简单线性规划

3.3.2简单线性规划问题xyo

例2画出表示的平面区域x－ｙ＋５≥０x＋ｙ≥０解：不等式ｘ－ｙ＋５≥０表示直线ｘ－ｙ＋５＝０上及右下方的点的集合，ｘ＋ｙ≥０表示直线ｘ＋ｙ＝０上及右上方的点的集合，OXYx+y=0x－y+5=0上式加上一个条件x≤3,平面区域会是什么图形?变式例题分析xyo35-5x-y+5=0x+y=0x=3如果让你求围成的三角形的面积，你能求么？

二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。

确定步骤：直线定界，特殊点定域；若C≠0，则直线定界，原点定域；小结回顾：简单的线性规划“简单的线性规划”是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是大纲对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经常管理等许多方面的实际问题.问题1:

某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?

若生产1件甲种产品获利2万元,生产1件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?32利润(万元)821所需时间1240B种配件1604A种配件资源限额

乙产品

(1件)甲产品

(1件)产品消耗量资源把问题1的有关数据列表表示如下:设甲,乙两种产品分别生产x,y件,0xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y都是有意义的.设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:问题：求利润2x+3y的最大值.若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?当点P在可允许的取值范围变化时,0xy4348M（4，2）问题：求利润z=2x+3y的最大值.象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数

在线性约束下求线性目标函数的最值问题,统称为线性规划,满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最值的可行解叫做这个问题的最优解变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？0xy4348N（2，3）变式：求利润z=x+3y的最大值.使z=2x+y取得最大值的可行解为

，且最大值为

；练习1.已知二元一次不等式组{x-y≥0x+y-1≤0y≥-1（1）画出不等式组所表示的平面区域；满足

的解(x,y)都叫做可行解；z=2x+y

叫做

；（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的二元一次不等式组叫做x,y的

；y=-1x-y=0x+y=12x+y=0返回(-1,-1)(2,-1)使z=2x+y取得最小值的可行解

，且最小值为

；这两个最值都叫做问题的

。线性约束条件线性目标函数线性约束条件(2,-1)(-1,-1)3-3最优解xy011解线性规划问题的步骤：

（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线

（3）求：通过解方程组求出最优解；

（4）答：作出答案。

（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润（生产1车甲的利润1万，一车乙的利润为5千）？解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，

可行域如图：

把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为－2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。

xyo

由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大。

答：生产甲种、乙种肥料各

2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。M

容易求得M点的坐标为（2，2），则Zmax＝33、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.

某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

【解题回顾】要能从实际问题中，建构有关线性规划问题的数学模型.关键求出约束条件和目标函数.解：设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元依题意线性约束条件为：目标函数为：作出可行域可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大由（万元）答：体验:二、最优解一般在可行域的顶点处取得．三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，而且还与直线Z=Ax+By的斜率有关．一、先定可行域和平移方向，再找最优解。练习题1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时分别为2h,1h.A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？解：

设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为Z千元，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是

目标函数Z＝3x＋2y

变形为

它表示斜率为的直线系，Z与这条直线的截距有关。XYO400200250500

由图可以看出当直线经过点M时，截距最大，Z最大。M解方程组可得M（200，100）Z的最大值Zmax＝3x＋2y＝800（千元）故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元。复习回顾：二元一次不等式

表示平面区域直线定界，

特殊点定域简单的线性规划约束条件目标函数可行解可行域最优解应用求解方法：画、移、求、答例、要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

规格类型钢板类型第一种钢板第二种钢板A规格B规格C规格212131今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板x张、第二种钢板y张，可得x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*

经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解.答:(略)作出一组平行直线z=x+y，目标函数z=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法在可行域内打出网格线，当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，将直线x+y=11.4继续向上平移,2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.

作出一组平行直线z

=

x+y，目标函数z=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解.作直线x+y=12x+y=12解得交点B,C的坐标B(3,9