的各项的和就是所要求的的值．【详解】解：，∴，故选：C．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的解答过程，要灵活运用符号的变换．3．（2023上·辽宁沈阳·九年级东北育才双语学校校考阶段练习）已知，，则．【答案】【分析】将因式分解，再将，代入进行计算即可．【详解】解：根据题意可得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤．4．（2022上·河北邢台·八年级邢台三中校考开学考试）如图，长和宽分别为，的长方形的周长为，面积为，则的值为；

【答案】【分析】根据长方形周长和面积的公式得到，，再将因式分解等于，再代入求值即可．【详解】解：长方形的长和宽分别为，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，掌握因式分解的方法是解答本题的关键．5．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为(1)直接写出a、b的值：，．(2)这道除法计算的正确结果是；(3)若，，计算（2）中代数式的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查了整式的乘法和除法以、因式分级以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是关键．（1）按题意将除法运算改成乘法，计算，将乘积与对应系数相等，即可求出答案；（2）根据多项式除以单项式法则计算即可；（3）先将提公因式，再将，代入即可．【详解】（1）解：由题意，，∴，解得，，故答案为：；（2）由题意，得，故答案为：；（3）∴原式．【经典例题五判断能否用公式法分解因式】1．（2023下·四川成都·八年级统考期末）下列多项式不能进行因式分解的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据因式分解的方法，注意判断，即可解答．【详解】解：利用完全平方公式，可得，故A不符合题意；无法因式分解，故B符合题意；利用完全平方公式，可得，故C不符合题意；利用平方差公式，可得，故D不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解题的关键．2．（2022下·七年级单元测试）下列各式中，不能在实数范围内分解因式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用提公因式法和公式法逐一进行因式分解，即可得到答案．【详解】解：A、，能分解因式，不符合题意，选项错误；B、，不能分解因式，符合题意，选项正确；C、，能分解因式，不符合题意，选项错误；D、，能分解因式，不符合题意，选项错误，故选：B．【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．3．（2022下·江苏淮安·七年级校考期中）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（

）A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2【答案】C【分析】根据平方差公式判断即可；【详解】A．不能运用平方差公式分解，故此选项错误；B．不能运用平方差公式分解，故此选项错误；C．能运用平方差公式分解，故此选项正确；D．不能运用平方差公式分解，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式是解题关键．4．（2021下·湖南张家界·七年级统考期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式的特点判断即可；【详解】不能用完全平方公式，故A不符合题意；不能用完全平方公式，故B不符合题意；，能用完全平方公式，故C符合题意；不能用完全平方公式，故D不符合题意；故答案选C．【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键．5．（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据完全平方公式特点，即可判断出答案．【详解】解：A．可明显看出只有两项，不能用完全平方公式分解因式，所以A不符合题意；B．有三项，并且有两项是平方项，中间项符合倍乘积，能用完全平方公式分解因式，所以B符合题意；C．有三项，并且两个平方项都是正的，但是中间项不符合倍乘积，不能用完全平方公式分解因式，所以C不符合题意；D．有三项，并且两个平方项是正的，中间项不符合倍乘积，不能用完全平方公式分解因式，所以D选项不符合题意．故答案选D．【点睛】本题考查利用完全平方公式进行因式分解，做这样的题目首先看一下多项式是否有三项，然后找到两个平方项并确保符号都是正的，最后验证最后一项是否符合倍乘积即可．【经典例题六运用平方差公式分解因式】5．（2023下·湖南永州·七年级校考期中）下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平方差公式逐项验证即可得到答案．【详解】解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；B、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；C、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；D、，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．2．（2023下·湖南永州·七年级校联考期中）已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17【答案】D【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之间的哪两个整数整除.【详解】∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除.故选D.【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键.3．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）已知，则代数式的值为．【答案】【分析】先根据平方差公式分解因式，再整体代入，即可求出答案．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．4．（2023下·贵州黔西·八年级校考阶段练习）在实数范围内分解因式：．【答案】【分析】先利用完全平方公式进行配方，再根据平方差公式进行因式分解即可.【详解】解：.故答案为：.【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握用公式法进行因式分解是解题的关键，实数范围内的因式分解技巧：若，则.5．（2020上·上海浦东新·八年级校考阶段练习）在有理数范围内因式分解．【答案】【分析】根据平方差公式分解因式即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，掌握是解题的关键．【经典例题七运用完全平方公式分解因式】1．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）已知，则代数式的值是（）A．0 B．1 C．4 D．6【答案】D【分析】根据代数式的形式，构造出完全平方公式进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．2．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）若，都是有理数，且，则(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出与的值，然后代入所求式子进行计算即可．【详解】解：∵∴∴∴，解得：，∴故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．3．（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）已知，且满足两个等式，则的值为．【答案】4【分析】由等量代换可得，可得，从而可得答案．【详解】解：∵，∴∴∴∴∵则∴则∴故答案为：4．【点睛】本题考查的是因式分解的应用，掌握“提公因式与利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键．4．（2023上·山东潍坊·八年级统考阶段练习）已知，，，则代数式的值是．【答案】【分析】由题意得到，，，再把要求的代数式用完全平方公式进行因式分解，整体代入即可得到答案．【详解】∵，，，∴，，，∴，，，，故答案为：．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式进行因式分解是解题的关键．5．（2023上·四川资阳·八年级四川省乐至中学校考期中）观察下列分解因式的过程：解：原式像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．(1)请你运用上述配方法分解因式：；(2)已知的三边长都是正整数，且满足，求周长的最大值．【答案】(1)(2)13【分析】（1）原式利用完全平方公式变形后分解，再利用平方差公式分解即可；（2）运用配方法，求出a、b，再根据三角形的三边关系求出c即可求解．【详解】（1）解：（2）解：，，根据三角形的三边关系可得：，，的三边长都是正整数，，周长的最大值为：【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【经典例题八综合运用公式法分解因式】1．（2022上·八年级单元测试）将分解因式，所得结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可．【详解】解：．故选D．【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键．2．（2022上·天津东丽·八年级统考期末）下列分解因式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，且每一个整式不能再分解．根据提公因式法、公式法分解因式，即可获得答案．【详解】解：A.，正确，符合题意；B.，故该选项因式分解错误，不符合题意；C.，不能再分解，故该选项错误，不符合题意；D.，故该选项因式分解错误，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．3．（2022上·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）在实数范围内因式分解：．【答案】【分析】先在实数范围内提公因式得：，然后利用配方法以及平方差公式将括号里的进行因式分解变形得出答案【详解】=====故答案为：【点睛】本题主要考查了因式分解的基本方法，熟练掌握相关方法是解题关键．4．（2022上·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式．【答案】【分析】将化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用．5．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）请将下列式子进行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．（1）将原式提公因式后利用平方差公式因式分解即可；（2）利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可．【详解】（1）原式（2）原式【经典例题九综合提公因式和公式法分解因式】1．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）下列各式不是因式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】题目主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，将原式分解因式，判断即可．【详解】解：原式．∴，，是原多项式的因式，不是的因式，故选A．2．（2023·浙江宁波·九年级效实中学校联考自主招生）已知，的值有（）A．1个 B．2个C．大于2个但有限 D．无数个【答案】B【分析】先把已知等式的常数项移到等号右侧得①，然后求得②，再把①②相加，进行分解因式，再利用平方数的非负性进行解答即可．【详解】解：∵，∴①，∵②，得：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，综上可知：的值有2个，为或2，故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解，差的立方公式，立方和公式，完全平方公式，实数的非负性，熟练掌握掌握公式，灵活分解因式，活用非负性是解题的关键．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）把多项式分解因式的结果是．【答案】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解即可；【详解】解：，故答案为：．【点睛】该题主要考查了分解因式，解题的关键是掌握分解因式的方法，分解因式的主要方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法．4．（2023上·上海长宁·七年级上海市复旦初级中学校考期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到：即：，我们把这个公式叫做立方和公式，同理：，我们把这个公式叫做立方差公式，请利用以上公式分解因式：【答案】【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用立方差公式即可求解．【详解】解：，故答案为：．5．（2023上·四川内江·八年级校考期中）已知，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)37(2)150【分析】（1）利用完全平方式的变形进行求解即可；（2）先对所求的代数式分解因式为，然后根据已知进行求解即可．【详解】（1）解：∵，，则（2）【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．【经典例题十因式分解在有理数简算中的应用】1．（2023上·河北邢台·八年级统考期末）计算的值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式，，，，故选：C．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．2．（2020上·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知，则的值是（

）A．0 B．1 C．-2 D．-1【答案】D【分析】先对进行变形，可以解出a，b的关系，然后在对进行因式分解即可．【详解】∵，∴，，，∴，，∴故选：D．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键．3．（2023上·广东广州·八年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）计算：．【答案】/【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可．【详解】解：原式=，故答案为：．【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算．4．（2023下·辽宁本溪·八年级统考期末）若，，则计算的结果为．【答案】2022.5【分析】先提公因式，再用平方差公式进行计算即可．【详解】．故答案为：2022.5．【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解进行简便运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．5．（2023下·湖南永州·七年级统考期中）利用因式分解计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方差公式进行求解即可；（2）根据完全平方公式进行求解即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键．【经典例题十一十字相乘法】1．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如果多项式能被整除，那么的值是（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】由于，而多项式能被整除，则能被整除．运用待定系数法，可设商是A，则，则和时，，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值.【详解】解：∵，∴能被整除，设商是A．则，则和时，右边都等于0，所以左边也等于0．当时，①当时，②，得，∴，∴．∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出和时，原多项式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．2．（2023上·河北保定·九年级校考开学考试）若分解因式则的值为（

）A． B．5 C． D．2【答案】D【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可．【详解】解：已知等式整理得：，可得，，解得：，，故答案为：D．【点睛】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2020上·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考期中）因式分解：．【答案】【分析】利用“十字相乘法”进行因式分解即可得出答案．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】此题主要考查因式分解，熟练掌握“十字相乘法”是解答此题的关键．4．（2023·山东威海·统考二模）甲、乙两人在对进行因式分解时，甲看错了a，得到的结果为；乙看错了b，得到的结果为，则因式分解的正确结果为．【答案】【分析】根据因式分解的恒等性，根据确定b的值，根据题意，，确定正确的a值，后重新因式分解即可．【详解】∵甲看错了a，得到的结果为；乙看错了b，得到的结果为，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的看错项问题，熟练掌握因式分解的意义是解题的关键．5．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）阅读理解：在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现年级上教材第页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到；(1)松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成，那么松松应该将二次三项式如何分解呢？______；(2)南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：；(3)在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧：．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（）根据题意中十字相乘的方法即可求解；（）先提“”，再用十字相乘的方法即可求解；（）用十字相乘的方法即可求解；此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用．【详解】（1）二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到，故答案为：（2），；（3），，，，．【经典例题十二分组分解法】1．（2023下·浙江宁波·七年级统考阶段练习）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（

）A．28 B．43 C．76 D．78【答案】C【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案．【详解】解：∵，∴∴∴，∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大，∴当时，；当时，，∴的最大值为76，故选：C．【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式．2．（2022上·八年级单元测试）已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知可以得，之后进行整式乘法计算即可求解本题．【详解】解：设，∵，∴，解得，∴．故选：A．【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键．3．（2023·江西吉安·统考三模）分解因式：=．【答案】【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．4．（2022上·上海·七年级专题练习）当时，代数式【答案】【分析】原式先提取x，再分组，利用因式分解，代入数值即可求解．【详解】解：∵，，∴．故答案为：0．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握分组分解法以及提公因式法分解因式是解题的关键．5．（2023上·全国·八年级专题练习）阅读下列文字与例题，并解答：将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．原式(1)试用“分组分解法”因式分解：(2)已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立．①当时，求的值；②当时，用含的代数式分别表示、、（直接写出答案即可）．【答案】(1)(2)①；②，【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．（1）根据因式分解分组分解法分解即可；（2）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可．【详解】（1）解：；（2）解：①当时，得，，，；②当时，，，，，，即，，，，，由得，得，，，即，，，，，又由，，得，即，，即，或，，或，又，则，，．【经典例题十三因式分解的应用】1．（2023上·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）若将多项式因式分解为，则的值为（）A．0 B． C．1 D．1或【答案】B【分析】利用多项式乘多项式的法则计算，求出的值，再代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查因式分解的应用．熟练掌握多项式乘多项式的法则，求出求出的值，是解题的关键．2．（2023下·四川达州·七年级校联考期中）若，，，则多项式的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据，，，可以得到，，的值，然后将所求式子变形，然后将，，的值代入变形后的式子计算即可．【详解】，，，，，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键时明确题意，利用完全平方公式解答．3．（2023下·浙江宁波·七年级校考期中）下列说法正确的是．①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②无论k取任何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；③已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则a的值是0.5；④若，，则．【答案】①③【分析】利用平行公理对①判断；利用平方差公式的特点对②分析；③解方程组求得x、y的值，代入即可求得a的值；④利用幂的乘方，完全平方公式即可求解．【详解】解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；②当k为负值时，多项式不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；③解方程组，得，把代入得：，解得：，故本选项正确；④∵，∴，∴，故本选项不正确；综上正确的说法是①③．故答案为：①③．【点睛】本题考查了平行公理、因式分解、二元一次方程组的解以及幂的乘方等知识点，熟练掌握相关性质定理及运算法则是解题的关键．4．（2023上·福建厦门·八年级校考期末）对于二次三项式（为常数），有下列结论：①若，且，则；②若，则；③若，则无论为何值，；④若，且，其中为整数，则可能的取值有8个．其中正确的是．（只填写序号）【答案】②④/④②【分析】根据完全平方公式以及十字相乘法因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可．【详解】解：①若，且，则有，∴，故说法①错误；②若，∴，∴，∴，故说法②正确；③若，则，则，∵，∴，故说法③错误；④若，且，则，∴，∵为整数，∴或或或或或或或，∴或或或或或或或共种，故说法④正确，故答案为：②④．【点睛】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，十字相乘法因式分解等知识点，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键．5．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且．

(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为(2)小明想要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要边长为m的大正方形个，边长为n的小正方形个，长为m、宽为n的小长方形个；(3)动手操作：数学活动小组准备了足够数量的与小明裁剪出的边长为m的大正方形、边长为n的小正方形、长为m、宽为n的小长方形相同的图片若干，请你也利用这些图片拼图分解因式：．（画出拼图的示意图，并在图中标出适量的与m，n有关的信息，完成因式分解）(4)拓展：若每块小长方形的面积为12，三个大正方形和三个小正方形的面积和为75，试求的值．【答案】(1)(2)1，2，3(3)图见解析；(4)【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形在图形面积中的应用，（1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解；（2）根据多项式乘多项式法则将展开为，进而求解即可；（3）根据题意画出图形，进而因式分解即可；（4）根据题意得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可．熟练运用完全平方公式和数形结合思想通过两种方法表示纸板面积是解题的关键．【详解】（1）根据题意可得，大矩形面积可以表示为，也可以表示为，∴∴代数式可以因式分解为；（2）根据题意可得，∴需要边长为m的大正方形1个，边长为n的小正方形2个，长为m、宽为n的小长方形3个；（3）依据拼图，

∴；（4）由题意得：，

∴∴，∴∴又∵，∴．【重难点训练】1．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）下列各式不是因式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】题目主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，将原式分解因式，判断即可．【详解】解：原式．∴，，是原多项式的因式，不是的因式，故选A．2．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）下列因式分解，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式是解题的关键．根据提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式对各选项进行判断作答即可．【详解】解：，错误，故A不符合要求；，正确，故B符合要求；，错误，故C不符合要求；，错误，故D不符合要求；故选：B．3．（2023上·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别对各项因式分解，再逐一判断即可．【详解】解：A.，不符合题意；B.，原来分解错误，不符合题意；C.，不符合题意；D.，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．4．（2023上·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）若将多项式因式分解为，则的值为（）A．0 B． C．1 D．1或【答案】B【分析】利用多项式乘多项式的法则计算，求出的值，再代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查因式分解的应用．熟练掌握多项式乘多项式的法则，求出求出的值，是解题的关键．5．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如果多项式能被整除，那么的值是（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】由于，而多项式能被整除，则能被整除．运用待定系数法，可设商是A，则，则和时，，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值.【详解】解：∵，∴能被整除，设商是A．则，则和时，右边都等于0，所以左边也等于0．当时，①当时，②，得，∴，∴．∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出和时，原多项式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．6．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）已知，则代数式的值是（）A．0 B．1 C．4 D．6【答案】D【分析】根据代数式的形式，构造出完全平方公式进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．7．（2023上·山东济南·八年级校考期中）分解因式：．【答案】【分析】先提取公因数m，然后再运用平方差公式因式分解即可；灵活运用提取公因式法和公式法因式分解成为解答本题的关键．【详解】解：．故答案为．8．（2022上·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）已知正方形的面积是，则正方形的边长是．【答案】【分析】首先利用完全平方公式进行因式分解，即可得到正方形的边长．【详解】解：∵，，∴正方形的边长为，故答案为：．【点睛】此题主要考查了因式分解法的应用，解题的关键是利用完全平方公式进行因式分解，从而得到正方形的边长．9．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）若为自然数，且与都是一个自然数的平方，则的值为．【答案】或【分析】本题考查了因式分解的应用，设这两个自然数为和，列出代数式并进行因式分解，求出和的值，最后代入或中，即可求出的值．【详解】解：设，∴，∵，∴，∵和都是自然数，∴，解得：∴∴或，故答案为：或．10．（2023上·广东广州·八年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）计算：．【答案】/【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可．【详解】解：原式=，故答案为：．【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算．11．（2022下·浙江杭州·七年级校考期末）的三边长a、b、c满足，，则的周长等于．【答案】14【分析】首先利用c表示出b，代入已知的第二个式子中，整理后配方，然后根据非负数的性质即可求出a与c的值，进而求出b的值，得到三角形的周长．【详解】解：，，把代入得：，整理得：，配方得：，即且，解得：，，，则的周长等于；故答案为：14．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质：偶次方，此题的技巧性比较强，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键．12．（2023上·上海长宁·七年级上海市复旦初级中学校考期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到：即：，我们把这个公式叫做立方和公式，同理：，我们把这个公式叫做立方差公式，请利用以上公式分解因式：【答案】【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用立方差公式即可求解．【详解】解：，故答案为：．13．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）分解因式：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接提取公因式分解即可；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．14．（2023上·山东济南·八年级校考期中）因式分解(1)(2)利用因式分解计算.已知:，，求的值．【答案】(1)(2)36【分析】（1）直接提取公因式即可解答；（2）先根据平方差公式、完全平方公式进行因式分解，然后再将，代入计算即可解答．【详解】（1）解：．（2）解：．【点睛】本题主要考查了提取公因式因式分解、公因式法因式分解的应用等知识点，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键．15．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且．

(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为(2)小明想要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要边长为m的大正方形个，边长为n的小正方形个，长为m、宽为n的小长方形个；(3)动手操作：数学活动小组准备了足够数量的与小明裁剪出的边长为m的大正方形、边长为n的小正方形、长为m、宽为n的小长方形相同的图片若干，请你也利用这些图片拼图分解因式：．（画出拼图的示意图，并在图中标出适量的与m，n有关的信息，完成因式分解）(4)拓展：若每块小长方形的面积为12，三个大正方形和三个小正方形的面积和为75，试求的值．【答案】(1)(2)1，2，3(3)图见解析；(4)【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形在图形面积中的应用，（1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解；（2）根据多项式乘多项式法则将展开为，进而求解即可；（3）根据题意画出图形，进而因式分解即可；（4）根据题意得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可．熟练运用完全平方公式和数形结合思想通过两种方法表示纸板面积是解题的关键．【详解】（1）根据题意可得，大矩形面积可以表示为，也可以表示为，∴∴代数式可以因式分解为；（2）根据题意可得，∴需要边长为m的大正方形1个，边长为n的小正方形2个，长为m、宽为n的小长方形3个；（3）依据拼图，

∴；（4）由题意得：，

∴∴，∴∴又∵，∴．16．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）综合与实践某数学兴趣小组开展综合实践活动发现：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如，已知多项式有一个因式是，求m的值．小安的求解过程如下：解：由题意设（A为整式），由于上式为恒等式，为了方便计算，取，则，解得：①________．(1)补全小安求解过程中①所缺的内容；(2)若，求的值；(3)若多项式有因式和，求m，n的值．【答案】(1)24(2)(3)，【分析】本题考查因式分解的应用，利用等式的性质，和特殊值法进行求解，是解题的关键．（1）解方程即可；（2）取，和，两个特殊值进行计算即可；（3）设，分别取和，得到的二元一次方程组，进行计算即可．【详解】（1）∵解得：24；故