第01讲 锐角三角函数和特殊角（原卷版）

第01讲锐角三角函数和特殊角目标导航目标导航课程标准1.理解锐角三角形（正切、正弦、余弦）的意义，会表述正切（正弦、余弦）与梯子倾斜程度的关系。2.能够运用tanA，sinA和cosA表示直角三角形中两边的比。3.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。4.知道坡度的意义，并能进行简单的计算。5.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值。

6．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”。7.利用特殊角的三角函数值解决简单的问题。知识精讲知识精讲知识点01锐角的正切1．正切的定义如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的的比便随之确定，这个比叫做的正切值。记作tanA，即tanA=。2．注意事项（1）tanA是一个完整的符号，它表示的正切，不能写成。①对于用一个大写英文字母或希腊字母，等表示的角，表示正切时习惯省去角的符号“”，如tanA，tan等。②对于用三个大写英文字母或阿拉伯数字表示的角，角的符号“”不能省略，如tan，tan等。（2）tanA没有单位，它的值只与的大小有关，与所在的直角三角形的边长无关。（3）tanA的平方用“”表示，的2倍用“2”表示。提示：①锐角A的大小确定之后，它所在的直角三角形的对边与邻边之比也随之确定，即锐角的正切值的大小只与锐角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关。②对于锐角A来说，的取值范围是，的值随锐角A的增大而增大。知识点02坡度与坡角1．定义如图所示，我们通常把坡面的的比叫做坡度（或坡比），坡度常用字母i表示。把坡面与水平面的夹角称为坡角。2．两者之间的关系坡度是坡角的，即。知识点03锐角的正弦、余弦1．正弦如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的的比便随之确定，这个比叫做的正弦。记作sinA，即sinA=。2．余弦如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的的比便随之确定，这个比叫做的余弦。记作cosA，即cosA=。注意：(1)正弦、余弦的定义与正切一样，是在直角三角形中对其锐角定义的，它们实质上是两条线段的长度之比，是一个数值，没有单位，其大小与角的大小有关，与所在的直角三角形的三条边长无关。

(2)对于用一个希腊字母或一个大写英文字母表示的角，角的符号“”习惯上省略不写，但对于用三个大写英文字母或一个阿拉伯数字表示的角，角的符号“”不能省略，如sinABC，sin1。

(3)sin，cos都是一个完整的符号，不能把sin写成sin，离开了的sin是没有意义的。

(4)sin²A表示sinA·sinA=(sinA)2，不能写成sinA2；cos2A表示cosA·cosA=(cosA)2，不能写成cos

A2。知识点04锐角三角函数的概念（1）锐角A的、和都是的三角函数。当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化。（2）同角的正弦、余弦之间的关系（平方关系）：。（3）同角的正弦、余弦与正切之间的关系（商的关系）：。（4）互余两角的三角函数之间的关系：锐角A，B，且，则，，。知识点05梯子的倾斜程度与三角函数的关系如图所示，若AB表示倾斜靠墙的梯子，则梯子的倾斜程度与它的倾斜角有关，倾斜角越大，梯子越陡。tan的值，梯子越陡；sin的值，梯子越陡；cos的值，梯子越陡。知识点06，，角的三角函数值1．图示记忆法根据正弦、余弦和正切的定义，结合下图，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。2．表格记忆法角sincostan1提示：锐角三角函数值的增减变化（1）当角度在~之间变化时，正弦值随角度的增大而增大；余弦值随角度的增大而减小；正切值随角度的增大而增大。（2）当锐角时，；当锐角时，；当锐角时，。知识点07特殊角的三角函数值的实际应用利用三角函数解应用题的一般步骤：（1）根据实际问题，构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型；（2）利用三角函数的定义表示题目中相关的量；（3）找出各个量之间的关系；（4）利用已知量与未知量的关系求出未知量；（5）作答。能力拓展能力拓展考法01利用锐角三角函数求线段长或面积【典例1】如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（）A．msin40° B．mcos40° C． D．【即学即练】已知在中，，，，则的长为（）A． B． C． D．【典例2】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（）A． B． C． D．【即学即练】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=2，tan∠ABC=2.以AB为边向三角形外部作正方形，则该正方形的面积是（）A．8 B．12 C．18 D．20考法02求锐角三角函数值【典例3】在中，，的余弦是（）A． B． C． D．【即学即练】在Rt△ABC中，，，，则的余弦值为（）A． B． C． D．【典例4】在中，，，，则的值为（）A． B． C． D．【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，以下正确的是（）A． B． C． D．考法03应用坡度解决实际问题【典例5】如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC=4m，则AB的长度为（）A．2m B．4m C．4m D．6m【即学即练】河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则AB的长为（）A．米 B．米 C．18米 D．21米【典例6】如图，在山坡上种树，坡度i＝1：2，AB＝5m，则相邻两树的水平距离AC为（）A．5m B．m C．2m D．10m【即学即练】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）都为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A．5m B．6m C．7m D．8m考法04特殊角的三角函数值【典例7】计算•tan60°的值等于（）A． B． C． D．【即学即练】4cos60°的值为（）A． B．2 C． D．2【典例8】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（）A．1 B． C． D．【即学即练】已知∠A，∠B均为锐角，且cosA=，sinB=，则下列结论中正确的是（）A．∠A=∠B=60° B．∠A=∠B=30°C．∠A=30°，∠B=60° D．∠A=60°，∠B=30°分层提分分层提分题组A基础过关练1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（

）A． B． C． D．2．如图，在中，，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．3．对角线长为的正方形，边长是多少（）A． B． C． D．4．的值等于（

）A． B． C．1 D．5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA等于（）A． B． C． D．16．市防控办准备制作一批如图所示的核酸检测点指示牌，若指示牌的倾斜角为，铅直高度为h，则指示牌的边AB的长等于（

）A． B． C． D．7．比较大小：_________（选填“＞”、“＝”或“＜”）．8．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为20m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=，则此斜坡的水平距离AC=_____m9．计算：（1）；（2）；（3）．10．如图，在中，，，．求的三个三角函数值．题组B能力提升练1．在中，，则=(

)A． B． C． D．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则cosB的值为（）A． B． C． D．23．如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（

）A．米 B．米 C．米 D．米4．图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin∠CEF=，则△AEF的面积为（

）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在中，，，以为斜边向外作，、分别为、的中点，连接，若，，则的长为（

）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BH的长度为（

）A．6 B． C．8 D．7．计算：__________．8．如图，在矩形中，为上的点，，，则______．9．如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．(1)求CE的长；(2)求∠ADE的余弦．10．如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为，请解决下列问题：(1)若点P在边AC上，当为何值时，APQ为直角三角形？(2)是否存在这样的值，使APQ的面积为cm2？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．题组C培优拔尖练1．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，sin∠DCE的值是（）A． B． C． D．2．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，B，则的值等于（

）A． B． C． D．3．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（

）A．2 B． C． D．4．在RtABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E为AC上一点，且CE＝5AE，点D为BC中点，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG＝，则DF的长度为（

）A． B． C． D．25．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若，则的长为（

）A．3 B． C．4 D．6．如图，洋洋一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向，则下列说法正确的是（

）A．B地在C地的北偏西40°方向上 B．A地在B地的南偏西30°方向上C． D．7．两块全等的等腰直角三角形如图放置，交于点P，E在斜边上移动，斜边交于点Q，，当是等腰三角形时，则的长为___________．8．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是______