4直线的交点坐标与距离公式

1

§3.3直线的交点坐标与距离公式做一做:讨论下列二元一次方程组解的情况:无数组无解重合平行一组解相交

几何元素及关系代数表示方法提升(1)若方程组有且只有一个解,(2)若方程组无解,(3)若方程组有无数解,则l1//l2;则l1与l2相交;则l1与l2重合.一、两条直线的交点:相交重合平行例1.判断下列各组直线的位置关系：练习:三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x－y=10相交于一点，求a的值.a=－1思考探究:直线系：具有某种共同特征的所有直线的集合二、共点直线系方程:经过直线与直线的交点的直线系方程为:说明：此直线系中不包括直线l2所以直线的方程为：解:(1)设经过二直线交点的直线方程为：例2:求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程。

(1)过点(2,1)例2:求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程。

(2)和直线3x-4y+5=0垂直解:(2)设经过二直线交点的直线方程为：所以直线的方程为：例2:求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程。

(3)和直线2x-y+6=0平行另外还有平行线系、过定点的线系等。例3.求证：无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。解法1：将方程变为：解得：即：故直线恒过解法2：令m=1，m=-3代入方程，得：解得：所以直线恒过定点例3.求证：无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。练习1、已知直线y=kx+2k+1与直线

y=-x+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（）.12A.-6＜k＜2B.-＜k＜016C.-＜k＜

D.＜k161212c14练习y=x2x+3y-2=04x-3y-6=0x+2y-11=05．若直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0求证：无论m为何值时，所给直线恒过定点。小结1.两条直线的交点坐标的求法，从方程的角度判断直线之间的位置关系。2.共点直线系及其应用求:两点间的距离已知：和，xoy(1)y1=y2探索求:两点间的距离已知：和，探索(2)x1=x2xoy求:两点间的距离已知：和，探索xoy(3)一、两点间的距离:已知平面上两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)间的距离公式：(1)x1≠x2,y1=y2(2)x1=

x2,y1≠

y2特例：(3)原点O与任一点P(x,y)的距离：(1)A(6,0),B(-2,0)(2)C(0,-4),D(0,-1)(3)P(6,0),Q(0,-2)(4)M(2,1),N(5,-1)求下列两点间的距离：两点距离公式逆应用①已知点A(x,0)和B(2,3)的距离为3,求x的值。若|AB|为3或者2呢？意义练习应用—判定△的形状

已知△ABC的三个顶点是A(-1,0)、B（1，0）、C，试判断三角形的形状。练习问题：初中我们证明过这样一个问题：直角三角形斜边的中线长等于斜边的一半。你能用解析几何的方法证明此问题吗？

通过建立平面直角坐标系，利用点的坐标，从代数角度研究几何问题。例1:证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。yxoB

CAM(0,0)(a,0)(0,b)解：以顶点C为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则有C(0,0)用解析法(坐标法)证明平面几何问题的步骤：第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.xyP0

(x0,y0)O|y0||x0|x0y0探索点到直线的距离:xyP0

(x0,y0)O|x1-x0||y1-y0|x0y0y1x1探索点到直线的距离:xyP0(x0,y0)Ox0y0SRQd探索点到直线的距离:注：1.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推导的；2.如果A或B中有一个为0，此公式也成立；3.用此公式时直线方程要先化成一般式。二、点到直线的距离:已知P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式：2已知点P（-1，2）和直线

l：2x+y-10=0，求P点到直线l的距离。Pxl：2x+y-10=0l′Q0y解：过P做与l垂直的直线l’，垂足为点Q。由已知得l’的方程为：x-2y+5=0∴P点到直线l的距离为2已知点P（-1，2）和直线

l：2x+y-10=0，求P点到直线l的距离。解法二:

(用函数的思想)设直线l上任意一点M，坐标为（x，10-2x),则∴当x=3时，|PM|达到最小，最小值为即P点到直线l的距离为2已知点P（-1，2）和直线

l：2x+y-10=0，求P点到直线l的距离。ＲＳl：2x+y-10

=0Pl′Q0xy∵|PR|=5,|PS|=10,|RS|=法三：过P分别作x轴和y轴的平行线，交l于R,S两点。则直线PR和PS分别为y=2,x=-1.(1)

P(-1,2),2x+y-10=0(2)

P(-1,2),3x=2(3)

P(0,0),4x+7y=37(4)

P(-1,-2),x+y=0求下列点到直线的距离：例5用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。证明:建立如图直角坐标系,设P(x,0),x∈()OA(a,0)C(-a,0)B(0,b)xyEFP可求得lAB:()lCB:()|PE|=()|PF|=()A到BC的距离h=()因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。练习练习Oyxl2l1(x0,y0)

PQ任意两条平行直线都可以写成如下形式：l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0探索d三、两条平行直线的距离:注:1.用公式时，直线方程化为一般式;2.用两平行线间距离公式须保证方程中x、y的系数对应相同。两条平行直线间的距离公式：l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(1)

2x+3y-8=0，2x+3y+18=0(2)

3x+4y=10，6x+8y-10=0求下列两条平行线的距离：求两条平行直线Ax+By+=0与Ax+By+

=0的距离。解：在直线上Ax+By+=0任取一点，如P(x0,y0)则两平行线的距离就是点P(x0,y0)到直线Ax+By+

=0

的距离。（如图）因此，d=P例、直线3x+4y-1=0到直线6x+8y+9=0的距离例、到直线3x+4y-2=0与直线6x+8y+10=0的距离相等的点集的直线方程课堂小结三种距离；一个方法数形结合与对称问题基础知识主要涉及以下问题：1.求点关于定点的对称点的坐标；2.求点关于直线的对称点的坐标；3.求直线关于定点对称的直线方程；4.求直线关于直线的对称直线方程；5.求圆关于定点对称的圆的方程；6.求圆关于直线对称的圆的方程.

1.中点坐标公式：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则线段AB的中点

P(x0，y0)的坐标公式2.中心对称问题：设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）.

点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.

由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标.一般情形如下：设点P(x0，y0)关于直线y=kx+b的对称点为P'(x'，y')，3.点关于直线成轴对称问题则有·k=－1，=k·+b

可求出x'、y'.特殊地:

点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P'(2a－x0,y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）.点P（x0，y0）关于直线x—y=0（即y=x）的对称点为P'(y0,x0)；点P(x0，y0)关于直线x+y=0(即y=-x)的对称点为P'(-y0,-x0)。

一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：(1)曲线f(x，y)=0关于已知点A(a，b)的对称曲线的方程是f(2a－x，2b－y)=0.(2)曲线f(x，y)=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：4.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题设曲线f(x，y)=0上任意一点为P(x0，y0)，P点关于直线y=kx+b的对称点为P'(x，y)，则由(2)知，P与P'的坐标满足从中解出x0、y0，代入已知曲线f(x，y)=0，应有f(x0，y0)=0.利用坐标代换法就可求出曲线f(x，y)=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.5.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）；（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）；（3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）；（4）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）；（5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）.两点P和Q关于点M对称的几何特征xyOPQ．M点M是线段PQ的中点已知点P(x0,y0),点M(a,b),则点P关于点M的对称点Q坐标为(2a-x0,2b-y0)求点P（-2,1）关于直线l：x=3的对称点Q的坐标。②两点A、A1关于直线l对称，满足哪两个几何条件？分析:①求点A1的坐标，需要几个独立条件？yxlOAA1例1求点A(－1,－4)关于直线l:x＋y＋1＝0的对称点A1的坐标.题型一：求已知点关于定直线的对称问题

思路分析yxlOAA1①直线AA1⊥l；②A、A1到直线l的距离相等.思路1例1求点A(－1,－4)关于直线l:x＋y＋1＝0的对称点A1的坐标.求解过程解法1

故所求对称点为A1(3,0).设点A1(a,b),由AA1⊥l及点线距离公式,得yxlOAA1M例1求点A(－1,－4)关于直线l:x＋y＋1＝0的对称点A1的坐标.思路分析yxlOAA1①直线AA1⊥l；②线段AA1的中点M在直线l上.

思路2M求解过程解法2

故所求对称点为A1(3,0).yxlOAA1M由已知,得方程组设点A1(a,b),则线段AA1的中点为

∵AA1⊥l，∴直线AA1的方程是y＋4＝x＋1，即x－y－3＝0.求解过程解法3

yxlOAA1M又直线l的方程是x＋y＋1＝0，设点A1(a,b),由中点公式，得所求对称点为A1(3,0).联立方程组，解得回顾反思（1）基本方法：待定系数法（2）思维策略：①寻找两个独立条件；②将几何条件代数化.（3）数学思想：几何条件数量关系数形结合垂直关系斜率关系点在线上点的坐标满足直线方程.变1若点(3,-2)与(a，3)关于直线2x-by-12=0对称，求a+b的值例2已知直线l1与直线l:x＋y＋1＝0关于点A(－1,－4)对称，求直线l1的方程.题型二：求已知直线关于定点的对称问题

例2已知直线l1与直线l:x＋y＋1＝0关于点A(－1,－4)对称，求直线l1的方程.yxlOA.l1思路1:根据两点确定一条直线，可分别求出直线l上的两点关于点A的对称点,再由两点式写出直线方程.答案l1:x＋y＋9＝0－1－1(－2,－7)(－1,－8)归纳：线点对称点点对称例2已知直线l1与直线l:x＋y＋1＝0关于点A(－1,－4)对称，求直线l1的方程.yxlOA.l1思路2：利用几何知识可以证明：两条直线必平行.

可设l1:x＋y＋m＝0，再求出l上一点关于点A的对称点，由点斜式即得所求直线为l1:x＋y＋9＝0.(－1,－8)－1例2已知直线l1与直线l:x＋y＋1＝0关于点A(－1,－4)对称，求直线l1的方程.思路3：由于两条直线平行,且与点A等距离.

可设l1:x＋y＋m＝0，由点到直线的距离公式，可得m=9或m=1（舍去）.所求直线为l1:x＋y＋9＝0.yxlOA.l1例2已知直线l1与直线l:x＋y＋1＝0关于点A(－1,－4)对称，求直线l1的方程.思路4：直线l1就是直线l上任意一点关于点A的对称点的集合.

yxlOA.l1例2已知直线l1与直线l:x＋y＋1＝0关于点A(－1,－4)对称，求直线l1的方程.yxlOA.l1解设直线l1上任意一点(x,y)关于点A的对称点为(x0,y0)，由中点公式,得

又x0＋y0＋1＝0,代入整理,得l1:x＋y＋9＝0.

(x,y)

(x0,y0)回顾反思

求一条直线关于一定点的对称直线，通常有以下三种方法：⑴取特殊点：在已知直线上取两个特殊点,求出它们关于定点的对称点,两点确定对称直线.

⑵平行关系：关于定点对称的两条直线互相平行，由点斜式确定对称直线.⑶求轨迹方法：求出已知直线上任意一点关于定点的对称点的轨迹方程.2x＋11y－38＝0

试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:x-y+1=0对称的直线l的方程。直线关于直线对称l1l2l1'例3求直线a：2x+y-4=0关于l：3x+4y-1=0对称的直线b的方程.思路分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：题型三：求已知直线关于定直线的对称直线问题（3）a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；解：方法一：由2x+y－4=03x+4y－1=0解得a与l的交点E（3，－2），E点也在b上.在直线a：2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0）求直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线b的方程.由解得B（，－）.由两点式得直线b的方程为=即2x+11y+16=0.设P(x,y)是所求对称直线b上一点，关于直线l的对称点为Q(x0,y0)解得求直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线b的方程.解法二：(利用对称关系)又∵Q(x0,y0)在a上，即方程是2x+11y+16=0.方法三：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q(x0，4-2x0)，且P、Q两点关于直线l：3x+4y-1=0对称，则有消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.求直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线b的方程.点评与感悟：由平面几何知识可知，若直线a、b关于直线对称，则应有下列几何性质：（1）若a与b相交，则l是a、b交角的平分线；若a与b平行，则a∥b，且a、b与l距离相等。（2）点A直线a上，则A点关于l的对称B一定在直线b上，并且AB⊥l,AB的中点在l上。（3）设P(x,y)是所求直线b上一点，则P为关于l的对称点P'的坐标适合a的方程。B基础知识1.设A、B是位于直线l异侧的两点，则直线l上与A、B两点距离之和最小的点就是线段AB与直线l的交点.2.设A、B是位于直线l同侧的两点，则直线l上与A、B两点距离之差的绝对值最大的点就是线段AB与直线l的交点.平面几何中的两个最值问题:问题研究1.若A、B是位于直线l同侧的两点，如何在直线l上求一点C，使点C与A、B两点距离之和最小？2.若A、B是位于直线l异侧的两点，如何在直线l上求一点C，使点C与A、B两点距离之差的绝对值最大？例4

设点A(3，0)，B(5，－1)，试在直线l:x＋y＋1＝0上求一点C，使得C点到A和B两点的距离之和最小.思考1：能否从几何角度入手，寻找破题之策？yxlO.BCA思考2：如果A、B位于直线两侧，你会解决它吗？yxlO.BCA.题型四：求距离最值问题

例4（1）设点A(3，0)，B(5，－1)，试在直线l:x＋y＋1＝0上求一点C，使得C点到A和B两点的距离之和最小.思路分析思路2：找对称点，化“同侧”为“异侧”！yxlO.BCAA1A1yxlO.BCA解求出A点关于l的对称点为A1(－1，－4).则AC+BC=A1C+BC≥A1B，当且仅当A1,C,B三点共线时取等号，则点C就是直线A1B与直线l的交点