复数及几何表示

一、复数域与复数的公理化定义二、复数域是实数域的扩充三、复数的运算四、共轭复数五、复数的几何表示六、复数的三角表示七、复球面及无穷大第一节复数及几何表示一、复数域与复数的公理化定义虚数单位对虚数单位的规定:Cardan介绍1.复数域虚数单位的特性:……复数的定义注意：复数的定义注意：复数的定义注意：例1解令两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z

等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.复数的加法、减法、乘法和除法的定义复数的加法、减法、乘法和除法的定义注意：注意：例2解2.复数的公理化定义2.复数的公理化定义二、复数域是实数域的扩充二、复数域是实数域的扩充三、复数的运算性质注意：注意：注意：减法是加法的逆运算注：除法是乘法的逆运算注：乘方运算开方运算开方运算开方运算例3

解四、共轭复数实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.定义例4解结论：性质性质例5

解复数运算举例例5

解复数运算举例例6

解例7

证例7

证五、复数的几何表示1.复平面的定义2.复数的模(或绝对值)显然下列各式成立2.复数的模(或绝对值)显然下列各式成立3.利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.3.利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.4.复数和差的模的性质5.一对共轭复数在复平面上的位置关系六、复数的三角表示1.复数的辐角说明辐角不确定.六、复数的三角表示1.复数的辐角说明辐角不确定.六、复数的三角表示1.复数的辐角说明辐角不确定.辐角主值的定义:利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式2.复数表示欧拉介绍例8

将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为指数表示式为例9解(三角式)(指数式)例9解(三角式)(指数式)例9解(三角式)(指数式)证

结论一：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为[证毕]由此可将结论推广到n

个复数相乘的情况:由此可将结论推广到n

个复数相乘的情况:证按照商的定义,[证毕]结论二：两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.证按照商的定义,[证毕]结论二：两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.例10解棣莫佛公式棣莫佛公式(复数的乘方)棣莫佛介绍注意：注意：复数的开方例11解即注意：注意：注意：例12解七、复球面及无穷大球面上的点,除去球极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.注意：注意：注意：Cardan资料GirolamoCardan(1501-1546)GirolamoCardanorCardanowasanItaliandoctorandmathematicianwhoisfamedforhisworkArsMagnawhichwasthefirstLatintreatisedevotedsolelytoalgebra.InithegavethemethodsofsolutionofthecubicandquarticequationswhichhehadlearntfromTartaglia.

LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia欧拉资料LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia欧拉资料AbrahamdeMoivre棣莫佛资料Born:26May1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov1754inLondon,E