2022年人教版高中数学必修第二册综合检测试卷

本册综合检测题

考试时间120分钟，满分150分.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.己知i是虚数单位，复数zi在复平面内对应的向量无i=（—2,1）,则复数z=含的

虚部为（D）

13

1

---

A.2B.2

［解析］由题意可知zi=-2+i,所以2=含=4密器-=二^③=一杆|。因

3

-

此，复数2

2.某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表:

次品数01234

频率0.50.20.050.20.05

则次品数的众数、平均数依次为（A）

A.0,1.1B.0,1

C.4,1D.0.5,2

［解析］由表可知，次品数的众数为0,平均数为0X0.5+1X0.2+2X0.05+3X0.2+

4X0.05=1.1.

3.已知/,机表示两条不同的直线，a表示平面，则下列说法正确的是（A）

A.若/_La,mUa,则B.若/_1_m，mU。，则/_La

C.若1〃m,mUa,则/〃aD.若/〃a,mUa,则/〃相

［解析］对于A,若/J_a,mUa,则根据直线与平面垂直的性质，知/J_根，故A正确；

对于B,若/_LmUa,则/可能在a内，故B不正确；对于C,若/〃/，mUa,贝

或/UQ,故C不正确；对于D,若/〃a,mUa,则/与机可能平行，也可能异面，故D不

正确.故选A.

4.在△48。中，角A,B,C所对的边分别是mb,c,若a=acos5+bcos4,则△ABC

是（A）

A.等腰三角形B.锐角三角形

C,直角三角形D.钝角三角形

［解析I因为a=4cosB+Z?cosA,所以由余弦定理可得a=aX-

4+廿一M

bx—沛一，整理得〃=c,所以AABC为等腰三角形.

27r

5.已知平面向量0与6的夹角为了，且同=1,|Z>|=2,则|a+加=(B)

A.3B.小

C.7D.市

［解析］因为|a+肝=(a+b)2—a2+Tab+b2—|a|2+2|a|-|Z)|-cos苗+|i|2=1+

2X1X2X(—£)+4=3,所以|a+b|=3.

6.一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性，由多个元件组成的系统能正常

工作的称为系统的可靠性，今设所用元件的可靠性都为40<厂<1),且各元件能否正常工作

是相互独立的，如图所示的系统的可靠性为(C)

A.7B.2r~r

C.23一尸D.?-4?+4?

［解析］设4(i=l,2,3,4)表示“元件i能正常工作”的事件,S表示“系统能正常工作”，

得P⑸=P(AtA2UA3A4)=P(AI)P(A2)+P(A3)尸(A4)—P(4)尸(A2)P(A3)尸(4)=$+/一1=2,一

汽故选C.

7.在梯形A8CD中，已知AB〃CD,AB=2£>C,点P在线段3c上，且8P=2PC,则

(C)

A.AP=^AB-1-^ADB.AP=^AB+^AD

C.AI)=^AP~AB—*2—*—*

D.AD=^AP-AB

->■—►­►—►―►—►I―►—►1—►-►2-*•2->,)

［解析］因为BC=—AB+AD+DC=—AB+A£)+/A8=AQ-BP巧BC=gAD-~q

-~~>―►—>―»2-1-►2-*■2-—―►3--*■

AB,所以AP=A8+8尸=4B+1A£>一驶8=铲8+P£),所以AZ)=］AP—AB.

8.(2020•全国II卷理)已知aABC是面积为手的等边三角形，且其顶点都在球。的球

面上.若球。的表面积为16兀，则。到平面A8C的距离为(C)

3

小B-

A.

C2

1DV32

［解析J设球。的半径为凡则4兀2=16兀，解得：R=2.

设ZUBC外接圆半径为r,边长为a,

•；△A8C是面积为十的等边三角形,

近

乎

X

2-

二球心。到平面ABC的距离4=.咫一户=5=1.

故选C.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0

分）

9.己知i为虚数单位，复数,则以下为真命题的是（CD）

74Q

A.z的共轨复数为5一早B.z的虚部为5

「I|=返

C.|z|-5D.z在复平面内对应的点在第一象限

_3+2i_(3+2i)(2+i)

［解析］=2-i=(2-i)(2+i)

；.z的共物复数为,一亲，Z的虚部为（团=｛（3+自2=华,Z在复平面内对应的点

为序a在第一象限，故选CD.

10.如图是2019年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是（BCD）

s

8000

12

G7000H号r

1O

O6000回

最50008说

段40006芒

^3000云

4地

机000

2木

<

I000/

0%

11=1GDP总量—与去年同期相比增长率I

A.2019年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个

B.与去年同期相比，2019年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长

C.去年同期的GDP总量前三位是B省、D省、A省

D.2018年同期A省的GDP总量也是第三位

［解析］2019年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个，B省和C省的GDP

总量和增速分别居第一位和第四位，故A错误；由图知B正确；由图计算2018年同期五省

的GDP总量，可知前三位为B省、D省、A省，故C正确；由C知2018年同期A省的

GDP总量是第三位，故D正确.故选BCD.

11.2021年3月5日上午，十三届全国人大四次会议开幕，国务院总理李克强作政府工

作报告.报告提出，扎实做好碳达峰、碳中和各项工作，制度“2030年碳达峰，2060年碳

中和”的工作目标.为了解某企业职工对“碳达峰、碳中和”的认知程度，随机抽取了100

名职工组织了“碳达峰、碳中和”知识竞赛，满分为100分(80分以上为认知程度较高)，并

将所得成绩分组得到如图所示的频率分布折线图，从频率分布折线图中得到的这100名职工

成绩的以下信息正确的是(ABC)

A.a=0.03

B.对“碳达峰、碳中和”认知程度较高的人数是35人

C.中位数是76.25

D.平均分是76.05

I解析］A选项，由题意可得4=0.1-(0.01+0.015+0.04+0.005)=0.03,故A正确；

B选项，成绩80分及以上的职工人数为(0.03+0.005)X10X100=35人，故B正确；

对于C选项，设中位数为x,因为(0.01+0.015)X10=0.25,(0.01+0.015+0.04)X10=

0.55,所以xG(70,80),由题意可得0.25+(彳-70)X0.04=0.5,解得x=76.25,故C正确；

对于D选项，平均分为55X0.1+65X0.15+75X0.4+85X0.3+95X0.05=75.5,故D

不正确.

12.如图，正三棱柱A8C—4BC1各条棱的长度均相等，。为44i的中点，M,N分别

是线段和线段CG上的动点（含端点），且满足BM=CN,当M,N运动时，下列结论

中正确的是（ABC）

A.在△OWN内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面DMN_L平面BCG8

C.三棱锥4—的体积为定值

D.△OMN可能为直角三角形

［解析I用平行于平面A8C的平面截平面。MN,则交线平行于平面A3C,故A正确；

当M,N分别在BBi,CG上运动时，若满足BM=GM则线段MN必过正方形8CGB1的

中心。，由。。上平面BCCiBi可得平面OMN_L平面BCGBi,故B正确；当M,N分别在

BBi,CG上运动时，的面积不变，点N到平面4OM的距离不变，所以三棱锥N

-AiQM的体积不变，即三棱锥A-QMN的体积为定值，故C正确；若△OWN为直角三

角形，则必是以NMON为直角的直角三角形，易证。M=£W,所以为等腰直角三

角形，所以DO=OM=ON,即MN=2D0.设正三棱柱的棱长为2,则。。=小，MN=2小.因

为MN的最大值为BG,BCi=2木,所以不可能为2小，所以△ZWN不可能为直角三

角形，故D错误.故选ABC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（2021.全国乙卷）已知向量a=（l,3）,6=（3,4）,若（。一劝）_Lb,则曰=一,一

［解析］由题意得（a-Ab）-b=Q,即15—252—0,解得兀=；.

14.在某道路的4,B,C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别

为25秒,35秒,45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为_盍35

［解析］由题意可知，汽车在这三处都不停车的概率为器X益x^=奇.

15.如图,在长方体ABCD—AiBiGD中，4B=2,BC=l,=P是AB的中点,

则异面直线BC\与PD所成的角等于60。.

［解析］如图，取481的中点E,连接9E,ADi,AE,则NAQE即为异面直线8G

与PD所成的角.因为A8=2,所以A|E=1,又BC=BBi=l,所以。/=4。=4E=也，

所以△AGE为正三角形，所以NAGE=60°.

16.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方

图(如下图).由图中数据可知“=0.030.若要从身高在［120,130),［130,140),［140,150］

三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在［140,150］的学生中

选取的人数应为3.

［解析］V0.005X10+0.035X10+dX10+0.020X10+0.010X10=1,

二〃=0.030.

设身高在口20,130),［130,140),［140,150］三组的学生分别有x,y,z人，

则忐=0.030X10,解得x=30.

同理，y=20,z=10.

故从［140,150］的学生中选取的人数为布景正X18=3.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xO.y中，已知点4(1,4),8(—2,3),C(2,-

1).

(1)求赢.危及|泰+启|;

⑵设实数f满足(赢一疝。_L灰:，求f的值.

［解析］(1)=油=(-3,-1),启=(1,-5),

.,.AB-AC=(-3)Xl+(-l)X(-5)=2.

VAB+AC=(-2,-6),

二|初+/1=何4+36=2股.

(2)VA8-/dC=(-3-2r,-1+r),0C=(2,-1),且(赢一/%_!_沆，

：.(AB-tOC)OC=0,

・・(一3—2/)X2+(—1+/)X(—1)=0,

/.t=­l.

18.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P—A8CQ中，底面A8C。为等腰梯形，且

满足A8〃CD,AD=DC=^AB,%_L平面ABCQ.

⑴求证：平面平面力£>；

(2)若％=48,求直线PC与平面布。所成角的正弦值.

［解析］⑴证明：取AB的中点E,连接CE,则由题意知，ZYBCE为正三角形，所以

ZABC=60°.

由四边形ABC。为等腰梯形知/BC£)=120。，设A£>=Z5C=BC=2,贝1!AB=4,BD=

2小，故AU+BUMA),即得NAO8=90°,所以AD_LBD

又以，平面A8CD,所以玄_LBL>.

又AOC%=A,所以8DJ_平面以D

又BDU平面PBD,所以平面尸8O_L平面PAD.

(2)在平面ABC。中，过点C作C”〃8£)交A。的延长线于点H,由(1)知BO_L平面PAD,

所以C”,平面也。，连接P”，则NCP”即为所求的角.

根据(1)中所设，在RtZXC，。中，CD=2,/COH=60。，

所以CH=小,

连接AC,在RtZ\B4C中，

PC^yjPA2+AC2=正+(2小>=2巾.

所以在RtZiPHC中，sin/CPH=，E=^=]1，

即PC与平面布。所成角的正弦值为唔.

19.(本小题满分12分)(2021.全国I卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,

已知序=ac,点。在边AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AZ)=2OG求cosNA3c.

I解析](1)由条件知js'"=4c,

*■*bin/MOt“

又ac=b2,则BDb=b2^BD=b.

21

(2)若AD=2£>C,则AD=1〃，DC=^b.

\AB2=BD2+AD1-2ADBDCOSNADB

贝！I,,,

[BC2=BD2+DC2-2BDDCcosZBDC

42

c2=b2+gb2—2♦吗b,cosZADB①

{a2=b2+^b2—2/>；bcosZBDC②

①+②X2今3c2+6。2=11",又+=ac,

3c2+6cr=Uac

3陪)+6旬=11.

令七

3r+y=11,3产―11/+6=0.

(3z—2)(r—3)=0,

2、

，，=,或f=3,

当t=3时，c=3a,b=y/3a9

此时a+方=(小+l)a〈3a(舍)，

t—

次+c2—1，1、7

cos/ABC=2ac或-l)=n-

20.(本小题满分12分)为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语

大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整

数，满分为100分)作为样本进行统计.按照［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］的

分组作出频率分布直方图(如图(1)),并作出样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出得分在

［50,60),［90,100］的数据,如图⑵).

512345678

6

7

8

934

(1)(2)

已知分数在［80,90)的学生中，男生有2人，现从该组抽取3人“座谈”，写出样本空间

并求至少有2名女生的概率.

［解析］分数在［80,90)的学生共有8+(0.016X10)X(0.010X10)=5(人).由题意知，这5

人中男生有2人，女生有3人，分别编号为历和0,172.

所以样本空间为{(。1,a2,的)，3,«21bi),(ai,a2,bi),(a\,内，b\),(«i,⑷，一),

(。2,as,b\),(“2,。3,b2),(b\,bi,a\),(b\,左，az),(Jb\,岳，s)},共有10个样本点.

记人=“至少有2名女生”，则事件A包含的样本点数为7.

7

所以至少有2名女生的概率为P(A)=fQ.

21.(本小题满分12分)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，是底面

的内接正三角形，P为。。上一点，/APC=90。.

⑴证明：平面平面B1C；

(2)设。。=也，圆锥的侧面积为小兀，求三棱锥产一ABC的体积.

［解析］(1)由题设可知，PA=PB=PC.

由于△4BC是正三角形，故可得△用Cg△附B.

△B4c丝△P8C.

又NAPC=90°,故NAPB=90°,ZBPC=W0.

从而PB_LR4,PBLPC,故PBJ_平面%C,所以平面平面wC.

(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为/.

由题设可得〃=小，/一/二？，解得r=l,1=小,

从而AB=41由(1)可得力2+PB2=AB2,故丛=PB=PC=坐.

所以三棱锥P-ABC的体积为gx；XR4XPB><PC=；xJxO邛

22.(本小题满分12分)某服装店对过去100天其实体店