第六章 平行四边形 章末检测卷（教师版）

第六章平行四边形章末检测卷姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023·北京房山·统考一模）如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据多边形的外角和等于解答即可．【详解】解：由多边形的外角和等于可知，，故选：B．【点睛】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．2．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）A．对边相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．对角互补【答案】D【分析】直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．【详解】解：平行四边形对边相等，故A正确，不合题意；平行四边形的邻角互补，故B正确，不合题意；平行四边形对角线互相平分，故C正确，不合题意；平行四边形对角不一定互补，故D错误，符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．3．（2023春·广东韶关·八年级统考期中）如图，在中，已知，，平分交边于点E，点、分别是、的中点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则，再证明是的中位线，则．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵点F，点分别是、的中点，∴是的中位线，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形中位线定理，由角平分线和平行得出是等腰三角形再求出是解题的关键．4．（2023春·湖北荆州·八年级统考期中）如图，四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（

）A． B．C． D．，【答案】D【分析】利用平行四边形的定义及判定方法逐一分析即可得到答案．【详解】解：∵，，而四边形的内角和为，∴，∴，，∴四边形是平行四边形；故A不符合题意；∵，，∴四边形是平行四边形；故B不符合题意；∵，，∴四边形是平行四边形；故C不符合题意；∵，，∴不能判定四边形是平行四边形；故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定方法，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键．5．（2023春·山西·九年级专题练习）已知一个正多边形的每个外角的度数都是，则该多边形的对角线条数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】据正多边形的外角和定理，解求出多边形的边数，根据多边形顶点引对角线的公式由此即可求解．【详解】解：∵正多边形的每个外角都等于，∴，∴这个正多边形是正边形，如图所示，∴（条），∴这个正多边形的对角线是条．故选：．【点睛】本题主要考查正多边形的性质，对角线的条数的计算方法，掌握正多边形的外角和定理，顶点引对角线的公式是解题的关键．6．（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，位于第一象限中，已知顶点、的坐标分别为，，则顶点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出，结合坐标系即可求解．【详解】解：∵位于第一象限中，顶点、的坐标分别为，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．7．（2022·常熟市八年级月考）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（）A．150° B．40° C．80° D．90°【答案】C【分析】可证明△BCF≌△DAE，则∠BCF＝∠DAE，根据三角形外角的性质可得出∠DAE的度数，从而得出∠BCF的度数．【详解】解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，∵AE∥CF，∴∠CFB＝∠AED，∴△BCF≌△DAE，∴∠BCF＝∠DAE，∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，∴∠BCF＝80°故选：C．【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．8．（2022·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（）A．5 B．2 C．2 D．3【答案】D【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90º，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60º，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60º，∵DH⊥BC，∴∠DHC=90º，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，∴，∵四边形BCEF是平行四边形，∴AD=BC=EF，AD∥EF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，AF=DE=1，∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．9．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，点P是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②如果，则；③若，则；④如果P点在对角线上，则；⑤若，则P点一定在对角线上；其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得，，设点到，，，的距离分别是，，，，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出，判断④；最后根据已证关系式，得出，，判断⑤，综合即可得出答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，．设点到，，，的距离分别是，，，，点C到的距离分别为，则，，，．∵，，∵，∴，故①正确；根据只能判断，不能判断，即不能判断，故②错误；根据，能得出，不能得出，即不能判断，故③错误；∵点在对角线上，∴，，∴，故④正确；由和，得，，∴，∴，∴点一定在对角线在上，故⑤正确，综上所述，正确的结论是①④⑤．故选C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键．10．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由点F是AD的中点，结合ABCD的性质，得FD=CD，即可判断①；先证∆AEF≅∆DHF，再证∆ECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x，则∠H=x，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，进而得到，即可判断④．【详解】∵点F是AD的中点，∴2FD=AD，∵在ABCD中，AD=2AB，∴FD=AB=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∴∠DCF=∠BCF，即：，∴①正确；∵AB∥CD，∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，又∵AF=DF，∴∆AEF≅∆DHF（AAS），∴EF=HF，∵，∴CE⊥CD，即：∆ECH是直角三角形，∴=EH，∴②正确；∵EF=HF，∴∵，CE⊥CD，垂足在线段上，∴,∴,∴，∴③错误；设∠AEF=x，则∠H=x，∵在Rt∆ECH中，CF=FH=EF，∴∠FCH=∠H=x，∵FD=CD，∴∠DFC=∠FCH=x，∵点F，G分别是EH，EC的中点，∴FG∥CD∥AB，∴∠AEF=∠EFG=x，∵EF=CF，∴∠EFG=∠CFG=x，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，∴．∴④正确．故选C．【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2023·北京海淀·统考一模）如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________．【答案】（答案不唯一）【分析】先求得，在根据点的不同位置，求得的取值范围，从而得解．【详解】解：∵六边形是正六边形，∴，，当点在点处时，∵，，∴，当点在点处时，延长交的延长线于点，∵，，∴，∴，∴是正三角形，∴，∵，，∴即，∴是正三角形，∴，∴，故答案为（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键．12．（2022·长春市九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．【答案】12【分析】作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据是边的中点可知是的中位线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果．【详解】如图示，作交BC于H点，交DE于I点，∵∴∵是边的中点，，∴是的中位线，∴，又∵，即有，∴，∴，∴，故答案为：12．【点睛】本题考查三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．13．（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期中）如图，若直线，A，D在直线m上，B，E在直线n上，，，，的面积为6，则直线m与n之间的距离为______．【答案】4【分析】先根据平行四边形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形的面积公式即可得．【详解】解：直线，，四边形是平行四边形，，，，设直线与之间的距离为，的面积为6，，解得，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．14．（2022·云南昆明市·九年级月考）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于度【答案】30【分析】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD=120°，然后把∠ABD减去90°得到∠ABC的度数．【详解】解：如图，∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，∴六边形花环为正六边形，∴∠ABD==120°，而∠CBD=∠BAC=90°，∴∠ABC=120°-90°=30°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（n-2）•180°（n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°．15．（2022·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．【答案】48【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．【详解】解：设BC＝x，CD＝y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD的周长为40，∴x＋y＝20，∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y，得方程组：，解得：∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．故答案为：48．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得到方程，再解方程组即可．16．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．【答案】10或14或10【分析】利用BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，以及平行关系，分别求出、，通过和是否相交，分两类情况讨论，最后通过边之间的关系，求出的长即可．【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，，BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，，，，，由等角对等边可知：，，情况1：当与相交时，如下图所示：，，，情况2：当与不相交时，如下图所示：，，故答案为：10或14．【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质，熟练运用平行关系+角平分线证边相等，是解决本题的关键，还要注意根据和是否相交，本题分两类情况，如果没考虑仔细，会漏掉一种情况．17．（2022·山东八年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别在CD和BC的延长线上，，，则______．【答案】8【分析】证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=CD＝，，过点E作EH⊥BF于H，证得CH=EH，利用勾股定理求出EH，再根据30度角的性质求出EF．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，AB=CD，∵，∴四边形ABDE是平行四边形，∴DE=CD＝，，过点E作EH⊥BF于H，∵，∴∠ECH=，∴CH=EH，∵，，∴CH=EH=4，∵∠EHF=90°，，∴EF=2EH=8，故答案为：8．【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．18．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则__________，__________．【答案】【分析】结合题意，通过证明，得到，即可得到；过点F作于点H，延长AD交FH于点G，结合题意，根据平行四边形、对顶角、直角三角形两锐角互余的性质，计算得，从而得CH的值；再根据勾股定理计算，得FH和BC的值，结合平行四边形ABCD性质以及，DG是中位线，从而得到DG，通过计算即可得到答案．【详解】∵E是边上的中点∴∵平行四边形ABCD∴∴∵∴∴∵∴过点F作于点H，延长AD交FH于点G∵∴∴，即∵，且∴∴∴∴∵平行四边形ABCD∴∴∴∴∴∴∵，∴DG是中位线∴∴故答案为：，．【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的性质，从而完成求解．三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2023春·江苏·七年级期中）如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．根据以上信息，解答下列问题：(1)n的值为___________．(2)小明走出的这n边形的周长为__________米．(3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数．【答案】(1)15(2)45(3)【分析】（1）根据多边形的外角和等于，即可求解；（2）用多边形的边数乘以的长，即可求解；（3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：．故答案为：15（2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形，∴这n边形的周长为（米）；故答案为：45（3）解：根据题意，得，解得，

∴这个正m边形的每一个内角的度数为．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键．20.（2022·山东潍坊市期末）如图，在四边形中，分别是的中点，分别是对角线的中点，依次连接连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若，则．【答案】（1）（2）见解析；（3）25.【解析】证明：（1）∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG∥AB，AB=2EG同理可证：FH∥AB，AB=2HF∴EG∥HF，EG=HF∴四边形EGFH是平行四边形；（2）GH⊥EF，理由：∵G、F分别是BD、BC的中点，∴FG=CD，由（1）知GE=AB，又∵AB=CD，∴GE=GF又四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形，∴GH⊥EF；（3）由题意，EG∥AB，HF∥AB，GE=AB∴EG∥HF，同理，EH∥FG，GF=CD∴四边形EGFH是平行四边形，∵AB=CD，∴GE=GF，∴四边形EGFH是菱形，∵∠ABD=20°，∠BDC=70°，EG∥AB，GF∥CD，∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，∵FE平分∠GEH，∴∠GEF=∠GEH=25°．故答案为：25．21．（2022·山西八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，∵AF∥DC，∴四边形ACDF是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．22．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？如图①，很难看出直线a、b是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践•体悟】(1)计算：，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．(2)如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．(3)【创造•突破】如图③，，，，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角，则优角______．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1），将原式变形为，先计算多项式乘多项式，再合并同类项；（2）延长交于点F，由三角形外角的性质可得，等量代换可得，根据同位角相等、两直线平行，可证；（3）根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，则两个五边形的内角和．【详解】（1）解：令，原式．（2）证明：延长交于点F，如图所示：∵是的外角，∴，又∵，∴，∴；（3）解：连接、，分成两个五边形，如图所示：五边形的内角和为，两个五边形的内角和为，，，，两个五边形的内角和．【点睛】本题考查整式的混合运算、三角形外角的性质、平行线的判定、多边形内角和定理等，解题的关键是读懂材料，能够通过引入“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”解决问题．23．（2022·山东淄博市·八年级期末）如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）=3．【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB−AG）＝（AB−AC）；(3)根据△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，得出BDEF的面积为6，设BDEF中BF边上的高为h，由即可求解．【详解】（1）延长交于点，，，又∵平分，∴∠GAE=∠CAE在和中，，，，∵点是边的中点，∴为的中位线，，，四边形是平行四边形．（2）四边形是平行四边形，，，分别是，的中点，，，，．（3）如图：∵BD=DC，EF∥BC∴△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，∴∵BF∥DE设BDEF中BF边上的高为h，则=（DE+BP）×h÷2-BP×h÷2=DE×h÷2=6÷2=3．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，以及等底同高的平行四边形和三角形的面积之间的关系，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．24．（2023春·北京西城·八年级校考期中）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．(1)如图1，点D，E分别是的边，的中点，求证：，且；(2)如图2，四边形中，点M是边的中点，点N是边的中点，若，，，直接写出的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）如图所示，延长到F，使得，证明，得到，则，再由点D是的中点，得到，即可证明四边形是平行四边形，则，，再由，即可证明；（2）如图所示，连接并延长交延长线于E，证明，得到，，即点N是的中点，由（1）的结论可知，则．【详解】（1）证明：如图所示，延长到F，使得，∵点E是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵点D是的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，又，∴，∴，且；（2）解：如图所示，连接并延长交延长线于E，∵，∴，∵点N是的中点，∴，在和中，，∴，∴，，即点N是的中点，又∵点M是的中点，∴由（1）的结论可知，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．25．（2022·山东烟台市·八年级期末）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．（1）当点在边上时，如图①，求证：．（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段