2023-2024年重庆八年级上数学期末复习分类汇编：几何综合线段等量关系（解析版）

2023-2024年重庆八年级上数学期末复习分类汇编：几何综合线段等量关系一、解答题1．已知，中，，．(1)如图1，若，点是边上的中点，求的面积；(2)如图2，若是的角平分线，求证：；(3)如图3，若、是边上两点，且，，交、于、，连接、，猜想与的大小关系，并说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)，理由见解析【分析】（1）根据线段中点的性质得出，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解；（2）过点作于点，证明，得出，进而证明，即可证明（3）过点作，交延长线于点，证明得出，，进而得出，证明，得出，即可得出【详解】（1）解：∵是边上的中点，

（2）过点作于点平分且，在和中且又

（3）如图，过点作，交延长线于点，，，，，，又，，，，，又，，，，，又，，又【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2．如图1，在中，，，点P在线段上（不与点B、点C重合）运动，以为腰在上方作等腰直角，，于点E，且与交于点M．

(1)求证：；(2)如图2，交于点N，连接，证明：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】由直角三角形的性质证出，根据可证明；过点A作交于点，用证明，由全等三角形的性质证出，则可得出结论．【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，在和中，，（2）证明：如下图，过点A作交于点，

在中，，，，又，，，，，，和都是等腰直角三角形，，，，，又，，，【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．如图1，在和中，．连接，作，垂足为，交于点．

(1)若，求的度数；(2)如图2，作，垂足为，求的长；(3)求证：．【答案】(1)的度数是(2)的长是7(3)见解析【分析】（1）由，，得；（2）证明，得到，即可得到；（3）作于点，交的延长线于点，证明得到，而，得到，再证明得到．【详解】（1）解：如图1，

，，，，，，，的度数是；（2）解：如图2，

，，，由（1）得，在和中，，，，，的长是7．（3）证明：如图3，作于点，交的延长线于点，

，，，，在和中，，，，由（2）得，，在和中，，，．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键．4．如图，是边长为的等边三角形，点、点分别是边、上的动点．(1)若点在上以的速度由点向点运动，同时点在上以的速度由点向点运动，设点运动的时间为秒．①试求当为何值时，为等边三角形？②若为直角三角形，试求的值．(2)如图2，点为外一点，且＝，．若点、点在运动过程中始终保持，试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．【答案】(1)①秒；②秒或秒(2)不变，【分析】（1）①由题意得：，，．根据题意当时，为等边三角形，解方程即可求解；②根据题意分类讨论，分，，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解；（2）延长至，使，连接，证明，进而证明，得出，即可求解．【详解】（1）解：①由题意得：，，．

当时，为等边三角形．即．

解得：．即秒时，为等边三角形．

②是边长为的等边三角形，，．．若，则．，即（），解得．

．若，则．，即，解得．

经验证，和均符合题意．故若为直角三角形时，的值为秒或秒．（2）的周长不发生变化．理由如下：延长至，使，连接．，，．是等边三角形，．．

又，，．，．

，，．．即．．

又，，．．．的周长不发生变化，为．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．5．已知，在中，，．(1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数；(2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接、，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：；(3)如图3，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，猜想：之间的数量关系并证明你的结论．【答案】(1)(2)见解析(3)，见解析【分析】（1）根据等边对等角得出，再由全等三角形的判定和性质得出，利用三角形内角和定理求解即可；（2）延长至点，使，连接，根据等边对等角及全等三角形的判定得出，，再由全等三角形的性质即可证明；（3）过点A作交的延长线于Q．根据全等三角形的判定得出，，再由其性质求解即可．【详解】（1）解：，．在和中，．，又∵，，．（2）延长至点，使，连接．∵，，∵，，，．在和中，∴，，．∵，，，，即．在和中，，，．（3）数量关系为：，理由如下：过点A作交的延长线于Q．∵，，．在和中，，．∵，．又，，．在和中，，．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．6．已知是锐角三角形，且，点，分别是边，上一点，点是和的交点．(1)如图1，若，且，，，求的长；(2)如图2，若，且，过点作，且，线段与相交于点，点是的中点，连接，求证：．【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】（1）延长至点，使得，先证明，得到，，根据，可得，由，可得，则，即可得到答案；（2）先证明是等边三角形，进一步证明，延长到，使得，连接．可证，得，延长到，使，连接，则是等边三角形，证，得到是等边三角形，进而可得结论．【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使得，在和中，∵，∴，∴，，∵，∴，又∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的长为2．（2）证明：如图2，∵，，∴是等边三角形，∴，．在与中，∵，∴，∴，∴，∴．如图2中，延长到，使得，连接．∵点是的中点，∴，在与中，∵，∴，∴，，∴，延长到，使得，连接，则是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，在与中，∵，∴，∴，，∴是等边三角形，∴．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，等角对等边，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．综合与探究：如图，在和中，，，，的延长线交于点．(1)求证：．(2)若，求的度数．(3)过点作于点，请探究、、三条线段的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)(3)，证明见解析【分析】（1）可利用证明结论；（2）由全等三角形的性质可得，结合平角的定义可得，根据，可求得，即可求解；（3）连接，过点A作于点J．结合全等三角形的性质利用证明，可得，，进而可证明结论．【详解】（1）证明：．．在和中，，；（2）解：，，．，，；（3）结论：证明：如图，连接，过点作于点．，，，，．，．在和中，，，．在和中，，，，．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．8．已在等腰中，，，D为直线上一点，连接，过点C作，且，连接，交于点F．(1)如图1，当点D在线段上，且时，请探究，，之间的数量关系，并说明理山；(2)如图2，在（1）的条件下，在上任取一点G，连接，作射线使，交的平分线于点Q，求证：．【答案】(1)，理由见解析；(2)见解析【分析】（1）在上找到点使得，易证是等边三角形，可得，即可求得，即可证明，可得，即可解题；【详解】（1）解：，理由如下：∵，，∴，∵，，∴，在上找到点使得，如图1，∵，，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，在和中，∴（SAS），∴，∵，∴；（2）证明：在上找到点，使得，如图2，∵平分，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∵，，，∴，在和中，∴（ASA），∴，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质及等腰直角三角形和等边三角形的性质，本题中求证和是解题的关键．9．已知等腰三角形中，，，交延长线于点，为的延长线，点从点出发在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边三角形，连接．(1)如图1，当时，求证：；(2)当点运动到如图2位置时，此时点与点在直线同侧，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据证明三角形全等即可；（2）在上取一点T，使得，证明，推出可得结论．【详解】（1）证明：∵，，∴，在和中∴（2）证明：如图，在上取一点T，使得，∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，在和中∴，∴，∴【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．10．已知，在等边中，点是边、的垂直平分线的交点，、分别在直线、上，且．(1)如图，当时，、分别在边、上时，请写出、、三者之间的数量关系；(2)如图，当时，、分别在边、上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点在边上，点在的延长线上时，请直接写出线段、、三者之间的数量关系．【答案】(1)；(2)成立，理由见解析(3)．【分析】（1）在上截取，连接，根据等边三角形的性质和线段垂直平分线得出，，证推出，，求出，根据证，推出PQ=PE，即可求出答案；（2）结论还成立，证明过程与（1）类似；（3）结论是，延长到G，使，证推出，，求出，根据证，推出，即可求出答案．【详解】（1）解：，理由是：在上截取，连接，∵O是边、垂直平分线的交点，是等边三角形，∴，O也是等边三角形三个角的平分线交点，∴，∴，∴，∵在和中，，∴，∴，，∵，，，∴，即，∵在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）解：，证明：理由是：在上截取，连接，∵O是边、垂直平分线的交点，是等边三角形，∴，由三线合一得：，，∴，∵在和中，，∴，∴，，∴，又∵，∴，∵在和中，，∴，∴，∵，∴；（3）解：，理由是：延长到G，使，连接，∵O是边、垂直平分线的交点，是等边三角形，∴，由三线合一得：，，∴，∵在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，即，∵在和中，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力和猜想能力，题目具有一定的代表性，证明过程类似．11．已知：如图，在中，，，点是斜边上任意一点．(1)如图，过，两点分别作于，于，若，求的长；(2)如图，以为斜边作等腰直角，为中点，连接，，试问：线段，是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．【答案】(1)(2)存在，且，证明见解析【分析】（1）先证明，在利用全等三角形的性质及勾股定理即可求得的长；（2）法一：如图，延长交于，连接，易知为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证得，可得，，再利用互余即可得；法二：如图，延长至，使，连接，，易证得，由等腰直角易知，易证得，从而易证得等腰直角三角形，便可得证且；法三：如图，延长至，使，连接，，，先证，再证，得是等腰直角三角形，由，可得是等腰直角三角形，可得证且．【详解】（1）如图：∵，，，∴，∴，∵，∴在和中，∴，∴，在中，∴．（2）法一：且理由如下：如图，延长交于，连接．∵等腰直角，∴．∵，，∴，∴为等腰直角三角形，．∵，，∴四边形为矩形，∴．∵，∴．∵为的中点，∴，．在和中，∴，∴，．∵，∴，∴．综上，且．法二：且，理由如下：如图，延长至，使，连接，．∵是中点，∴，在和中∴，∴，．∵等腰直角，∴，，∴，．∵，，∴，∴．在和中∴，∴，，∵，∴，即，∵，∴等腰直角三角形，∴且．法三：如图，延长至，使，连接，，．先证，再证，得是等腰直角三角形．由，可得是等腰直角三角形，故：且．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，能够添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．12．与均为等腰直角三角形，．(1)如图1，当，，在同一直线时，的延长线与交于点．求证：；(2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论；(3)如图3，当，，在同一直线时（，在点的异侧），与交于点，，求证：．【答案】(1)见解析(2)∠CFA＝90°，证明见解析(3)见解析【分析】（1）证明△ABD≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠BCE，由对顶角的性质可得出答结论；（2）同理可证△ABD≌△CBE（SAS），得出∠BAD＝∠BCE，则可得出结论；（3）过点G作GH⊥AC于点H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，证出BG＝GH，证明Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），由全等三角形的性质得出BC＝CH，则得出结论．【详解】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD＋∠AFE＋∠FEA＝∠BCE＋∠ABC＋∠BEC＝180°，又∵∠FEA＝∠BEC，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（2）解：∠CFA＝90°．理由如下：同理可证△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∴∠CFA＝∠ABC＝90°．（3）过点G作GH⊥AC于点H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，∵∠BAD＝∠ACE，∴∠ACE＝∠BCE，∵AB⊥BC，GH⊥AC，∴BG＝GH，∵∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠AGH＝45°，∴GH＝AH，∴AH＝BG，在Rt△BCG和Rt△HCG中，∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），∴BC＝CH，∴AC＝AH＋CH＝BG＋BC＝BG＋AB．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．13．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M是BC边的中点．(1)如图1，若点D、点E分别为线段AC、AB上的点，且DC＝EA，求证：ME⊥MD；(2)如图2，若点D为线段AC上的点，点E为线段AB延长线上的点，∠AED＝30°，连接ED，EF是∠AED的角平分线，交AM于点F，探究线段AN、FD、AC之间的数量关系，并给出证明．【答案】(1)见解析(2)2AC＝2AN+FD，理由见解析【分析】（1）如图1，连接AM，先证明△MEA≌△MDC（SAS），根据等角的余角相等即可证明∠EMD＝∠AMC＝90°，进而可得ME⊥MD；（2）如图2，过点D作DG⊥AC交BC于点G，过点F作FP⊥AD，FH⊥ED，FQ⊥AB，垂足分别为P、H、Q，先证明△EBN≌△DGN（AAS），进而证明DF是∠ADE的角平分线，可得FH＝FP＝FQ，结合含30°角的直角三角形的性质，即可证得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接AM，∵点M是等腰直角△ABC斜边上的中点，∴AM⊥BC，AM＝MC，∠EAM＝∠DCM＝45°，∵DC＝EA，∴△MEA≌△MDC（SAS），∴∠EMA＝∠DMC，∴∠EMA+∠AMD＝∠DMC+∠AMD，即∠EMD＝∠AMC＝90°，∴ME⊥MD；（2）解：2AC＝2AN+FD．理由如下：如图2，过点D作DG⊥AC交BC于点G，FH⊥ED，垂足分别为P、H、Q，∵在等腰直角△ABC中，∠C＝45°，∴△GDC为等腰直角三角形，∴GD＝CD，∵DC＝EB，∴GD＝EB，∵∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴DGEA，∴∠BEN＝∠GDN，又∵∠ENB＝∠DNG，∴△EBN≌△DGN（AAS），∴EN＝DN，∴AN是Rt△EAD斜边上的中线，∴ED＝2AN，∵∠MAB＝∠MAD＝45°，∴AF是∠EAD的角平分线，∵EF是∠AED的角平分线，∴DF是∠ADE的角平分线，在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，∠AED＝30°，∴∠ADE＝60°，∴∠FDH＝30°，FD＝2HF，∵FP⊥AD，FH⊥ED，∴FH＝FP＝FQ，∴Rt△EFH≌Rt△EFQ（HL），Rt△FDP≌Rt△FDH（HL）∴EH＝EQ，DP＝DH，∴2AC＝AB+AC＝AE+AD＝QE+QA+AP+PD＝HE+HF+HF+HD＝DE+2HF＝2AN+FD．即2AC＝2AN+FD．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握和灵活运用以上知识，作出辅助线是解决本题的关键．14．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．(1)求证：△BCD为等腰三角形；(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如下图所示，求证：BD+AD＝AB+BE；(3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，写出正确的结论并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB，理由见解析【分析】（1）如图所示，先根据三角形内角和的得∠ABC=70°，由角平分线及已知角可得，∠DBC=∠ACB=35°，可得结论；（2）证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH，证明△ABE≌△AHE，则BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC=AD+CD=BD+AD证法二：如图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，证明△AEF≌△AEC，则∠F＝∠C=35°，得BF=BE，可得结论（3）正确画图，做辅助线，构造等腰三角形，根据角的大小证明：AF=AC=EF，则线段的和与差可得结论【详解】（1）如下图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝35°，∴∠DBC＝∠ACB＝35°，∴△BCD为等腰三角形；（2）证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH，由（1）得：△BCD为等腰三角形，∴BD＝CD，∴BD+AD＝CD+AD＝AC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠EAH，∴△ABE≌△AHE（SAS），∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°，∴EH＝HC，∴AB+BE＝AH+HC＝AC，∴BD+AD＝AB+BE；证法二：如下图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD，∴BD+AD＝CD+AD＝AC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAF＝∠EAC，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴∠F＝∠C，∵∠C＝35°∴∠F＝∠C＝35°由（1）知∠ABC＝70°∴∠BEF=35°

∴∠F=∠BEF∴BF＝BE，∴AB+BE＝AB+BF＝AF，∴BD+AD＝AB+BE；（3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB，理由是：如上如图所示，在BE上截取BF＝AB，连接AF，∴∠AFB＝∠BAF∵∠ABC＝70°，∴∠AFB＝∠BAF＝35°，∵∠BAC＝75°，∴∠HAB＝105°，∵∠BAC＝75°∴∠BAH＝105°∵AE平分∠HAB，∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°，∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°，∴AF＝EF，∵∠AFC＝∠C＝35°，∴AF＝AC＝EF，∴BE-AB＝BE-BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和和外角的性质，正确作出辅助线是解题关键15．如图，是等腰三角形，，点D在直线上运动，点E为线段上一定点，连接，作，使，，连接．(1)如图1，在上取点G，使，求证：；(2)如图2，当点D在线段上，点F位于直线的上方时，求证：；(3)如图3，当点D运动到线段的延长线上时，求证：为定值．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）根据等腰三角形的性质和EG=EC求得，结合得到，进而得到三角形全等，然后再利用全等三角形的性质求解；（2）在上取点G，使，利用（1）的方法求得三角形全等，进而得到，结合，，来求得即可求解；（3）在上取点G，使，用（1）的方法得到三角形全等，进而得到，结合全等三角形的判定和点E为线段上一定点来求解．【详解】（1）证明：，．，，，，．，，，．在和中，，．（2）证明：在上取点G，使，如下图，．，，，，,,，，，．在和中，，．，，，，；（3）证明：在上取点G，使，如下图，．，，，，．，，，．在和中，，，．为定值，形状唯一，为定值，为定值．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解相关知识和作出辅助线是解答（2）（3）的关键．16．已知，在中，．(1)如图1，取的中点D，连接，在上截取，连接，求的度数；(2)如图2，分别以为边向外作等边和等边