高考数学二轮专题复习与策略 仿真冲刺卷2 理-人教版高三数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知R是实数集，M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＜1))))，N＝{y|y＝eq\r(x－1)}，则N∩∁RM＝()A．(1,2) B．[0,2]C．∅ D．[1,2]B[∵M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＜1))))＝{x|x＜0或x＞2}，N＝{y|y＝eq\r(x－1)}＝{y|y≥0}，故有N∩∁RM＝{y|y≥0}∩{x|0≤x≤2}＝[0，＋∞)∩[0,2]＝[0,2]，故选B．]2．已知eq\f(a＋2i,i)＝b－i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝()A．－1 B．1C．2 D．3D[因为eq\f(a＋2i,i)＝2－ai＝b－i(a，b∈R)，所以a＝1，b＝2，a＋b＝3，故选D.]3．已知a＞1，f(x)＝ax2＋2x，则f(x)＜1成立的一个充分不必要条件是()【导学号：67722091】A．0＜x＜1 B．－1＜x＜0C．－2＜x＜0 D．－2＜x＜1B[f(x)＜1成立的充要条件是ax2＋2x＜1.∵a＞1，∴x2＋2x＜0，∴－2＜x＜0，∴f(x)＜1成立的一个充分不必要条件是－1＜x＜0，故选B.]4．O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→)))·(eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→)))＝0，则△ABC是()A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形B[设BC的中点为D，∵(eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→)))·(eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→)))＝0，∴eq\o(CB,\s\up10(→))·(2eq\o(OD,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→)))＝0，∴eq\o(CB,\s\up10(→))·2eq\o(AD,\s\up10(→))＝0，∴eq\o(CB,\s\up10(→))⊥eq\o(AD,\s\up10(→))，故△ABC的BC边上的中线也是高线.故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选B．]5．一个四棱锥的三视图如图1所示，其中正视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是()图1A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2A[由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，上底是1，下底是2，梯形的高是eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，四棱锥的高是1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)，所以四棱锥的体积是eq\f(1,3)×eq\f(1＋2×\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)，故选A.]6．已知函数f(x)＝eq\f(1,x－lnx－1)，则y＝f(x)的图象大致为()A[令g(x)＝x－lnx－1，则g′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)，由g′(x)＞0，得x＞1，即函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，由g′(x)＜0得0＜x＜1，即函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以当x＝1时，函数g(x)有最小值，g(x)min＝g(1)＝0.于是对任意的x∈(0,1)∪(1，＋∞)，有g(x)≥0，故排除B、D，因函数g(x)在(0,1)上单调递减，则函数f(x)在(0,1)上递增，故排除C，故选A.]7．已知函数y＝3sinωx(ω＞0)的周期是π，将函数y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))(ω＞0)的图象沿x轴向右平移eq\f(π,8)个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)＝()A．3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,8))) B．3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))C．3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,8))) D．3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))B[∵函数y＝3sinωx(ω＞0)的周期是eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.将函数y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))(ω＞0)的图象沿x轴向右平移eq\f(π,8)个单位，得到函数y＝f(x)＝3coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))－\f(π,2)))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)－\f(π,2)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图象，故选B.]8．正项等比数列{an}中，存在两项am，an使得eq\r(aman)＝4a1，且a6＝a5＋2a4，则eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值是()【导学号：67722092】A.eq\f(3,2) B．2C.eq\f(7,3) D.eq\f(25,6)A[在等比数列中，∵a6＝a5＋2a4，∴a4q2＝a4q＋2a4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)．∵eq\r(aman)＝4a1，∴eq\r(a\o\al(2,1)·2m＋n－2)＝4a1，即2m＋n－2＝16＝24，∴m＋n－2＝4，即m＋n＝6，∴eq\f(m,6)＋eq\f(n,6)＝1，∴eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,6)＋\f(n,6)))＝eq\f(1,6)＋eq\f(4,6)＋eq\f(4m,6n)＋eq\f(n,6m)≥eq\f(5,6)＋2eq\r(\f(4m,6n)·\f(n,6m))＝eq\f(5,6)＋2×eq\f(2,6)＝eq\f(9,6)＝eq\f(3,2)，当且仅当eq\f(4m,6n)＝eq\f(n,6m)，即n＝2m时取等号，故选A.]9．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≥0，,fx＋1x＜0，))若方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0) B．[0,1)C．(－∞，1) D．[0，＋∞)C[函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≥0，,fx＋1x＜0))的图象如图所示，作出直线l：y＝a－x，向左平移直线l观察可得函数y＝f(x)的图象与函数y＝－x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，即有a＜1，故选C.]10．设f(x)的定义域为D，若f(x)满足下面两个条件，则称f(x)为闭函数．①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]．如果f(x)＝eq\r(2x＋1)＋k为闭函数，那么k的取值范围是()A．－1＜k≤－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)≤k＜1C．k＞－1 D．k＜1A[法一：∵f(x)＝eq\r(2x＋1)＋k为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上的增函数，又f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fa＝a，,fb＝b，))即f(x)＝x在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上有两个不等实根，即eq\r(2x＋1)＝x－k在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上有两个不等实根．∴问题可化为y＝eq\r(2x＋1)和y＝x－k在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上有两个不同交点．对于临界直线m，应有－k≥eq\f(1,2)，即k≤－eq\f(1,2).对于临界直线n，y′＝(eq\r(2x＋1))′＝eq\f(1,\r(2x＋1)).令eq\f(1,\r(2x＋1))＝1，得切点P的横坐标为0，∴P(0，－k)．∴n：y＝x＋1，令x＝0，得y＝1，∴－k＜1，即k＞－1.综上，－1＜k≤－eq\f(1,2).法二：∵f(x)＝eq\r(2x＋1)＋k为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上的增函数，又f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fa＝a，,fb＝b，))即f(x)＝x在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上有两个不等实根，即eq\r(2x＋1)＝x－k在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上有两个不等实根．化简方程eq\r(2x＋1)＝x－k，得x2－(2k＋2)x＋k2－1＝0.令g(x)＝x2－(2k＋2)x＋k2－1，则由根的分布可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))≥0，,k＋1＞－\f(1,2)，,Δ＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,2)))2≥0，,k＞－\f(3,2)，,k＞－1，))解得k＞－1.又eq\r(2x＋1)＝x－k，∴x≥k，∴k≤－eq\f(1,2).综上，－1＜k≤－eq\f(1,2)，故选A.]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：广告费x(万元)3456销售额y(万元)25304045根据上表可得回归直线方程eq\o(y,\s\up10(^))＝7x＋eq\o(a,\s\up10(^))，若广告费用为10万元，则预计销售额为________万元．73．5[eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)(3＋4＋5＋6)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)(25＋30＋40＋45)＝35.由35＝7×4.5＋eq\o(a,\s\up10(^))，得eq\o(a,\s\up10(^))＝3.5.所以eq\o(y,\s\up10(^))＝7x＋3.5，当x＝10时，eq\o(y,\s\up10(^))＝73.5]12．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则eq\f(a1＋a22,b1b2)的取值范围是________．【导学号：67722093】[4，＋∞)∪(－∞，0][在等差数列中，a1＋a2＝x＋y.在等比数列中，xy＝b1b2.∴eq\f(a1＋a22,b1b2)＝eq\f(x＋y2,xy)＝eq\f(x2＋2xy＋y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋2.当xy＞0时，eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2，故eq\f(a1＋a22,b1b2)≥4；当xy＜0时，eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≤－2，故eq\f(a1＋a22,b1b2)≤0.]13．观察下列等式：23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19,53＝21＋23＋25＋27＋29，…，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．10[由题意可得第n行的左边是m3，右边是m个连续奇数的和．设第n行的最后一个数为an，则有a2－a1＝11－5＝6＝2×(1＋2)＝1×2＋4，a3－a2＝19－11＝8＝2×(2＋2)＝2×2＋4，a4－a3＝29－19＝10＝2×(3＋2)＝3×2＋4，…an－an－1＝2(n－1＋2)＝(n－1)×2＋4，以上(n－1)个式子相加可得an－a1＝n2＋3n－4，故an＝n2＋3n＋1，即n2＋3n＋1＝109，解得n＝9.∴m＝n＋1＝9＋1＝10.]14．已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝eq\f(8,2m＋1)(m＞0)，直线l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，直线l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a和b.当m变化时，eq\f(b,a)的最小值为________．【导学号：67722094】8eq\r(2)[设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，则－log2xA＝m，log2xB＝m，－log2xC＝eq\f(8,2m＋1)，log2xD＝eq\f(8,2m＋1)，∴xA＝2－m，xB＝2m，xC＝，xD＝，∴a＝|xA－xC|，b＝|xB－xD|，又m＞0，∴m＋eq\f(8,2m＋1)＝eq\f(1,2)(2m＋1)＋eq\f(8,2m＋1)－eq\f(1,2)≥2eq\r(\f(1,2)×8)－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，当且仅当eq\f(1,2)(2m＋1)＝eq\f(8,2m＋1)，即m＝eq\f(3,2)时取“＝”号，∴eq\f(b,a)≥2＝8eq\r(2).]15．如图2放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)有下列判断：①函数y＝f(x)是偶函数；②对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；③函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递减；④eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\f(π＋1,2).其中判断正确的序号是________.(填序号)图2①②④[当－2≤x≤－1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的eq\f(1,4)圆，当－1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为eq\r(2)的eq\f(1,4)圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的eq\f(1,4)圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的eq\f(1,4)圆，∴函数的周期是4.因此最终构成图象如下：①根据图象的对称性可知函数y＝f(x)是偶函数，∴①正确．②由图象分析可知函数的周期是4，∴②正确．③函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递增，∴③错误．④根据积分的几何意义可知eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\f(1,8)×π×(eq\r(2))2＋eq\f(1,2)×1×1＋eq\f(1,4)π×12＝eq\f(π,2)＋eq\f(1,2)，∴④正确．]三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)如图3，△ABC中，已知点D在BC边上，满足eq\o(AD,\s\up10(→))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝0.sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，BD＝eq\r(3).(1)求AD的长；(2)求cosC.图3[解](1)∵eq\o(AD,\s\up10(→))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝0，∴AD⊥AC，∴sin∠BAC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠BAD))＝cos∠BAD.2分∵sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，∴cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3).在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，4分即AD2－8AD＋15＝0，解得AD＝5或AD＝3.6分由于AB＞AD，∴AD＝3.(2)在△ABD中，由正弦定理可知eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AB,sin∠ADB).又由cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，可知sin∠BAD＝eq\f(1,3)，8分∴sin∠ADB＝eq\f(ABsin∠BAD,BD)＝eq\f(\r(6),3).10分∵∠ADB＝∠DAC＋∠C，∠DAC＝eq\f(π,2)，∴cosC＝eq\f(\r(6),3).12分17．(本小题满分12分)为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当(即取胜对手的概率彼此相等)．(1)在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率；(2)记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望E(ξ)．[解](1)在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛4场要胜3场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(5,16).4分(2)记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ＝3,4,5.P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,4)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,8)，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(3,8).8分所以ξ的分布列为ξ345Peq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(3,8)10分数学期望E(ξ)＝3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(3,8)＋5×eq\f(3,8)＝eq\f(33,8).12分18．(本小题满分12分)已知在等比数列{an}中，an＋1＞an对n∈N*恒成立，且a1a4＝8，a2＋a3＝6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足eq\f(a1,b1)＋eq\f(3a2,b2)＋…＋eq\f(2n－1an,bn)＝n，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn.[解](1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＞a2，,a1a4＝a2a3＝8，,a2＋a3＝6))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,a3＝4))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝2，,a1q2＝4))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2，))∴an＝a1qn－1＝2n－1.5分(2)∵eq\f(a1,b1)＋eq\f(3a2,b2)＋…＋eq\f(2n－3an－1,bn－1)＋eq\f(2n－1an,bn)＝n，∴eq\f(a1,b1)＋eq\f(3a2,b2)＋…＋eq\f(2n－3an－1,bn－1)＝n－1(n≥2)，∴eq\f(2n－1an,bn)＝1，bn＝(2n－1)an＝(2n－1)2n－1(n≥2)．又∵eq\f(a1,b1)＝1，∴b1＝a1＝1＝(2×1－1)21－1，∴bn＝(2n－1)2n－1.8分又Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，∴Sn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)2n－1，①2Sn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，②10分由①－②得－Sn＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)2n＝1＋2×eq\f(21－2n－1,1－2)－(2n－1)2n＝1＋2(2n－2)－(2n－1)2n＝1＋[2－(2n－1)]2n－4＝(3－2n)2n－3，∴Sn＝(2n－3)2n＋3.12分19．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC­A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.图4(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；(3)求二面角B­B1D­C的余弦值.【导学号：67722095】[解](1)证明：取AB中点为O，连接OD，OB1.因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，所以AB⊥平面B1OD，因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD.由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1＝B，所以OD⊥平面ABB1A1.又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1.4分(2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直．以O为坐标原点，eq\o(OB,\s\up10(→))的方向为x轴的方向，|eq\o(OB,\s\up10(→))|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.由题设知B1(0,0，eq\r(3))，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，eq\r(3)).6分则eq\o(B1D,\s\up10(→))＝(0,1，－eq\r(3))，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(2,2,0)，eq\o(CC1,\s\up10(→))＝(－1,0，eq\r(3))．设平面ACC1A1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·eq\o(AC,\s\up10(→))＝0，n·eq\o(CC1,\s\up10(→))＝0，即x＋y＝0，－x＋eq\r(3)z＝0，可取n＝(eq\r(3)，－eq\r(3)，1)，设直线B1D与平面ACC1A1所成角为θ，故sinθ＝eq\f(\r(21),7).8分(3)由题设知B(1,0,0)，可取平面BB1D的法向量n1＝(eq\r(3)，eq\r(3)，1)，平面B1DC的法向量n2＝(－eq\r(3)，eq\r(3)，1)，10分故cos〈n1，n2〉＝eq\f(1,7)，所以二面角B­B1D­C的余弦值为eq\f(1,7).12分20.(本小题满分13分)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2eq\o(F1F2,\s\up10(→))＋eq\o(F2Q,\s\up10(→))＝0.(1)求椭圆C的离心率；(2)若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x－eq\r(3)y－3＝0相切，求椭圆C的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，点P(4,0)，求△PMN面积的最大值．[解](1)设Q(x0,0)．∵F2(c,0)，A(0，b)，∴eq\o(F2A,\s\up10(→))＝(－c，b)，eq\o(AQ,\s\up10(→))＝(x0，－b)．∵eq\o(F2A,\s\up10(→))⊥eq\o(AQ,\s\up10(→))，∴－cx0－b2＝0，故x0＝－eq\f(b2,c).2分又∵2eq\o(F1F2,\s\up10(→))＋eq\o(F2Q,\s\up10(→))＝0，∴F1为F2Q的中点，故－2c＝－eq\f(b2,c)＋c，即b2＝3c2＝a2－c2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).4分(2)∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2c，b＝eq\r(3)c，则F2(c,0)，Q(－3c,0)，A(0,eq\r(3)c)，∴△AQF2的外接圆圆心(－c,0)，半径r＝eq\f(1,2)|F2Q|＝a＝2c，6分∴eq\f(|－c－3|,2)＝2c，解得c＝1，∴a＝2，b＝eq\r(3)，椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.8分(3)设直线MN：x＝my＋1，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴y1＋y2＝－eq\f(6m,3m2＋4)，y1y2＝－eq\f(9,3m2＋4)，|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(4\r(3)\r(3m2＋3),3m2＋4)，∴S△PMN＝eq\f(1,2)|PF2|·|y1－y2|＝eq\f(6\r(3)\r(3m2＋3),3m2＋4)，10分令eq\r(3m2＋3)＝λ≥eq\r(3)，∴S△PMN＝eq\f(6\r(3)λ,λ2＋1)＝eq\f(6\r(3),λ＋\f(1,λ))≤eq\f(6\r(3),\r(3)＋\f(1,\r(3)))＝eq\f(9,2)，∴△PMN面积的最大值为eq\f(9,2)，此时m＝0.13分21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax＋eq\f(a－1,x)－2a＋1(a＞0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥lnx在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do11(k＝2))lneq\f(k－1,k＋1)＞eq\f(2－n－n2,\r(2nn＋1)).[解](1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝a－eq\f(a－1