四川省眉山市仁寿第一中学校（北校区）2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

高2023级半期考试数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据并集的定义求解即可.【详解】，,.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过求出的范围，再通过充分性和必要性的概念得答案.【详解】由得或，因为可推出或，满足充分性，或不能推出，不满足必要性.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知，则（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果．【详解】，故选：B．4.已知正实数满足，则的最小值为（）A.8 B.17 C.20 D.25【答案】D【解析】【分析】利用，展开后通过基本不等式求最小值.【详解】，当且仅当，即时等号成立.故选：D.5.如图所示，在中，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得：.故选：A6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式求得，然后利用二倍角公式计算即可.【详解】，则，则，故选：D.7.已知函数，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算性质化简，从而得出值域．【详解】．故值域为．故选：B．8.已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点，借助的图象求解即可.【详解】设，则恰有3个零点，即的图象与的图象恰有3个不同的交点.的图象如图所示.不妨设，所以，所以，即，即，所以，所以，故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（）A. B.是奇函数C.是偶函数 D.在上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】根据幂函数经过的点得其表达式，结合幂函数的性质即可根据选项逐一求解.【详解】因为函数的图象过点，所以，即，所以，故A正确：，定义域为，关于原点对称，所以，所以是偶函数，故B错误，C正确：又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D正确．故选：ACD．10.已知，则下列选项中能使成立的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.【详解】对于A：，，，，故A正确；对于B：，，，，故B错误；对于C：，，故C正确；对于D：，，，，故D错误；故选：AC.11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.当时，C.在上单调递增D.不等式的解集为【答案】BD【解析】【分析】由奇函数的定义可求解A、B；用特值法可判断C；分段求解不等式可判断D.【详解】，故A错误；当时，，所以，故B正确；因为，，又，故C错误；当时，，解得；当时，，无解；当时，，所以不等式的解集为，故D正确.故选：BD.12.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.的单调减区间为C.图象的一条对称轴方程为D.点是图象的一个对称中心【答案】ABC【解析】【分析】由题可知，解得，又在的图象上，结合得，得，即可判断A；根据三角函数的性质可判断B、C、D.【详解】由题可知，所以，解得，所以，又在的图象上，所以，所以，所以，又，所以，所以，故A正确；令，解得，所以的单调减区间为，故B正确；令，解得，当时，，故C正确；令，解得，令，则，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.______．【答案】【解析】【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值得出答案.【详解】.故答案为：.14.已知函数的定义域为，则的定义域为______．【答案】【解析】【分析】通过函数的定义域可得中，解出即可.【详解】由函数的定义域为得，对于有，，即的定义域为.故答案为：.15.已知函数，则______．【答案】##【解析】【分析】先由计算出，借助与关系的判断函数的性质，借助函数的性质即可解决问题.【详解】由，则，有，故，故答案为：.16.已知函数，则的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义可得为偶函数，根据解析式直接判断函数的单调性，进而结合奇偶性与单调性求解即可.【详解】由，，则，所以函数为偶函数，当时，，因为函数，均在上单调递增，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以由，得，解得或，即的解集为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚．17.求值：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】第一小问借助指数与对数的运算性质即可得到；第二小问借助两角和的正弦公式将拆开即可得到.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式.18.已知向量与的夹角为，且，．向量与共线，（1）求实数的值；（2）求向量与的夹角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据共线向量定理，即可求解；（2）根据向量夹角公式，，再代入数量积的运算公式，即可求解.【小问1详解】若向量与共线，则存在实数，使得，则，则；【小问2详解】由（1）知，，，，，，所以，且，所以.19.设函数.（1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；（2）求在上的最值.【答案】（1）；；（2），.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质求得答案；（2）利用函数的单调性求出最值．小问1详解】因为，令，解得，所以的对称轴方程为，令，得，可得函数图象的对称中心的坐标为；【小问2详解】因为，所以，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，，故.20.已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据不含参的一元二次不等式的解法即可求解；(2)当时不等式成立；当时，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式组，解之即可.【小问1详解】当时，，或，则的解集为；【小问2详解】由题意可知恒成立.①当，即时，不等式为对任意恒成立，符合题意；②当，即时，对于任意恒成立，只需，解得，所以.综合①②可得实数的取值范围是.21.某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池．其平面图如图所示，每个育苗池的底面积为200平方米，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x米（），甬路的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）已知育苗池四壁造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价．【答案】（1），（2）米时，总造价最低，最低总造价为459200元.【解析】【分析】（1）根据题意得到养殖室的总面积，从而表达出函数关系式；（2）在第（1）问的基础上，表达出总造价关于的函数关系式，并利用基本不等式求出最小值.【小问1详解】由题意可得每个育苗池另一边长为米，则，；【小问2详解】设总造价为元，则，，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，所以米时，总造价最低，最低总造价为459200元.22.已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，且函数为奇函数.（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程在区间上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简，利用图象平移规律得，由结合求得，即可得解；（2）令，方程可化为，令，，问题转化为关于的方程在区间和上分别有一个实数根，或有一个实根为1，另一实根在区间上，分类讨论求解即可.小问1详解】，.又是奇函数，所以，有，可得，整理得，由，有，得，由，可得，，经检验符合题意，.【小问