2023版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组11-1随机事件古典概型与几何概型

11.1随机事件、古典概型与几何概型

考点一随机事件的概率

1.(2020课标I文,4,5分)设0为正方形ABCD的中心，在0,A,B,C,1)中任取3点,则取到的3

点共线的概率为()

答案A从0,A,B,C,D中任取3点的情况有

(0,A,B),(0,A,C),(0,A,D),(0,B,C),(0,B,D),(0,C,D),(A,B,C),(A,B,D),(B,C,D),(A,C,D),

共有10种不同的情况，由图可知取到的3点共线的有(0,A,C)和(0,B,D)两种情况,所以所求

概率为黑.故选A.

10□

2.(2018课标II文,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2

人都是女同学的概率为()

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

答案D设两名男生为A,B,三名女生为a,b,c,则从5人中任选2人有

(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10种.2人都是女同

学的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种，所以所求概率为存0.3.

方法总结古典概型概率的求法：

(1)应用公式P(A)及求概率的关键是寻求基本事件的总数和待求事件包含的基本事件的个

n

数.(2)基本事件个数的确定方法：

①列举法:此法适用于基本事件较少的古典概型；

②列表法:此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法；

③画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题或较复杂问题

中基本事件数的探求.

3.(2017课标II文，11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随

机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()

A.-B.-C.-D.-

105105

答案D本题考查古典概型.

画出树状图如图：

第一张1345

第二张1234512345123451234512345

可知所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率P等.故选D.

250

思路分析由树状图列出所有的基本事件,可知共有25个,满足题目要求的基本事件共有10

个.由古典概型概率公式可知所求概率P辛.

易错警示本题易因忽略有放回的抽取而致错.

疑难突破当利用古典概型求概率时,应区分有放回抽取与无放回抽取.有放回抽取一般采

用画树状图法列出所有的基本事件,而无放回抽取一般采用穷举法.

4.（2017天津文,3,5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从

这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）

.4n3„2n1

A-5B.gC.-D.-

答案c本题考查古典概型.

从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有以下10种情况：（红,黄），（红，蓝），（红,绿），（红，

紫），（黄,蓝），（黄，绿），（黄,紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿,紫）.其中含有红色彩笔的有4种情

况：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），所以所求事件的概率P%,故选C.

5.（2016课标I文,3,5分）为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一

个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

（）

A*B*C-1D-1

答案C从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：（红黄）、（红白）、（红紫）、

（黄白）、（黄紫）、（白紫），共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛（亦即黄色和白色的花

不在同一花坛）的选法有4种,所以所求事件的概率故选C.

解后反思从4种颜色的花中任选2种共有6种情况,不重不漏地列举出所有情况是解题关

键.

评析本题主要考查了古典概型、不重不漏地将所有情况列举出来是解题关键.

2

6.（2016课标用文,5,5分）小敏打开计算机时.，忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是

M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机

的概率是（）

A.-B.-C.-1）.-

1581530

答案C小敏输入密码的所有可能情况如下：

（M,1）,（M,2）,（M,3）,（M.4）,（M,5）,

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,

（N,1）,（N,2）,（N,3）,（N,4）,（N,5）,共15种.

而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为白

15

7.（2016北京文,6,5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为（）

A..-1门B.2-八C.8-、D.9-

552525

答案B设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有（甲，乙），（甲，

丙），（甲丁），（甲,戊）,

（乙,丙），（乙,丁），（乙戊），

（丙，丁），（丙,戊），

（丁,戊）,

共4+3+2+1=10种.

其中甲被选中的情况有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），共4种，

故甲被选中的概率为宗.故选B.

易错警示在列举基本事件时要不重不漏,可画树状图：

甲乙丙丁

八小△I

乙丙丁戊丙丁戊丁戊戊

评析本题考查古典概型，属中档题.

8.（2015课标I文,4,5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3

个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为

（）

A..—3

10*

3

答案C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种取

法：(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,

5),其中能构成一组勾股数的有1种：(3,4,5),故所求事件的概率P年,故选C.

9.(2015广东文,7,5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取

2件，恰有一件次品的概率为()

A.0.4B.0.6C.0.8D.1

答案B记3件合格品分别为A“Az,A：,,2件次品分别为B”B”从5件产品中任取2件，有

(A1)A2),(AUA3),(A„B,).(A,,B2),(A2JA3),(A2,B,),(A,B2),(A3)B,),(A3(B2),(B„B2),共10种可

能.其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型概率公式得所求事件概率为黑0.6.选B.

10.(2014课标I理,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周

六、周日都有同学参加公益活动的概率为()

答案D由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有2’种情况，

而4位同学都选周六有1种情况,4位同学都选周日有1种情况,故周六、周日都有同学参加

公益活动的概率为P上器书《，故选D.

11.(2014陕西文,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点,则这2个点的

距离小于该正方形边长的概率为()

A.1B.|C.|D.1

答案B设正方形的四个顶点分别是A、B、C、D,中心为0,从这5个点中，任取两个点的事

件分别为AB、AC,AD、AO、BC、BD、BO、CD、CO、DO,共有10种,其中只有顶点到中心0的

距离小于正方形的边长,分别是AO、BO、CO、DO,共有4种.故满足条件的概率P磊=|.故选

B.

评析本题考查古典概型知识,考查分析问题及阅读理解的能力.理解只有顶点到中心的距

离小于边长是解题的关键.

12.(2013课标I文,3,5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值

为2的概率是()

4

A*B*C.-

4*

答案B从1,2,3,4中任取2个不同的数，共有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）6

种不同的结果,取出的2个数之差的绝对值为2的有（1,3）,（2,4）2种结果,概率为,故选B.

13.（2012安徽文，10,5分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白

球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）

A」B.jC.|D」

5555

答案B将同色小球编号.从袋中任取两球,所有基本事件为（红，白），（红，白2）,（红,黑

）,（红，黑2）,（红，黑3）,（白“白2）,（白”黑），（白”黑2）,（白“黑3）,（白2,黑）（白2,黑

，（白2,黑3）,（黑“黑（黑I,黑J,（黑2,黑3）,共有15个基本事件，而一白一黑的共有6

个，故所求概率P=^|.故选B.

评析本题主要考查古典概型概率的求解，同时考查了列举法.

14.（2011课标文,6,5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学

参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）

A..-1nB.-1Cc?.Dn.—3

3234

答案A甲、乙两人都有3种选择，共有3X3=9种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有

3种情况.•••甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P铝,故选A.

评析本题主要考查古典概型的概率运算，属容易题.

15.（2011浙江文,8,5分）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中

至少有1个白球的概率是（）

.13小3「9

A.-"Bn.-C."D.■—

1010510

答案D解法一（直接法）：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类:两红一

白有6种取法,一红两白有3种取法,而从5个球中任取3个球的取法共有10种,所以所求概

率为芥故选D.

解法二（间接法）：至少有一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球,即只有3个红球,共

1种取法,故所求概率为1-晨,故选D.

5

16.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,

则恰好选中2名女生的概率为.

答案2

解析本题考查古典概型.

把男生编号为男"男2,女生编号为女"女2,女3,则从5名学生中任选2名学生有：男।男2,

男I女”男I女2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女I女3,女2女3,共1。种情况，

其中选中2名女生有3种情况,则恰好选中2名女生的概率为奈

易错警示在使用古典概型的概率公式时,应注意：(1)要判断该概率模型是不是古典概

型；(2)分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m,常用列举法把基本事件一一列举

出来,再利用公式P(A)及求出事件A发生的概率,列举时尽量按某一顺序,做到不重复、不遗

n

漏.

17.(2016四川文，13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log.b为整数

的概率是.

答案：

0

解析所有的基本事件有

(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12

个.

记“log.b为整数”为事件A,

则事件A包含的基本事件有⑵8),(3,9),共2个.

易错警示对a,b取值时要注意顺序.

评析本题考查了古典概型.正确列举出基本事件是解题的关键.

18.(2014课标I文，13,5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2

本数学书相邻的概率为.

答案|

6

解析设2本不同的数学书为a,sa2,l本语文书为b,在书架上的排法有

a^b,atba2,a2aba2baj,bata2,be^a,,共6种，其中2本数学书相邻的有a^b,a2abba1氏,ba2a„

共4种，因此2本数学书相邻的概率

19.(2014课标H文，13,5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动

服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为.

答案!

解析甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9

种,其中颜色相同的有3种,所以所求概率为六.

20.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为

6的概率是.

答案|

解析从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，有

(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种情况.

满足条件的有(2,3),(1,6),共2种情况.

故P割

21.(2014浙江文，14,4分)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.甲、乙两人各抽

取1张,两人都中奖的概率是

答案!

解析设A为一等奖奖券,B为二等奖奖券,C为无奖奖券,则甲、乙两人抽取的所有可能结果

为AB、BA、AC、CA、BC、CB,共6种.而甲、乙两人都中奖的情况有AB、BA,共2种.故所求

概率为芸.

03

22.(2013课标II文，13,5分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率

是.

答案0.2

解析任取两个不同的数的情况

有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种，其中和为

5的有2种,所以所求概率为伊0.2.

7

23.(2019天津文，15,13分)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、

继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位

老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25

人调查专项附加扣除的享受情况.

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受

情况如下表，其中“O”表示享受，“X”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.

员工

ABCI)EF

项目

子女教育OOXOXO

继续教育XXOXOO

大病医疗XXXOXX

住房贷款利息OOXXOO

住房租金XXOXXX

赡养老人OOXXXO

解析本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其

概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，体现了数学运算素

养.满分13分.

(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位

员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人，10人.

(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E}，出,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{

D,F},{E,F},共15种.

(ii)由表格知，符合题意的所有可能结果为

{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.

所以，事件M发生的概率P(M)4.

8

思路分析（1）首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数；（2）（i）利用列举法列出满足题

意的基本事件；（ii）利用古典概型公式求概率.

失分警示在列举基本事件时应找好标准，做到不重不漏.

24.（2018北京文，17,13分）电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表：

电影类

第一类第二类第三类第四类第五类第六类

型

电影部

14050300200800510

数

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

（D从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

（3）电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.

假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电

影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最

大？（只需写出结论）

解析（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,

第四类电影中获得好评的电影部数是200X0.25=50.

故所求概率为默0.025.

（2）由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140X0.4+50X0.2+300X0.15+200X0.25+800X0.2+510X0.1

=56+10+45+50+160+51

=372.

故所求概率估计为1-^=0.814.

（3）增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.

25.（2018天津文，15,13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为

240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

9

(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫

生工作.

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.

解析本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其

概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2,由于采用分层抽样的方

法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2

人.

(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F),{B,G},{C,D},{C,E},{

C,F},(C.G),{D.E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.

②由(1),不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级

的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为

{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.

所以,事件M发生的概率P(M)Q.

易错警示解决古典概型问题时，需注意以下几点：

(1)忽视基本事件的等可能性导致错误；

(2)列举基本事件考虑不全面导致错误；

(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错

误.

26.(2017山东文，16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A”A2As和3个欧洲国家

B„B,,B：,中选择2个国家去旅游.

(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括人但不包括及的概率.

解析(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件

有：血,A?},凡,AJ,{A”Aj,{A“Bj,{A“B』，{A“B、},色,BJ,{&,B?},{%,Bj,饱,BJ,a,BJ,

{A3,B3}({B„B?},{B“BJ,共15个.

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A“Aj,{A”AJ,{A^AJ,共3个，

10

则所求事件的概率

P=1^540.

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件

有:{A„B,},{A„Bj,{A„Bj,{A2,BJ,{A”Bj,{A2>B3},{A3,B,},{&,B2},{A3,Bj,共9个.

包括A1但不包括B,的事件所包含的基本事件有:{A„BJ,{A„BJ,共2个,

则所求事件的概率P1.

方法总结求古典概型概率的一般步骤：

1.求出所有基本事件的个数n,常用的方法有列举法、列表法、画树状图法；

2.求出事件A所包含的基本事件的个数m;

3.代入公式P(A)二求解.

n

27.(2016山东文，16,12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的

儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.

设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下：

①若xyW3,则奖励玩具一个；

②若xy28,则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

(1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

解析用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Q与点集

S={(x,y)IxSN.ySN,

1WXW4,lWyW4}——对应.

因为S中元素的个数是4X4=16,

所以基本事件总数n=16.

(1)记“xyW3”为事件A,

11

则事件A包含的基本事件数共5个，

即(1,1),(1,2),(1,3),(2,D,(3,1).

所以P(A)卷,即小亮获得玩具的概率为白

1010

(2)记“xy28”为事件B,“3〈xy<8”为事件C,

则事件B包含的基本事件数共6个，

即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).

所以P(B)容.

10O

事件C包含的基本事件数共5个，

即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).

所以P(C)《.因为》*

1b816

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

易错警示本题出错的原因有两个：(1)理解不清题意，不能将基本事件列举出来；(2)列举基

本事件有遗漏.

评析本题主要考查了古典概型,理解题意,不重不漏地列举出基本事件是解题关键.

28.(2015天津文，15,13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现

采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.

(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A„A3,A„A5IA6.现从这6名运动员中随机抽

取2人参加双打比赛.

(i)用所给编号列出所有可能的结果；

(ii)设A为事件“编号为As和4的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率.

解析(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.

(2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为

{A”A2],{A”Ag},(A|,A.j],{A”Aj,{A”A^},{A2,A；J,{A-；,Aj,{A2,Aj,{A?,Afi),{A：),A.J,{A3,A$},{A

3"6},4/5},4,"6},{&,觞，共15种.

(ii)编号为As和4的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为

{A„AJ,{A„AJ,{A2,AJ,{Az,AJ,{A:),Aj,{A:i,Aj，{&A5},{A„Aj,{A5,Aj,9种.

因此,事件A发生的概率P(A)=^=1.

155

12

评析本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其

概率计算公式等基础知识.考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力.

29.(2015山东文，16,12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情

况,数据如下表：(单位:人)

参加书法社团未参加书法社团

参加演讲社团85

未参加演讲社团230

(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率；

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A”h人,A”A”3名女同

学B„B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求人被选中且未被选中的概

率.

解析(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，

故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人，

所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P吟4

(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有：

{A„BJ,凡,B』，{A”BJ,{A51，％,&},

{A2,B：J,{A3,B,},{A:1,B2},{A3,B3},{A4,B,},

{A4,Bj,(A.1,B；J,{A$,B|),{As,B2},{As,Bj,

共15个.

根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.

事件“A1被选中且及未被选中”所包含的基本事件有：

{A„B2},{A//,共2个.

因此凡被选中且B,未被选中的概率为P/.

评析本题考查随机事件的概率及其计算,考查运算求解能力及应用意识.

30.(2015四川文，17,12分)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客

P„2,P”P”P$的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客P,

因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的

13

座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位

中任意选择座位.

(1)若乘客Pi坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中

两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；

(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客坐到5号座位的概率.

乘客

P,Pz巳P,p5

32145

32451

座位号

解析(1)余下两种坐法如下表所示:

乘客P,PP,PPs

32415

座位号

32541

(2)若乘客巳坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为:

乘客

P,p2p3p.p5

21345

23145

23415

23451

座位号

23541

24315

24351

25341

于是,所有可能的坐法共8种.

设“乘客P,坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.

14

所以P(A)等i

答:乘客Ps坐到5号座位的概率是:.

评析本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方

法分析和解决实际问题的能力,考查推理论证能力、应用意识.

31.(2014四川文，16,12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除

标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次

记为a,b,c.

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.

解析(1)由题意知，(a,b,c)所有可能的结果为

(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),

(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),

(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.

设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,

则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.

所以P(A)W

因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为!.

(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,

则事件施括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.

所以P(B)=1-P位=1-若.

因此，“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为去

评析本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查应用意识.

32.(2014天津文，15,13分)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情

况如下表：

一年级二年级三年级

男同学ABC

女同学XYZ

15

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.

（1）用表中字母列举出所有可能的结果；

（2）设M为事件”选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生

的概率.

解析（1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为

{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{

X,Z},{Y,Z},共15种.

（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为

{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.

因此,事件M发生的概率为髭.

评析本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式

等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

考点二古典概型

考点三几何概型

1.（2016课标n文,8,5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间

为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）

.7„5八3八3

A.--B.—C.-D.--

108810

答案B行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根

据几何概型的概率公式知所求事件的概率p=24,故选B.

4Uo

评析本题主要考查几何概型,理清题意是解题的关键.

2.（2015湖北理,2,5分）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮，

有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷

约为（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

答案B♦.•当X1534七169,.•.这批米内夹谷约为169石.

3.(2015陕西理,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,yGR),若|z|W1,则y2x的概率为()

16

A..3,-1C

42n-HD色

答案B•.•案Wl,...（x-lF+ywi,表示以M（1,O）为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的

面积为n.易知直线y=x与圆（x-lT+yJl相交于0（0,0）,A（l,1）两点，作图如下:

VZ0MA=90°,AS则可一如1X1卷.

故所求的概率

n42丸

4.（2015山东文,7,5分）在区间［0,2］上随机地取一个数x,则事件+发

生的概率为（）

.3门2厂1门1

AqB-3C-3Dq

答案A由-lWlog/x+Jwi,得关x号W2,

3

解得OWxW/所以事件“-IWlog/x+Jwi”发生的概率为尊,故选A.

5.（2015福建文,8,5分）如图,矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1,0）,且点C与点

（x+1,x20,

D在函数f（x）=_lx+1*<°的图象上,若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自

阴影部分的概率等于（）

OB

A..-1门B.1-厂C.3-门D.1—

6482

答案B易知点C的坐标为（1,2）,点D的坐标为（-2,2）,所以矩形ABCD的面积为6,阴影部

分的面积为2故所求概率为

6.（2015湖北文,8,5分）在区间［0,1］上随机取两个数x,y,记5为事件“x+yW—的概率，必

为事件“xyW-的概率，则（）

17

A.p,<p2<^B.p2<^<p,C.i<p2<PiD.p,<|<p2

答案D（x,y）构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x+yWg的区域如图（1）

22

中阴影部分所示,所以pr"1X,1t-o'>满足xyW：Z的区域如图⑵中阴影部分所示,所以

D

PI*iA.1；"：1』Z所以乙PK；<P2,故选-

7.（2014湖南文,5,5分）在区间［-2,3］上随机选取一个数X,则XW1的概率为（）

A.iB.|C.1D.i

答案B区间［-2,3］的长度为5,区间的长度为3,因此P（XW1）得选B.

8.（2014辽宁文,6,5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2,BC=1,

则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）

答案B二：.故选B.

s正形2X14

9.（2013陕西理,5,5分）如图，在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号

的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正

常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）

A-1-TB-T_1C-2-TD-T

答案A依题意知,有信号的区域面积为?X2甘•，矩形面积为2,故无信号的解

18

10.（2013四川理,9,5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一

次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪

亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）

答案C设通电x秒后第一串彩灯闪亮,y秒后第二串彩灯闪亮.依题意得

0WxW4,0Wy<4,；.S=4X4=16.

又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒,即|x-y|W2,如图可知,符合要釉

=16-92X2-X2X2=12,

p=£=12_3

亍正3

11.（2013湖南文,9,5分）己知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使4APB的最大边

是AB”发生的概率为:，则告（）

LAD

A12B以14CL—2o—4

答案D矩形ABCD如图所示，在点P从D点向C点运动过程中,DP在增大,AP也在增大，而

BP在逐渐减小，当P点到Pi位