2022中考数学第一轮复习第6章第22讲与圆有关的位置关系(共25张)

第六章圆

第22讲与圆有关的位置关系考点梳理过关考点1

点与圆的位置关系如果圆的半径是r，点到圆心的距离是d(1)点在圆外⇔①__d>r__；(2)点在圆上⇔②__d＝r__；(3)点在圆内⇔③__d<r__考点2

外接圆与外心不在同一条直线上的三点确定一个圆，三角形外接圆的圆心叫做①__外心__；外心到三角形三个顶点的距离相等提示►三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心在斜边的中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部考点3直线与圆的位置关系直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数①__2__②__1__0圆心到直线的距离d与半径r的关系d<rd＝r③__d>r__公共点的名称交点切点无直线名称割线切线无考点4切线的性质与判定性质定理圆的切线垂直于经过切点的①__半径__判定定理过半径的外端并且②__垂直于__半径的直线是圆的切线切线长经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；过圆外一点所画的圆的两条切线长③__相等__，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角考点5内切圆与内心内切圆与三角形各边都①__相切__的圆叫做三角形的②__内切圆__内心三角形③__内切圆__的圆心叫做三角形的④__内心__，三角形的内心就是三角形三条⑤__内角平分线__的交点拓展►若已知直角三角形的三条边分别为a、b、c，且c为斜边，内切圆半径为r，则r＝(a＋b－c)典型例题运用类型1直线与圆的位置关系【例1】如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA＝6，OB＝8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动．设运动时间为t秒(0<t≤5)，以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC.(1)当t为何值时，点Q与点D重合？(2)当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．【思路分析】(1)由题意知，CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则AD＋OQ＝OA，列出方程即可求出t的值；(2)由于0<t≤5，当⊙Q经过A点时，OQ＝4，此时t＝4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长．技法点拨►解答这类综合题时需要用到直线与圆的位置关系、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解题时需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答．变式运用►1.已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个D

变式运用►2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边BC上，以A为圆心，AD长为半径画圆弧，交边BC于另一点E，交边AC于F，连接AE，EF.(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)若∠ADB＝3∠CEF，请判断EF与AB有怎样的位置关系？并说明理由．解：(1)证明：由题意可知，AD＝AE＝AF，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADB＝∠AEC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(AAS)．∠ADB＝∠AEC，∠B＝∠C，AB＝AC，(2)∵∠ADB＝∠AEC，∠ADB＝3∠CEF，∴∠AEF＝2∠CEF.∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝2∠CEF，∴∠CEF＝∠C.∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，∴∠CEF＝∠B，∴EF∥AB.类型2切线的性质与判定【例2】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若DE＝1，BC＝2，求劣弧的长【思路分析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，求得∠DAC＝∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF＝∠AEC＝90°，于是得到结论；(2)连接OD，DC，根据∠DAC＝∠BAC，得DC＝BC.根据三角函数的定义得到∠ECD＝30°，得到∠OCD＝60°，得到∠BOC＝∠COD＝60°，OC＝2，于是得到结论．技法点拨►(1)遇切线，连半径，得直角(垂直)；(2)证明切线的方法：①待证直线与圆有公共点时，先把公共点与圆心相连，再证垂直；②待证直线与圆未指明有公共点时，先过圆心作待证直线的垂线，再证垂线段之长等于半径．变式运用►3.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是()A变式运用►4.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，⊙O半径为4，∠B＝30°.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．解：(1)证明：如图所示，连接OD.则OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠ODB＝∠C.∴OD∥AC.∴∠ODE＝∠DEC＝90°.∴DE是⊙O的切线.真题全练命题点

切线的性质与判定1．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于()A．20°B．35°C．40°D．55°AA∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝180°－∠ABC＝125°，∠BAC＝90°－∠ABC＝35°.∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA＝∠ABC＝55°，∠AMC＝90°.∵∠ADC＝∠AMC＋∠DCM，∴∠DCM＝∠ADC－∠AMC＝35°，∴∠ACD＝∠MCA－∠DCM＝55°－35°＝20°.2．如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B＝30°，则线段AE的长为__3．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝___．50°50°连接BC、OF.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠ACF＝65°，∴∠FCB＝25°，∴∠BOF＝50°，∠FOH＝130°.直径AB过弦CD的中点，∴AB⊥CD，即∠BHE＝90°.∵EF为⊙O的切线，∴∠OFE＝90°.∴∠E＝360°－90°－90°－130°＝50°.4．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正确的个数为()A．4个B．3个C．2个D．1个

A5．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是()A．OC∥AEB．EC＝BCC．∠DAE＝∠ABED．AC⊥OEDD由C为的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC⊥BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE⊥BE，即可确定出OC∥AE，选项A正确；由C为利用等弧对等弦，得到EC＝BC，选项B正确；由AD为⊙O的切线，得到AD⊥OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE＝∠ABE，选项C正确；AC不一定垂直于OE，选项D错误．6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则的的长为()A．πB．2πC．3πD．5πBB如图所示，连接OB.∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°.∵∠ABC＝120°，∴∠OBC＝30°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，∴得分要领►证明圆的切线的基本方法：一、要证明是圆的切线的直线与圆有公共点，且存在连接公共点的半径，此时可直接根据“经过半径的外端，并且垂直于这条半