二次函数与一元二次方程 市赛获奖

课题：§22.2二次函数与一元二次方程

顺昌一中刘爱凤内容分析1、课标要求

使学生了解一元二次方程的根的几何意义（抛物线与x轴的交点的横坐标），知道抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况，会利用二次函数图象求一元二次方程的近似解

。2、教材分析

知识层面：本节课是人教版数学九年级上册第二十二章第二节内容，是学生已经学过“函数”“一次函数”“一次函数与一元一次方程、不等式”“二次函数”“二次函数的图像和性质”等内容，经历了探究一次函数图象，经历了探究一次函数与一次方程，不等式的关系，为本节课的学习奠定了知识基础，这节将由一次函数、一次方程一次不等式提升为二次函数二次不等式，所得知识再次贴近生活，更具有应用性，思维跨度较大，符合“数学有由浅入深，由易到难”的发展原则。内容分析

能力层面：学生经历了探究一次函数与一次方程，不等式的关系探究，已具有一定数与形的转化初步思想，已具备用函数的观点看方程和不等式的学习能力，本节课第二次学习函数与方程的联系，特别是从数上看二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为零时对应自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的解，让学生不断体会数形结合，使数学、思想、方法、知识，技能融于一体，对培养学生分析问题、解决问题的能力具有奠基和示范启迪作用。内容分析

鉴于以上分析，我选择二次函数与一元二次方程作为培养学生的函数与方程思想、数形结合思想能力的一个关键教学内容。

综上所述，本节课的教学重点是：理解二次函数与一元二次方程的联系。

思想层面：从知识建构的层面看，在八年级下一次函数与一次方程、不等式的联系之后学二次函数与二次方程的学习，从简单到复杂的探索推导过程蕴含数学归纳类比思想，由此看来，在思想层面上，一次函数与一次方程的学习对二次函数与二次方程的学习产生了正向的影响，同时也为高中新函数与方程的学习提供类比方法，打下坚实基础。

教学目标数学知识层面：会从函数的角度看一元二次方程实际上是已知二次函数图象上的纵坐标求其对应的横坐标，用函数图象的观点看不等式，需要把不等式的解集看成图象上纵坐标的值在一定范围内点对应的横坐标的值的集合，而且为学习下一节实际问题与二次函数内容奠定了基础。

教学目标数学能力层面：通过探索出二次函数的图象与一元二次方程的联系过程，使学生的分析与归纳能力得到提高，并引导学生由数形结合的角度观察问题，分析问题，并会用严谨的数学语言描述归纳抛物线与x轴交点情况与一元二次方程的判别式的关系，对学生综合解题能力的提高有很大帮助。

教学目标数学思想层面：

由熟悉的一次函数，一次函数与一元方程、不等式关系的学习，到二次函数与一元二次方程的联系的问题解决，渗透类比思想，经历用函数图象求方程和不等式的解或解集的过程，进一步体会“以形表示数，以数释形”的数形结合思想及函数与方程的思想。

教学策略1、让学生经历“复习——对比——探究——提升——应用”的数学活动过程，启发学生从熟悉的知识入手，通过类比，转化，验证新的知识，让学生在学习中积累了一定的探索与推理的经验，进而发展学生的推理能力。“复习——对比——探究——提升——应用”2、通过自主探究与合作交流的学习方式，发挥学生的主体作用，并用数形结合化难为易，让学生在具体问题的解决过程中体会成功的喜悦。

教学过程温故知新类比探究

迁移应用

回顾反思

课后反馈

成效评价xy温故知新

复习：

问题1、如图，一次函数y=2x+1，当x为何值时，对应的函数值：（1）y等于0?（2）y等于3?（3）y大于0?（4）y小于0?y=0x=-0.5y=2x+1y=3x=1x>-0.5x<-0.5追问：能用函数的观点，从数和形两个角度说说你对一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的联系吗？温故知新师生互动：从数的角度看:（1）相当于求一元一次方程2x+1=0的解,（2）相当于求一元一次方程2x+1=3的解。（3）相当于求一元一次不等式2x+1>0的解,（4）相当于求一元一次不等式2x+1<0的解。温故知新从形的角度看:（1）相当于函数y=2x+1的图象上函数值y为0时求对应自变量x的值。（2）相当于函数y=2x+1的图象上，函数值y为3时求对应自变量x的值。（3）相当于求图象在x轴上方部分对应自变量x的范围。（4）相当于求图象在x轴下方部分对应自变量x的范围。设计意图：复习回顾一次函数与一次方程，一元一次不等式之间的联系，用函数的观点解释方程和不等式的解或解集的意义，研究帮助学生体会函数，方程，不等式的联系，为今天自主研究二次函数，方程，不等式的联系做铺垫，形象化的对照，渗透类比思想。类比探究问题2、解下列方程，他们有什么共同特点？你能从函数的角度对这三个方程进行解释吗？（1）x2-4x+3=0（2）x2-4x+3=3（3）x2-4x+3=8师生互动：教师引导学生发现：解这三个方程就是求函数

y=x2-4x+3=0函数值分别为0,3,8时对应的自变量的量的值，如右图：0134xy类比探究师生互动：教师引导学生得出：一般地，一元二次方程ax2+bx+c=m(a、b、c、m为常数，a≠0)的解就是当函数y=ax2+bx+c的函数值为m时的自变量的值。设计意图：用数形结合的方法，建立二次函数与一元二次方程的联系，并培养学生主动表达的意识和归纳总结的能力。追问：能把得到的结论推广成一般情况吗？类比探究问题3：解下列方程，它们有什么共同特点，你能从函数的角度对这三个方程进行解释吗？（1）x2+x-2=0（2）x2-6x+9=0（3）x2-x+1=0师生互动：

教师引导学生得出：解这三个方程就是求对应二次函数y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2-x+1的函数值为0时对应自变量的值，如右图：y=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1xy0类比探究追问1：从形上看:

方程（1）两个不等的解就是对应二次函数y=x2+x-2与x轴交点的横坐标。

方程（2）两个相等解就是对应二次函数y=x2-6x+9与x轴交点只有一个交点的横坐标。

方程（3）无解就是对应二次函数y=x2-x+1与x轴无交点类比探究追问2:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况有何联系？师生互动：教师引导下得出：①如果一元二次方程有两不等实根，即△＞0，那么相应二次函数的图象与x轴有两个公共点。②如果一元二次方程有两相等实根，即△=0，那么相应二次函数的图象与x轴只有一个公共点（顶点落在x轴）。③如果一元二次方程没有实根，即△＜0，那么相应二次函数的图象与x轴没有公共点。设计意图：建立二次函数与一元二次方程的联系，渗透函数与方程的思想，并使学生不断体会数形结合的精妙之处,使数学思想，方法，知识，技能融于一体，使得“数量关系”与“空间形式”珠联璧合，相映生辉。xy0类比探究问题3、根据函数y=x2-x-的图象，回答下列问题：(1)当x取何值时，y＞0?当x取何值时y＜0?(2)你能用含有x的不等式来描述（1）中的问题吗？即：x2-x-＞0的解集是什么？

x2-x-＜0的解集是什么？(3)想一想：二次函数与一元二次不等式有何关系？类比探究师生互动归纳：让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：(1)从“形”的方面看:

二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集。

类比探究(2)从“数”的方面看：

当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集；这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。

关键点：先确定二次函数与x轴的交点。设计意图：让学生讨论交流达成共识，培养学生表达的意识和能力，突出数学建模环节，会用函数图象解一元二次不等式，为高中学习打下坚实基础。迁移应用问题4、如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h=20t-5t2考虑以下问题：(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞行高度能否达到20m?如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？(4)小球从飞出到落地需要用多少时间？迁移应用师生互动：在第（1）小题中，一元二次方程有两个解，从函数解析式看，就是自变量取这两个值时函数值为15，从函数的图象看，就是直线h=15与抛物线h=20t-5t2有两个公共点。在第（2）小题中，一元二次方程有两个相同解，从函数解析式看，就是自变量取这个值时函数值为20，从函数的图象看，就是直线h=20与抛物线h=20t-5t2有一个公共点。迁移应用师生互动：在第（3）小题中，一元二次方程无实数解，从函数解析式看，就是自变量取任何实数值时函数值都不会为20.5，从函数的图象看，就是直线h=20.5与抛物线h=20t-5t2没有公共点。在第（4）小题中，“落地”就是函数值为0相应方程的解，从函数的图象看，就是求x轴与抛物线h=20t-5t2有两个公共点的横坐标。设计意图：通过小球飞行问题说明、巩固二次函数与一元二次方程的联系，几个小问题都可以转化为用一元二次方程求解，体现学以致用的道理。迁移应用问题5：利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实根（结果保留小数后一位）。解：画出函数y=x2-2x-2的图象，如图，它与x轴交点的横坐标大约是-0.7，2.7。所以方程x2-2x-2=0的实根为x≈-0.7x≈2.7xy设计意图：介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。成效评价1、二次函数y=-x2-4x+3与x轴交点个数是（）

A.0B.1C.2D.32、已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）

A.k＜3B.k＜3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠0设计意图：考察学生二次函数与x轴交点与一元二次方程的判别式关系的掌握情况。DD3、无论x为何值，y=ax2+bx+c恒为正的条件是（）

A.a＞0，b2-4ac＞0B.a＜0，b2-4ac＞0C.a＞0，b2-4ac＜0D.a＜0，b2-4ac＜04、抛物线y=ax2+bx+c的部分如图如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是_________。5、二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx(k≠0)的图象交于原点和点A，当y1＜y2时，对应的x的取值范围是________。-3-101xyy1y2xy0设计意图：考察学生二次函数与一元二次不等式（组）的关系掌握情况，以及数形结合思想。成效评价C-1<x<3x<-3或x>06、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题：xy0设计意图：考查学生二次函数与方程、不等式的关系掌握情况，及综合分析能力。成效评价(1).写出方程ax2+bx+c=0的两根；(2).写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；答：x1=1，x2=3。(3).若方程ax2+bx+c=k有两个不等的实根，求