2023届广东省肇庆市全国高考统一考试模拟试题（三）数学试题

2023届广东省肇庆市全国高考统一考试模拟试题（三）数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行程序框图，则输出的数值为（）

a=0.6=1.*=I

A.12B.29C.70D.169

2.单位正方体AZfCQ-A与GA，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬

地的路线是黑蚂蚁爬行的路线是为一•♦,它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段

所在直线必须是异面直线QeM）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂

蚁的距离是（）

A.1B.y/2C也D.0

3.已知集合人={0,1},B={0,1,2},则满足AUC=B的集合C的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

22

4.已知直线/：y=2x+10过双曲线0―2r=1（。>00>0）的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方

程为（）

5.记递增数列{4}的前〃项和为S”.若4=1,4=9,且对他“}中的任意两项《与勺其和《+勺,

或其积4%,或其商2仍是该数列中的项，则（）

4

A.a5>3,S9<36B.a5>3,S9>36

C.ab>3,S9>36D.a6>3,S9<36

6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()

7.若z=(3—i)g+2i)(aeR)为纯虚数，贝ijz=()

16,20.

A.—lB.6iC.—lD.20

33

8.在菱形ABC。中，AC=4,BD=2,E，/分别为A3，3c的中点，则£)七.£)尸=()

13515

A.------B.—C.5D.—

444

9.函数/(x)=k|-瞿的图象大致为()

A.1B.2C.3D.6

11.已知全集。=11,集合M={x|-3<x<l},N={x||x|,,l},则阴影部分表示的集合是()

C.y,—3)U(—1收)D.(-3,-1)

niY+1

12.已知函数丫=优-2(”>()且。。1的图象恒过定点2，则函数)=----图象以点P为对称中心的充要条件是

x+n

A.m=1,7I=-2B.m=­1,71=2

C.m=l,n=2D.m=—=-2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若向量〃=(x—1,2)与向量力=(2,1)垂直，贝1」/=.

432

14.甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为一和一；乙笔试、面试通过的概率分别为一和

543

若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________.

2

15.已知x,满足约束条件,2x+y-440,,则2=》+丫的最小值为.

,y<2x,

22

16.已知产为双曲线C：二-==1(。>0,6>0)的左焦点，直线/经过点口，若点440),8(0/)关于直线/对称，

a~b~

则双曲线C的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采

用并联安装，再与一级过滤器串联安装.

级过滤器

----------1'级过滤器二

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要

更换相互独立).若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个16()元，二级滤芯每个80元.若客户在使用

过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为

此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤

器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.

表1：一级滤芯更换频数分布表

一级滤芯更换的个数89

频数6040

以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率

代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.

（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；

（2）记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；

（3）记力,〃分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若加+〃=19,且me｛8,9｝,

以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值.

18.（12分）已知数列｛叫中，q=a（实数。为常数），％=2,S.是其前"项和，”）且数列也｝是等

比数列，4=2,%恰为与与-1的等比中项.

（D证明：数列｛q｝是等差数列；

（2）求数列也｝的通项公式；

（3）若0=二，当〃22时q,=7-二+l~+不，｛g｝的前"项和为，，求证：对任意“22,都有

（

2%+1%+2bn">

127；,>6/7+13.

19.（12分）已知抛物线。的顶点为原点，其焦点尸（0,，），（。>0）关于直线/：X-了-2=0的对称点为加，且|「〃|=3拉.

若点P为C的准线上的任意一点，过点P作。的两条切线B4,PB,其中A,B为切点.

（1）求抛物线。的方程；

(2)求证：直线A3恒过定点，并求△PAB面积的最小值.

20.(12分)如图，在四棱锥P—A3CD中，底面是边长为2的菱形，ZBAD=60。，PB=PD=&

(2)设“在AC上，AH=-AC,若PH=旦,求产”与平面P8C所成角的正弦值.

33

21.(12分)已知函数f(x)=|x-l|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b囹a|f(x)(a/),a、bCR)恒成立，求实数x的取值范围.

X=tCOS69,为参数),直线的参数方程为

22.(10分)在直角坐标系Mb中，直线4的参数方程为7[W；4

三一”!。为参数).以坐标原点为极点，、轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为

x=tcos

71

y=rsin,一夕

夕sin?0=cos0.

(I)求012的极坐标方程和C的直角坐标方程;

(II)设4，，2分别交c于AB两点(与原点。不重合)，求|。4卜|。目的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量〃的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.

【详解】

a=09b=1,几=1,Z?=0+2=2,九<5,满足条件，

2-0

a=------=1,〃=2,b=1+4=5,n<5,满足条件，

2

«=-=2,〃=3,〃=2+10=12,〃<5,满足条件，

2

17-2

a=--------=5,〃=4,b=5+24=29,n<5,满足条件，

2

29-5

。=——-=12,〃=5,匕=12+58=70,〃=5,不满足条件，

2

输出匕=70.

故选：C

【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.

2、B

【解析】

根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段

后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离.

【详解】

由题意，白蚂蚁爬行路线为AAi-Aid—OiG-GC—C8—5A,

即过1段后又回到起点，

可以看作以1为周期，

由2020+6=3364,

白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；

同理，黑蚂蚁爬行路线为ABTBBITBIG—CIOITDIOTZM,

黑蚂蚁爬完2020段后回到Oi点，

Di

所以它们此时的距离为J5.

故选B.

【点睛】

本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.

3、A

【解析】

由AuC=6可确定集合C中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.

【详解】

由=B可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合。有{2},{2,0},{2,1},{2,0,1},共4种情况，所以选

A项.

【点睛】

考查集合并集运算，属于简单题.

4、A

【解析】

22

根据直线/：y=2x+10过双曲线，一斗=1（。＞0/＞0）的一个焦点，得c=5,又和其中一条渐近线平行，得到

a'b~

b=2a,再求双曲线方程.

【详解】

22

因为直线/：丁=2犬+10过双曲线「一马=1（。＞0,。＞0）的一个焦点，

a~h~

所以尸（一5,0）,所以c=5,

又和其中一条渐近线平行，

所以。=2。，

所以a?=5,=20»

22

所以双曲线方程为二-匕=1.

520

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5、D

【解析】

由题意可得生=詈，从而得到。5=3,再由%=3就可以得出其它各项的值，进而判断出59的范围.

【详解】

解：4+%,或其积4勺，或其商&仍是该数列中的项，

at

a2+佝或者“2%或者也是该数列中的项，

又数列｛4｝是递增数列，

q<a2<a3<...<a^f

生+%>为，a2a9>a。,只有也是该数列中的项，

。2

同理可以得到我也是该数列中的项，且有4〈血〈血〈…<幺<%,

。3”4”84%〃2

：.%=；,%=3或%=-3（舍），,>3,

根据q=1,%=3,%=9,

Hzg113537

9

同理易得出=3"a3=ya4=y»%=3"%=3"抬=3"

9

1一3彳

二.Sg=4+出+...+%=-----<36,

1-3“

故选:D.

【点睛】

本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题.

6、B

【解析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥A-C"E放入长方体中，利用体积分割求解即可.

【详解】

如图，三棱锥的直观图为A-C0E,体积

匕—C*=%方体47]一匕型£一照产~^E-ABC-%-CG4~^E-ADlF~^D1-ADC

19121

=2x4x2—x2x2x2—x—x4x2x2—x—x2x2x2=4.

23232

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了锥体的体积的求解，利用的体积分割的方法，考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.

7、C

【解析】

根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.

【详解】

z=(3—i)(a+2i)=3a+2+(6—

•••z=(3—i)(a+2i)(aeR)为纯虚数，

••・3。+2=0且6—。工0

得。=-2,此时2=卫，

33

故选：C

【点睛】

本题考查复数的概念与运算，属基础题.

8、B

【解析】

据题意以菱形对角线交点。为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出。£。尸，再根据坐标形式下向量的数量

积运算计算出结果.

【详解】

设AC与BO交于点。，以。为原点，80的方向为x轴，CA的方向为丁轴，建立直角坐标系,

则FM,-lj,0(1,0),=。F=卜|,一1)

95

所以。=—一1=-.

44

故选：B.

【点睛】

本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直

接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.

9,A

【解析】

根据函数/(x)的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.

【详解】

因为/(-x)=/(x)，所以“X)是偶函数，排除C和D.

=x-竽，/'(x)=x3+21nx-l

当x>0时，/(%)

令1(x)<0,得0<x<l,即/(x)在(0,1)上递减；令/(力>0,得x>l,即“无)在O+oo)上递增.所以

在x=l处取得极小值，排除B.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.

10、B

【解析】

利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a$.

【详解】

为等差数列,a2=2a3+l,a4=2a3+7,

a,+d=2(a,+2d)+l

，

[a1+3d=2(al+2d)+7

解得a〕=-10,d=3,

二a5=a1+4d=-10+11=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

11、D

【解析】

先求出集合N的补集AyN,再求出集合M与电N的交集，即为所求阴影部分表示的集合.

【详解】

由。=8：,N={x||x|„1},可得dN={x[x<-l或x>1},

又M={x|-3<x<l}

所以McQ,,N={x]-3<x<-l}.

故选：D.

【点睛】

本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.

12、A

【解析】

由题可得出P的坐标为(2,1),再利用点对称的性质，即可求出“和〃.

【详解】

根据题意，\,所以点尸的坐标为(2,1),

9=1

「nvc+lm(x-\-n)+\-mn1-mn

又y=-----=---------------=m+------,

x+nx+nx+n

所以m=1,〃=一2.

故选：A.

【点睛】

本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0

【解析】

直接根据向量垂直计算得到答案.

【详解】

向量-2-i与向量6=(2,1)垂直，则a-〃=(x-l,2>(2,l)=2x-2+2=0,故x=O.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.

14、§

15

【解析】

分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果.

【详解】

433211

甲被录取的概率0=1x；=：；乙被录取的概率22=鼻'5=3；

Q2128

只有一人被录取的概率〃=P1(1_P2)+P2(1-Pl)=1X^+^X-=—•

Q

故答案为：—.

【点睛】

本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.

15、-3

【解析】

作出约束条件所表示的可行域，利用直线截距的几何意义，即可得答案.

【详解】

画出可行域易知2=》+卜在点A（-1,-2）处取最小值为-3.

故答案为：-3

【点睛】

本题考查简单线性规划的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于基础题.

16、y/3+l

【解析】

由点A（a,O）,8（0,。）关于直线/对称，得到直线/的斜率，再根据直线/过点尸，可求出直线/方程，又A,B中点

在直线/上，代入直线/的方程，化简整理，即可求出结果.

【详解】

22

因为E为双曲线C：♦一4=1（。>01>0）的左焦点，所以尸（一c,0）,又点A（a,0）,B（0,8）关于直线/对称，

ab-

心8=二=一2,所以可得直线/的方程为y=f（x+c）'又A'B中点在直线/上,所以?=+整理得

0-6?ab2b\2J

b2=a2+2ac»又〃^T（Uc2-2ac-2a2=0，

故储一2e—2=0，解得e=l±6，因为e>l,所以e=l+G.

故答案为e=1+A/3

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单性质，先由两点对称，求出直线斜率，再由焦点坐标求出直线方程，根据中点在直线上,

即可求出结果，属于常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

52

17、（1）0.024；（2）分布列见解析，EX=—；（3）m=8,〃=11

【解析】

（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16,则该套净水系统中一个一级过

滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条

形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6,二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2,再由乘法原理可

求出概率；

(2)由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,

而X的可能取值为8,9,10,11,12,然后求出概率，可得到X的分布列及数学期望；

⑶由“+〃=19,且{8,9},可知若加=8,则〃=11,或若相=9,则〃=10,再分别计算两种情况下的所

需总费用的期望值比较大小即可.

【详解】

(1)由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16,则该套净水系统中一个一级过滤

器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数

恰好为16”为事件A,

因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6,二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2,所以

P(A)=0.6x0.2x0.2=0.024.

(2)由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,由题意X的可能取

值为8,9,10,11,12,

从而p(X=8)=0.2x0.2=0.04,P(X=9)=2x0.2x0.4=0.16,

P(X=10)=2x0.2x0.4+0.4x0.4=0.32,P(X=11)=2x0.4x0.4=0.32,

P(X=12)=0.4x0.4=0.16.

所以X的分布列为

X89101112

P0.040.160.320.320.16

EX=8x0.04+9x0.16+10x0.32+11x0.32+12x0.16=10.4(个).

或用分数表示也可以为

X89101112

14884

P

2525252525

_1八4，八8,,8—452,人、

EX-Sx-----i-9x-----FlOx-----Fllx-----i-12x—=—(个).

25252525255

(3)解法一：记y表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用(单位：元)

因为加+〃=19,且〃?e{8,9},

1°若"2=8,则〃=11,

EY{=160x8+400x0.4+80x11+200x0.16=2352（元）；

2°若加=9,则〃=10,

=160x9+80x10+200x0.32+400x0.16=2368（元）.

因为£匕<七匕，故选择方案：加=8,〃=11.

解法二：记〃石分别表示该客户的净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）

1°若m=8»则〃=11,

小。的分布列为

%12801680

P0.60.4

08801080

P0.840.16

该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为

坳+珞=1280xO.6+1680x0.4+880x0.84+1080x0.16=2352（%）；

2。若m-9,则右=10,

统的分布列为

$80010001200

P0.520.320.16

ET72+=160x9+800x0.52+1000x0.32+1200x0.16=2368（元）.

因为助1+<E%+E&2

所以选择方案：m=8,n=ll.

【点睛】

此题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型，考查运算求解能力，属于中档题.

18、（1）见解析（2）包=2",〃GN"（3）见解析

【解析】

(1)令〃=1可得4=E=0,即。=0.得到S,,=望，再利用通项公式和前n项和的关系求解，

n

⑵由(1)知勺=2(〃-1),〃eN*.设等比数列圾｝的公比为《,所以2==2q-',再根据«4恰为S4与仇-1

的等比中项求解，

(3)由(2)得到“22时，q,=2」+]+，+2+…+/＞泉+/+…+热

=2'一(2"--1)+1=建」求得(，再代入证明。

2"2"2

【详解】

net

(1)解：令n=1可得q=&=0,即a=0.所以S.=G^.

2时%=S,,-S,i=詈一J%，可得(〃一2)。“=(〃一I)。,-,

a〃一1aa,a.〜

当〃23时工n=-所n以nx-x%=2(〃-1).

%〃-2%%a2

显然当〃=1,2时，满足上式.所以4=2(〃-1),〃WN*.

•••4加-勺=2,所以数列｛4｝是等差数列，

(2)由(1)知。“=2(〃-1),〃eN*.

设等比数列也｝的公比为夕，所以b.=b0i=2/

a4=6,S4=12,Z?2=2q,

；包恰为S,与々T的等比中项，

所以62=12x(2q—l),

解得4=2,所以包=2",〃eN*

(3)〃之2时，Tn—c｝+c2+...+cn,

=!?+｛H*+£H*+4+六+提卜而〃22时，

1111

--i---1---：--+-...4------>-------1--------F...H------

2"-,+12,,-|+22"2"2"2"

2n-（2"-'-l）+ly-11

2"2"2

6x2+13

所以当〃=2时，T,=1+—+—+—=—

-2341212

16/1+13

uzT=C.+C,++C>1H---1--1--1--1--1--I-=----------

当〃23时，"12"23422212

“-2个

二对任意〃。2,都有127；26〃+13,

【点睛】

本题主要考查数列的通项公式和前〃项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了

转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题，

19、(1)f=4y(2)见解析，最小值为4

【解析】

(1)根据焦点尸到直线/的距离列方程，求得c的值，由此求得抛物线的方程.

(2)设出A,B,P的坐标,利用导数求得切线PA,PB的方程，由此判断出直线A3恒过抛物线焦点口.求得三角形PAB

面积的表达式，进而求得面积的最小值.

【详解】

(1)依题意4=2表2=乎，解得c=l(负根舍去)

二抛物线。的方程为f=4y

(2)设点)(。，必),8(巧,力)，尸“，一1),由*2=4y,

即y=；》2,得y，=gx

...抛物线。在点A处的切线PA的方程为y-y=5(x—xj,

2

8Py=^-x+y,-ix1

•••%=，...丁=y•;点PQ,-1)在切线pA上，

一乙

一1=:，—y①，同理，一1=j/一必②

综合①、②得，点4（不凶）,6（孙必）的坐标都满足方程

即直线4B：y=；x+1恒过抛物线焦点F（O,1）

当r=0时，此时产（0,-1）,可知：PF工AB

、.2

当r。0,此时直线PF直线的斜率为原尸=-：,得「尸_LA5

于是S&PAB=；I尸/I•IABI,而|PF|=«-0）2+（一1一1）2〃+4

把直线y=；x+l代入d=4y中消去X得y2—（2+/）y+l=0

AB=|）i+%+2|=4+/，即：S=F（4+产）14+/=；（4+产1

当r=0时，So"最小，且最小值为4

【点睛】

本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，

考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.

20、（1）见解析；（2）显

3

【解析】

（1）记Acrpo=。，连结PO,推导出BOLPO,30_L平面PAC,由此能证明平面Q4C_L平面ABC。；（2）

推导出P”LAC,P”_L平面ABC。，连结切5,由题意得，为AABD的重心，BC工BH,从而平面PHB,平

面PBC,进而N//P8是0”与平面PBC所成角，由此能求出PH与平面PBC所成角的正弦值.

【详解】

（1）证明：记AC「BD=O,

连结P。，"BD中,OB=OD,PB=PD，：.BDVPO,

BD1AC,ACj〕PO=。，平面9C,

QBOu平面ABC。，.・平面Q4C_L平面ABCD.

（2）APO6中，^POB=~,03=1,PB=6：PO=1，

2

AO->/3>OH->

3

PH2=（^y）2=I,:,PH2=PO2+OH2,

平面ABC。，3C,

连结HB，由题意得，为AA8D的重心，

-JT71

;.NHBO=-,NHBC=-,BC工平面PHB

62

••.平面PHB，平面PBC,：.H在平面PBC的射影落在PB上,

ZHPB是PH与平面PBC所成角，

.•.RtAPHB中，PH=—,PB=>H，:.BH=巫,

33

.「/n_BH2431_>/6

..sin/BPDHI7==-----x--==—•

BP3723

:.PH与平面PBC所成角的正弦值为旦.

【点睛】

本题考查面面垂直