江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期11月期中摸底数学试题

2023-2024年第一学期高二年级11月摸底调研数学学科（总分：150分；考试时长：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合直线的斜率公式求出该直线的斜率，即可求出直线的倾斜角.【详解】因为一条直线经过两点和，所以该直线的斜率为：所以该直线的倾斜角为.故选：C.2.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】由两直线垂直求得的值，根据充分条件，必要条件的定义作出判断.【详解】当时，两条直线分别为与，两条直线互相垂直，反之，由与直线垂直，，解得或，则不能推出，所以”是“直线与直线垂直的充分不必要条件.故选：A3.为等差数列前项和，若，，则使的的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据可得，表示出和，解不等式即可.【详解】由，可得，而，所以，，，可转化为，即，即，解得，而，所以的最大值为11.故选：C4.直线与圆的位置关系是()A.相交但直线不过圆心 B.相切C.相离 D.相交且直线过圆心【答案】A【解析】【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离，和圆的半径比较即可得到此圆与直线的位置关系．【详解】由圆的方程得到圆心坐标为，半径，直线为，∴到直线的距离，∴圆与直线的位置关系为相交，又圆心不在直线上，故选：A．5.已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，解得b，故选D．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．6.直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由中点坐标求出直线交轴和于两点坐标，从而得到直线方程【详解】直线分别交轴和于两点，设点、，因为是线段的中点，由中点坐标公式得解得，所以点、，则直线的方程为，化简得故选【点睛】这是一道考查直线性质的题目，解题的关键是求出直线的截距，然后求出直线方程．7.以下四个命题表述错误的是（）A.圆上有且仅有个点到直线的距离都等于B.曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为C.已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点【答案】B【解析】【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点为直线上一点，求出切线的方程即可判断．【详解】解：选项A：圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以圆上有且仅有个点到直线距离都等于，故选项A正确；选项B：方程可化为，故曲线表示圆心为，半径的圆，方程可化为，因为圆与曲线有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为，半径，同时两圆的位置关系为外离，有，即，解得，故B错误；选项C：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，由切线的性质知，为直角三角形，，当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，故选项C正确；选项D：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为，即：，两圆的方程相减得到直线方程为，即，所以直线过定点，D正确．故选：B．8.已知数列中，且，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，代入即可.【详解】由得：，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，，，.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.直线恒过定点B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C.圆与圆恰有三条公切线，则D.已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点【答案】BCD【解析】【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切；由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：由可得：，由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确；对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径，平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确；对于选项C：由可得，圆心，，由可得，圆心，，由题意可得两圆相外切，所以，即，解得：，故选项C正确；对于选项D：设点坐标为，所以，即，因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，整理可得：，与已知圆相减可得，消去可得：即，由可得，所以直线经过定点，故选项D正确故选：BCD.【点睛】结论点睛：（1）圆和圆的公共弦的方程为两圆的方程相减即可.（2）已知，，以线段为直径的圆的方程为：.10.对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（）A.若数列为等比数列，成等差，则也成等差B.若数列为等比数列，则C.若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为13D.若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列【答案】AD【解析】【分析】根据等比数列的通项与前项和公式判断A，B的正误；根据等差数列的通项与前项和公式判断C，D的正误即可.【详解】解：对于A，若数列为等比数列，成等差，则，若公比，则，故，所以可得，，整理得，由于，所以，所以，即，故也成等差，故A正确；对于B，若数列为等比数列，若公比时，；若公比时，则，所以，故B不正确；对于C，若数列为等差数列，公差为，由，得，即，则，所以，得，又，则，故C不正确；对于D，若数列为等差数列，且，则公差，所以，假设等差数列中的三项构成等比数列，，且互不相等，则，所以，所以，因为，则，其中，则，得，这与互不相等矛盾，故假设不成立，则中任意三项均不能构成等比数列，故D正确.故选：AD.11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A.B.离心率C.面积的最大值为D.以线段为直径的圆与直线相切【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆方程求得，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，可得，所以焦点为,根据椭圆的定义，所以A正确；椭圆的离心率为，所以B错误；其中面积的最大值为，所以C错误；由原点到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.故选：AD12.数列满足，，为数列的前项和，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据题意求得，得到的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，即可求出的通项公式，即可判断A；求得为奇数和为偶数时，数列的通项公式，可判定B正确；根据为奇数和偶数，求得，可判定C正确；结合时，可判定D错误.【详解】由题意，数列满足，所以，可得，因为，可得，所以，所以的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，且首项分别为，，即是以为首项，为公比的等比数列，所以，故A正确；当时，，，所以，当时，，，所以，所以，故B正确；对于C中，当时，，当时，，所以恒成立，即C正确；对于D中，当时，可得，，此时，所以D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列中，，则此数列的前8项和为__________．【答案】##【解析】【分析】由裂项相消法求解，【详解】，的前8项和为．故答案为：14.点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为_________.【答案】【解析】【分析】计算，设直线方程为，计算，利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】如图所示：，故，设直线方程.，，故，根据相似计算得到，利用点到直线的距离公式得到：，解得或当时，直线和圆不相交，舍去，故.故答案为：.【点睛】本题考查了圆的切线问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.15.圆与圆的交点为A，B，则弦AB的长为______．【答案】【解析】【分析】先求出两圆的公共弦方程，观察发现的圆心在公共弦上，从而得到弦AB的长为圆的直径，求出公共弦长.【详解】圆与圆联立可得：公共弦的方程为，变形为，故的圆心为，半径为，而满足，故弦AB的长为圆的直径，故弦AB的长为．故答案为：.16.如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为__________【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及斜率的定义即可求解.【详解】连接，如图所示设则，由椭圆的定义得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直线的斜率为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设等差数列的前项和为，已知，．（1）求；（2）若为与的等比中项，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件，列式后解方程组，求数列的首项和公差，再求通项公式；（2）首先由题意得，，代入通项公式后，求.【小问1详解】设等差数列公差为，，解得，，所以，，.【小问2详解】由题意：，，即，化简得：，解之得或（舍），故.18.已知直线（1）当时，直线过与的交点，且垂直于直线，求直线l的方程；（2）求点到直线的距离d的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算两直线的交点，根据垂直得到直线斜率，得到直线方程.（2）确定直线过定点，点到定点的距离即最大距离，计算即可.小问1详解】当时，直线：，：，则，解得交点又由直线l垂直于直线，而直线的斜率，两直线垂直得斜率乘积为，得到又因为直线l过与的交点，直线l的方程为，即【小问2详解】直线：过定点，又，点M到直线的距离d的最大值为19.已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项的和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）计算等差数列和等比数列的基本量即可写出通项公式.（2）根据题意利用分组转化即可进行求和.【小问1详解】由已知，设数列首项为，公差为，解得：，所以因为，，数列是单调递增等比数列，设数列首项为，公比为，所以解得：，，所以所以【小问2详解】由已知所以20.已知椭圆的两个焦点为，点在上，直线交于两点，直线的斜率之和为0.（1）求椭圆的方程；（2）求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标及椭圆过点列出方程即可求解；（2）设直线，联立椭圆方程，求出P点坐标，再由以代替求出Q点坐标，由两点坐标求直线斜率即可得解.【小问1详解】由题意知，故可设椭圆方程为，由在上可得，，解得或（舍去），故所求椭圆的方程为.【小问2详解】设直线，，把代入椭圆方程整理可得：，设，则，，从而得点，在上式中以代替，得，即直线的斜率为.21.已知圆，过点的直线与圆相交于，两点，且，圆是以线段为直径的圆．（1）求圆的方程；（2）设，圆是的内切圆，试求面积的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设出直线，根据已知求出弦心距，从而求出直线的方程.再根据两圆相交时，圆心连线与交线垂直得出Q点坐标，从而求得结果；（2）根据圆的性质，可从（1）中结果中任选一种解答，根据已知可得，三边所在的直线就是圆的切线，设出切线方程，可以表示出斜率和t的关系，A，B两点都在y轴上，则以AB做底，高就是C点横坐标的绝对值.【小问1详解】设直线的方程为