2023年高考数学文科模拟卷01（解析版全国通用）

2023年高考模拟卷（一）

文科数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.已知集合4=卜€?^|》2-2》一340},B={x€R|log2023x<0},则AB=（）

A.(0,1]B.[0,1]C.{1}D.0

【答案】C

【详解】由d-2x-340,解得—1WX43,

乂因为xeN,所以A={0,l,2,3},

又由啕023工皿可得10g2023XW10g20231，解得0<E，

所以B={xeR|0<x〈l},

所以AB={1},

故选:C.

2.若（l+i）2=（l-i）z,则2在复平面内对应的点所在象限为)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【详解】Z=(1+"=21(1+1)=_]+[

则z=-1—i>

(l-i)(l+i)2

所以$对应点为（T，T）,在第三象限.

故选：C

3.”>b的一个充要条件是（）

A-14B.ac2>be2

C.10g2a>log,bD.1.7">1.7"

【答案】D

【详解】A：若a>b,取a=l,b=-1,则不成立，故A不符题意;

ab

B：若a>b，取c=0,则a/〉比?不成立，故B不符题意；

C：函数y=log2x在（0,他>）上单调递增,

由log/Alog",得a>6>0,故C不符题意：

D：函数y=L7,在R上单调递增，

由1.7">1.7"，得由a>b,得1.7">1.7",

所以"1.7">1.7""是的充要条件，故D符合题意.

故选：D.

4.已知向量”=（1即），=（-1,0）,§.^a-h^=a-b+6,则由=（）

A.亚B.2上

C.夜D.2瓜

【答案】C

【详解】解：因为向量。=（1,加），^=（-1,0）,

所以4-6=（2,m）,4力=一1,

又因为卜-.=4功+6,

所以>/22+nr=5，

解得病=21,

所以同=>/12+m2=>/22，

故选：C

5.将顶点在原点，始边为，轴非负半轴的锐角。的终边绕原点逆时针转过泊交单位圆

于点那么cosa的值为（）

A.立B.旦C.逑

10510。・噜

【答案】A

【详解】由点P在单位圆上，则1|J+y2=l,解得y=±1,

I（八兀、,兀（兀3兀）,,.4

由锐角即ara+则》=〈

故c°s（a+£|=V"a+£|T

（兀兀）（兀、兀兀、兀3724V272

actctcc

cos=cosIH--4-----4--）cosIH—4cjos—4FsinkH—4cjos—4=—x5—2H—5x—2=—10.

故选：A.

6.中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一

个问题"今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？"译文是"今有一女子很会织布，

每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？"，则该女子第二天织布（）

【答案】B

【详解】由题，设每日织布数的数列为｛%｝,则｛4｝为以2为公比的等比数列，

由题知斗券=5,得％=捺，所以第二天织布尺数为生=捺'2=祟

故选：B.

7.法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心

为圆心的圆我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:f+2=1（〃＞。＞0）的蒙

crb1

日圆方程为/+12=/+廿，现有椭圆C:4+£=1的蒙日圆上一个动点M,过点M作椭圆

a16

C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P,。两点，若JWPQ面积的最大值为41,则椭圆C

的长轴长为（）

A.5B.10C.6D.12

【答案】B

【详解】楠圆c的蒙日圆的半径为行Q=^/77记.

因为所以PQ为蒙日圆的直径，

所以|PQ|=2h+16,所以=4（〃+16）.

因为|网.|如21M陷L乎丝L=2（/+i6），当|MH=|MQ|=&.JL+I6时,等号成立，

所以“MPQ面积的最大值为：^\MP\-\MQ\=a2+16.

由-MPQ面积的最大值为41,得/+16=41,得。=5,

故椭圆C的长轴长为10.

故选：B

8.已知函数/（x）=sin（0x+夕）（3＞0）是在区间上的单调减函数，其图象关于直线

\loJo7

x=—S7T对称，且f（X）的一个零点是x=7571,则。的最小值为（）

3672

A.2B.12C.4D.8

【答案】C

【详解】因为函数/（x）=sin®x+e）的图象关于直线》=一凄对称,

36

所以一啰・三+°=：+〃兀，??GZ,所以夕=1兀，neZ,

362＜236）

LriLrra兀5兀..16Z/7T5〃/7T

to—<.x<—.则所以言+9<5+。<^^+夕,

183oio36lo36

71571

因为/（X）=sin（ox+9）是在区间

li'W上的单调减函数.

CDTI兀…，〜

——+02一+2E,%£Z

18"2

所以＜

5M,3兀c,,r

-----------1■夕W--F2kn,左wZ

362

conIco）、兀c/

---------F—I--------F〃|兀2—F2.ku,n£Z,攵wZ

181236J2

5am

---+—I---------Fn|兀<---F2kit,nGZ,kWZ

36236）2

-+（-+—+n|>-+2*,HEZ,iteZ

18（236）2

即＜

569rlCO2r、r

——+—4--------Fn<—+2k,neZ、keZ

361236）2

解得12（2""）4046（2%-〃+l）,/zeZ,kwZ,

因为。〉0,所以2&-〃=0或2%-〃=1,

当2%一〃=。时，0＜。46,当2左一”=1时，12＜（y＜12：

由于且f（X）的一个零点是x=＜兀，

18723672

77t

所以3x至+9=（26+1）兀,msZ,

所以=+（7+777+〃）兀=（2/九+1）兀，meZ»nGZ,

721236J

即/=8（2加一〃）+4,meZ,〃wZ.

根据0＜。46或124。＜12,可得口=4,或3=12,所以外的最小值为4.

故选：C.

9.在“2,3,5,7,11,13,17,19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和

仍为素数的概率是（）

3513

A.—B.—C.-D.—

2828714

【答案】C

【详解】这8个素数中，任取2个不同的数，有如下基本事件：

（2,3）,（2,5）,（2,7）,（2,11）,（2,13）,（2,17）,（2,19）,

（3,5）,（3,7）,（3,11）,（3,13）,（3,17）,（3,19）,

（5,7）,（5,11）,（5,13）,（5,17）,（5,19）,

（7,11）,（7,13）,（7,17）,（7,19）,

（11,13）,（11,17）,（11,19）,

（13,17）,（13,19）,

（17,19）,共有28个基本事件，

这两个数之和仍为素数的基本事件有：（2,3）,（2,5）,（2,11）,（2,17）共4个，

41

所以这两个数之和仍为素数的概率是4="，

故选:C.

10.已知函数〃力=“（37）+*的图象过点（°，1）与（3，），则函数/（可在区间［1，4］上

的最大值为（)

37c58

A.一B.一C.一D.-

2345

【答案】B

【详解】因为函数〃到=“（3-司+餐的图象过点（0,1）与（3弓）,

3b9

Q---——

所以"0）=1,/（3）=p则44,

3。=1

解得〃=b=3,

故函数〃力的解析式为：=+

3x+l

而------+------

33X+13

当且仅当*=2时取等号,

7

函数“X）在区间［1,4］上的最大值为不

故选：B.

11.己知三棱锥P-A8C的所有顶点都在球。的表面上，A3C是边长为4百的等边三角形,

若三棱锥P-ABC体积的最大值是32石，则球。的表面积是（）

A.100兀B.160TIC.200兀D.320兀

【答案】A

【详解】设ABC外接圆的半径为，贝Ur=^^-=4,

2sin60°

设球。的半径为R,当三棱锥P-ABC的高最大时，体积取最大值，高的最大值

h=yjR2-42+R-

所以白乎＞々厨X（JR2-42+7?）=326,即J/??”+R=8,解得R=5.

故球。的表面积是4K/?2=100兀.

故选：A.

x+a

12.若存在xe［l,+8）,使得关于x的不等式（1+-|Ne成立，则实数”的最小值为（）

1

A.2B.---C.In2-1D-白

ln2

【答案】D

X+。会两边取对数可得。+4）111（1+：

【详解】由［1+:21①,

令l+；=f,则x=",因为xe[l,+8),所以,€(1,2],

-+a\\nt>\t

因为so,.“哈-土

x+a

因为存在xe［l,+8）,使得关于x的不等式。+g

INe成立,

所以存在⑼⑵，去成立，故求*言的最小值即可,

令g⑶=a一白心（1⑵

1,1x(lnx)2-(x-1)2(Inx)2——(Inx)2-x--+2

+不=__YY

X-(lnX)22=22

(x-Dx(x-l)-(lnx)(%-i)(|nx)(x-l)(lnx)

令/?(x)=(lnx)2-X--+2,XG(1,2]

x

II21nx-x+—

/./z'(x)=—21nx-Id-z-=--------------

xxx

令W(x)=21nx-x+—,xw(l,2],

x

,21—x2+2x—1—(x—I)2

..・e*)=一—i一一=----2——=——2—<0，

XX7XX

所以叭X)在(1,2]上单调递减,所以0(")<奴1)=0,

.♦.以无)<0,所以/2(幻在(1,2]上单调递减，

所以〃(x)v/2(l)=0,「.g'(x)v0,

・•・g(x)在。,2]上单调递减，g(x)>g(2)=」一1,

所以实数。的最小值为

故选：D

第n卷

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知|〃|=2,曲|=2石，a-b=-4,则|a+%|=

【答案】2品

【详解】由|a|=2,|1|=2，5,“力=-4，

可得|a+昨J(a+6)2=\Ja+h2+2a-h=j4+12+2x(-4)=2夜,

故答案为：2正

41

14.已知x，y都是正数，且x+y=2,则一F+-7的最小值为

x+2y+1-

9

【答案】一##1.8

5

【详解】因为3y都是正数,且工+>=2,则（%+2）+（y+l）=5,

x+2y+I1]x+2)+(y+如

则

%+2y+1

=*+笔+注冬+2、*工+2、9

-----7)==，

5x+2y+l5Vx+2y+l5

21

当且仅当生乎="|,结合x+y=2,即1=：，丁=；时取等号，

x+2y+1

9

故答案为：—

15.已知圆f+y?=4上有且仅有四个点到直线12x-5），+c=0的距离为1,则实数c的取值

范围是__________

【答案】-13<c<13

【详解】因为圆d+V=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,

所以原点到宜线12x-5y+c=0的距离为1<r—1=2-1=1,

c

ll<1

由点到直线的距离公式可得河+同

解得一13vcvl3,

故答案为：—13<c<13.

[x-y=tn+\

16.已知f=f-2x+4,x,y满足,‘，且TWyG,则/的取值范围是_______

[x+y=3m+3

【答案】[3,12]

x-y=tn+\x=2m+2

【详解】团,解得

x+y=36+3y—m+\

(3x=2y,

X@-l<y<l,贝Ij-24x42,

对于f=x2-2x+4,可知二次函数开口向上，时称轴x=l.

故当x=l时，取至1!最小值G,M=1-2+4=3；

当x=-2时，取到最大值*=4+4+4=12；

故34dl2,即f的取值范围是[3,12].

故答案为：[3,12].

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.如图，在二ABC中，点尸在BC边上，NR4C=6O。，PC=4,AP+AC=8.

⑴求边AC的长；

⑵若△APB的面积是8君，求sin/BAP的值.

【详解】（1）在△APC中，设AC=x,

由余弦定理得PC2=AP2+AC2-2.AP-ACcosAPAC,

则42=d+(8—x)2—2%.(8—x).g,

整理得标2一24/+48=0，

解得汇=4,故AC=4.

(2)因为AC=4,AP+AC=8,

所以AP=4，所以为等边三角形，则ZBB4=120。,

所以g-APBPsinN3PA=8G,解得BP=8.

在△APH中，由余弦定理得AB?=8尸2+AP2—2•阱•APcosNBPA=112,得A3=4々，

DpAD8_4x/7]

在/MPB中，由正弦定理得..黑即sin/3AP=7F，解得sin/B4尸=4.

18.为了检测甲、乙两名工人生产的产品是否合格，一共抽取了40件产品进行测量，其中

甲产品20件，乙产品20件，分别称量产品的重量（单位：克），记重量不低于66克的产品

为“合格〃，作出茎叶图如图：

甲乙

39130

68758010459

7754371248799

874133616

6329565

⑴分别估计甲、乙两名工人生产的产品重量不低于80克的概率;

⑵根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有90%的把握认为产品是否合格与生产的工

人有关?

甲乙合计

合格

不合格

合计

n^ad-bcy

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

尸(K24,)0.150.100.05

“02.0722.7063.841

【详解】(1)设工人甲生产的产品重量不低于80克的概率为0,则心=4=",

9

工人乙生产的产品重量不低于80克的概率为攵，则殳=亮

(2)根据茎叶图得列联表如下:

甲乙合计

合格121729

不合格8311

合计202040

40x(12x3-17x8)-

〜3.135>2.706,

20x20x11x29

故判断有90%的把握认为产品是否合格与生产的」:人有关.

19.四棱锥E—ABCO中，EO上面EBC,AD=ED,底面A8CQ中，AD//BC,

ZBAD=^CBA=90°,AB=BC^2AD.

⑴若点尸在线段8c上，试确定尸的位置，使面QE尸_1面438,并给出证明;

(2)若EF=芯,求四棱锥E-43co的体积.

【详解】(1)当点尸是BC的中点时，面。面ABCD证明如下:

由点尸是8c的中点，得BF=gBC,又ADHBC,BC=2AD,

所以AD//BF,AD=BF,四边形ADFB是平行四边形.

根据NB4L>=NC54=90。，得四边形ADFB是矩形，故BC_LDF.

因为EC面EBC,BCu面EBC,所以3C_La)，

因为。DF^\DEF,即u面。EF，

于是BC_Z面£>£户，由于BCu面ABC£>,因此面DE尸，面ABC£).

E

(2)因为面DEF，面ABCD，面DEFc面ABCD=DF,

所以过点E作EOJ.Z)/于点。，EOu面Z)EE,则E。_L面ABCZ),£0的长就是四棱锥

E-43C。的高.

因为£»，面£8。.所以E£>_LEF,在RtADEF中，EF=BDF=AB=2AD=2ED.

由勾股定理，得EF?+ED?=DF?，所以3+EL>2=4£r>2,

于是E£>=1,DF=2,根据EO-£)F=£D-EF,得E0=±-.

2

根据AB=O尸=2,以及BC=/W=2,AD=-AB=l,ZBAD=ZCBA=90°,

2

得四边形ABCD的面积为SABCD=g(A。+BC)-AB=gx(1+2)x2=3,

因此四棱锥E—ABC。的体积/ABC。=』SMC。xE0=』x3x3=且.

c_zioLtz3/iDCtz322

20.己知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点A与点8（2,0）,过点（1,0）的直线/与

椭圆C交于P,。两点，直线BP,BQ分别交直线x=3于E,尸两点.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵尸后•。天是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

【详解】（1）设椭圆C的方程为w%2+wy2=i（加>0,〃>o,且

m15〃1

__।____=-1m=—

因为椭圆C过点A与点8(2,0),所以416,解得4.

4〃i=1n=1

所以椭圆C的标准方程为二+）,2=].

4

（2）设直线/：x="+l,2（玉,％），0（孙为）

x=ty+\

由,d2，得（。+1）2+-2-4=0,

—+y2=1

14•

即1+4）y2+2）-3=0,则y+%=_号,x%=

直线BP,磁的方程分别为广力（x-2）,产会（,一2）.

令％=3,则E3,>1，尸3,

I玉一2%一2）

（y.（3-x）^x（2-yj'

则PE=3-与,止——2-》,

I玉一2J

%（3-々）、

QF=3-X2,

二o

所以PE.QF=（2*）（2-仇）+）喘-严一；2）

⑷一职92Tl

=[—6+.4叫"^

_5,+16_5（/+4）-45__1

川产+4）412+4）4Z2+4-

因为r+424,所以0〈工vJ/W?-1<：.

r+444r+44

即PE-QF的取值范围为1,1^.

所以PE-。户存在最小值，且最小值为1.

21.已知函数/（X）=-x?+2（，〃+l）x-2，〃lnx,xe（0,+<»）.

⑴讨论〃x）的单调区间；

⑵当机“时，试判断函数/（X）的零点个数解：

【详解】（1）求导得f'M=_2（±1）（口.

X

当帆VO时，由户")>0可知0<x<l；由r(x)<0可知X>1；

当0<，"<1时，由/<勾>0可知m<x<l；由/'(x)<0可知x>l或0cx<m；

当〃?=1时，/,(x)<0；

当R>1时，由制x)>0可知I<x<a；由/'(x)<0可知或0cxe1.

综上可得，当aMO时，“X)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,y)；

当0<加<1时，的单调递增区间为(见1),单调递减区间为(0,〃?)，(1,—)；

当，”=1时，f(x)的单调递减区间为(0,+8),无单调递增区间；

当卬>1时,〃力的单调递增区间为(1,温)，单调递减区间为(0,1),(门内).

(2)①当〃?=0时，/(x)=-x2+2x,令/(x)=0,得x=2或0,

又x>0,所以〃x)仅有1个零点；

②当m=l时，/(x)在(。,用)上单调递减，又/(1)=3>0,〃4)=—21n4<0,

所以f(x)仅有1个零点：

③当0<“<1时，/(x)在(0,加)，(1,用)上单调递减，在(见1)内单调递增，

又/(，〃)=〃?+>0,/(2/T7+2)=-2wln(2w+2)<0,所以函数/(x)仅有1个零

点；

④当勿>1时，/(x)在(0,1),(皿3)上单调递减，在(1,加)内单调递增，又/(1)=2〃?+1>0,

/(2m+2)=-2m\n(2m+2)<0,所以/(x)仅有1个零点，

综上可知，机±0时，函数/(X)有且仅有1个零点.

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做

的第一个题目计分.