直线与圆的位置关系九年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题直线与圆的位置关系姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021•嘉兴〕平面内有⊙O和点A，B，假设⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为〔〕A．相离B．相交C．相切D．相交或相切【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．【解析】⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，应选：D．2．〔2021•江阴市模拟〕⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，那么直线l和⊙O的位置关系为〔〕A．相离B．相切C．相交D．相交或相切【分析】根据圆心到直线的距离为5大于圆的半径3，那么直线和圆相离．【解析】∵⊙O的圆心O到直线l的距离为5，⊙O的半径为3，5＞3，∴直线和圆相离．应选：A．3．〔2021•杨浦区三模〕在平面直角坐标系中，以点A〔2，1〕为圆心，1为半径的圆与x轴的位置关系是〔〕A．相离B．相切C．相交D．不确定【分析】此题可先求出圆心到x轴的距离，再根据半径比拟，假设圆心到x轴的距离大于圆心距，x轴与圆相离；小于圆心距，x轴与圆相交；等于圆心距，x轴与圆相切．【解析】∵点A〔2，1〕到x轴的距离为1，圆的半径＝1，∴点A〔2，1〕到x轴的距离＝圆的半径，∴圆与x轴相切；应选：B．4．〔2021春•九龙坡区校级期末〕在平面直角坐标系中，以点〔3，﹣4〕为圆心，2为半径的圆，与直线x＝1的位置关系为〔〕A．相交B．相切C．相离D．不能确定【分析】此题应将该点到直线x＝1的距离与半径比照即可判断．【解析】∵点〔3，﹣4〕到直线x＝1的距离为2，半径为2，那么有2＝2，∴这个圆与直线x＝1相切．应选：B．5．〔2021•顺德区二模〕如图，将直角三角板的直角顶点B放在⊙O上，直角边AB经过圆心O，那么另一直角边BC与⊙O的位置关系为〔〕A．相交B．相切C．相离D．无法确定【分析】根据圆的切线的判定定理即可得到BC与⊙O相切．【解析】相切，∵AB，BC是直角三角板的两条直角边，∴AB⊥BC，∵AB经过圆心O，∴OB⊥BC，∵点B在⊙O上，∴BC与⊙O相切，应选：B．6．〔2021•武进区模拟〕⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，那么⊙O上到直线l的距离为2的点共有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线间的距离相等，先过点D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直线l的距离为2的点的个数．【解析】如图，∵⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，∴CE＝2，过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE＝2，∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A、B、C，∴⊙O上到直线l的距离为2的点有3个，应选：C．7．〔2021秋•钦州期末〕在平面直角坐标系中，以点〔﹣2，3〕为圆心，半径为3的圆一定〔〕A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相交C．与x轴相交，与y轴相切D．与x轴相交，与y轴相交【分析】由点〔﹣2，3〕可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比拟，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，那么有假设d＜r，那么直线与圆相交；假设d＝r，那么直线于圆相切；假设d＞r，那么直线与圆相离．【解析】∵点〔﹣2，3〕到x轴的距离是3，等于半径，到y轴的距离是2，小于半径，∴圆与y轴相交，与x轴相切．应选：B．8．〔2021秋•文登区期末〕以坐标原点O为圆心，1为半径作圆，直线y＝﹣x+b与⊙O相交，那么b的取值范围是〔〕A．﹣1＜b＜1B．-2＜b＜2C．-2＜b＜0D．【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，那么相交时b的值在相切时的两个b的值之间．【解析】当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，那么与y轴的交点是〔0，b〕，当y＝0时，x＝b，那么A的交点是〔b，0〕，那么OA＝OB＝b，即△OAB是等腰直角三角形，∴AB=OA2连接圆心O和切点C．那么OC＝1，OC⊥AB，∴OC=12AB∴1=12×∴b=2，同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=-2那么假设直线y＝﹣x+b与⊙O相交，那么b的取值范围是-2＜b＜应选：B．9．〔2021春•唐山月考〕⊙O的半径是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3．那么直线l与⊙O的位置关系是〔〕A．相交B．相切C．相离或相切D．相交或相切【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．【解析】∵x2﹣7x+12＝0，∴x1＝3，x2＝4，∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣7x+12＝0的根，∴r＝3或r＝4，∵d＝3，∴当r＝3时，d＝r，∴直线l与⊙O的位置关系是相切，当r＝4时，d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，应选：D．10．〔2021秋•金山区期末〕如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是〔〕A．0≤r≤125B．125≤r≤3C．125≤r≤4D．【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r=125当直线与圆如下图也可以有交点，∴125≤r≤4应选：C．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021秋•新丰县期末〕圆的直径是10cm，如果圆心与直线的距离是6cm，那么该直线和圆的位置关系是相离．【分析】假设d＜r，那么直线与圆相交；假设d＝r，那么直线于圆相切；假设d＞r，那么直线与圆相离．【解析】根据题意，可知圆的半径为5cm．因为圆心到直线l的距离为6cm，d＞r，直线和圆相离，故答案为：相离．12．〔2021秋•抚顺期末〕在平面直角坐标系xOy中，以点〔﹣3，4〕为圆心，4为半径的圆与y轴的位置关系为相交．【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比拟，假设圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切．【解析】依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，所以圆与y轴相交，故答案为：相交．13．〔2021秋•龙凤区期末〕⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相交，那么圆心O到直线AB距离d的取值范围是0≤d＜5．【分析】根据直线AB和圆相交，那么圆心到直线的距离小于圆的半径即可得问题答案．【解析】∵⊙O的半径为5，直线L与⊙O相交，∴圆心到直线AB的距离小于圆的半径，即0≤d＜5；故答案为：0≤d＜5．14．〔2021秋•路北区期末〕⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是相交．【分析】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，假设d＜r，那么直线与圆相交；假设d＝r，那么直线与圆相切；假设d＞r，那么直线与圆相离，从而得出答案．【解析】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，∵d＝5，r＝6，∴d＜r，∴直线l与圆相交．故答案为：相交．15．〔2021秋•广西月考〕如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB有唯一公共点，那么半径r的值是5＜r≤12或r=6013【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出BC＝12，再利用面积法计算出CD=6013，然后根据直线与圆的位置关系得到当5＜r≤12或r=6013时，以C为圆心、r【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，∴BC=AB2作CD⊥AB于D，如图，∵12CD•AB=12BC•AC＝S△∴CD=6013∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有唯一公共点时，r的取值范围为5＜r≤12或r=6013故答案为：5＜r≤12或r=601316．〔2021•宝山区校级自主招生〕矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，联结AC，假设以B为圆心，r为半径的圆与线段AC，AD，CD都有公共点，那么r的取值是r＝4．【分析】当⊙B经过点C时，满足条件．【解析】如图，当r＜BC时，和CD无交点，当r＞BC时，和AC无交点，∴r＝BC＝4时，以B为圆心，r为半径的圆与线段AC，AD，CD都有公共点．故答案为：r＝4．17．〔2021秋•滦南县期末〕如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，那么以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个．【分析】过O作OD⊥OA于D，求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．【解析】过O作OD⊥OA于D，∵∠AOB＝30°，OC＝6，∴OD=12OC＝3＜4∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，故答案为：2个．18．〔2021•慈溪市模拟〕如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．假设该圆与线段AB只有一个交点，那么r的取值范围为r=3或2＜r≤23．．【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．【解析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，∴AB＝4，∴BC=AB2-根据三角形的面积公式得：AB•CD＝AC•BC，∴CD=AC⋅当圆与时AB相切时，r=3，当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤23，综上所述：r的取值范围是r=3或2＜r≤23，故答案为：r=3或2＜r≤23．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离是：〔1〕3cm；〔2〕5cm；〔3〕7cm．判断直线l与⊙O有几个公共点，为什么？【分析】①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．利用上述结论解决问题即可．【解析】〔1〕∵r＝5cm，d＝3cm，又∵5＞3，∴直线与圆相交．〔2〕∵r＝5cm，d＝5cm，又∵5＝5，∴直线与圆相切．〔3〕∵r＝5cm，d＝7cm，又∵5＜7，∴直线与圆相离．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，假设要以C为圆心，r为半径画⊙C，根据以下条件，求半径r的值或取值范围．〔1〕直线AB与⊙C相离．〔2〕直线AB与⊙C相切．〔3〕直线AB与⊙C相交．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理得到AB＝10cm，再根据三角形的面积公式得到CD的长，然后根据圆心到AB的距离与半径的关系即可得到结论．【解析】过C作CD⊥AB于D，∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴AB＝10cm，∴CD=BC⋅AC〔1〕直线AB与⊙C相离，那么r的取值范围是0＜r＜cm；〔2〕直线AB与⊙C相切，那么r的值是r＝CD＝cm；〔3〕直线AB与⊙C相交，那么r的取值范围是r＞cm．21．〔2021秋•崇川区校级期中〕如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，那么直线y＝﹣2x+5与⊙O的位置关系怎样？【分析】过O作OC⊥直线AB，垂足为C，作出直线y＝﹣2x+5，令x＝0求出y的值，确定出B的坐标，得到OB的长，令y＝0求出x的值，确定出A的坐标，得到OA的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出斜边上的高OC，得到OC的长等于圆的半径1，可得出直线与圆相切．【解析】如下图，过O作OC⊥直线AB，垂足为C，在直线y＝﹣2x+5中，令x＝0，解得：y=5；令y＝0，解得：x=∴A〔52，0〕，B〔0，5〕，即OA=52，OB在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=OA又S△AOB=12AB•OC=12OA∴OC=OA⋅OBAB=52那么直线y＝﹣2x+5与圆O的位置关系是相切．22．〔2021秋•崇川区月考〕在△ABC中，AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm．〔1〕假设以点C为圆心，2cm长为半径画⊙C，那么直线AB与⊙C的位置关系如何？〔2〕假设直线AB与半径为r的⊙C相切，求r的值．〔3〕假设线段AB与半径为r的⊙C有唯一公共点，求r的取值范围．【分析】〔1〕由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于D，由△ABC的面积得出CD=AC×BC〔2〕由切线的性质和三角形面积求出CD＝cm即可；〔3〕分两种情况：①圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝；②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．即可得出答案．【解析】〔1〕∵AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于D，如下图：由△ABC的面积得：CD=AC×BC∴假设以点C为圆心，2cm长为半径画⊙C，那么直线AB与⊙C的位置关系是相离；〔2〕假设直线AB与半径为r的⊙C相切，设切点为D，那么CD⊥AB，由△ABC的面积得：CD=AC×即r＝cm；〔3〕∵BC＞AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．分两种情况：①圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝；②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．∴r的取值范围时3＜r≤4或r＝．23．〔2021•丰台区模拟〕如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中点，到点O的距离等于12BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．〔1〕补全图形并求线段AD的长；〔2〕点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．【分析】〔1〕由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．〔2〕当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC＝ED，那么∠ECD＝∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE＝DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．【解析】〔1〕如下图，在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°；∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴ACAB=∴AD=32〔2〕当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴E