吉林省长春市重点高中2023-2024学年高三上学期期中考试 数学

高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，若，则（）A或3 B.0 C.3 D.2.若复数满足，则的虚部是（）A. B. C.1 D.3.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.4.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（）A.49% B.51% C.65.7% D.72.9%5.要得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位6.已知是半径为的球体表面上的四点，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.7.设函数，则使成立的x的取值范围为（）A. B. C. D.8.设是定义域为R的奇函数，且.若，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.关于函数，下列说法正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数的图像关于中心对称C.函数的对称轴方程为，D.将的图像向右平移个单位长度后，可以得到的图像10.对于数列，如果为等比数列，那么就称为“等和比数列”．已知数列，且，，设为数列的前n项和，且，则下列判断中正确的有（）A. B. C. D.11.定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则下列结论正确的有（）A. B. C. D.12.已知，且，则（）A.ab的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最大值为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设，则函数的最小值是__________.14.函数定义域为R，满足，且当时，，若对任意的，都有，则m的取值范围是_______15.三棱锥中，在底面的射影为的内心，若，，则四面体的外接球表面积为_________.16.已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前n项和，若，则的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设数列的前项和为，已知．（1）求通项公式；（2）设，求数列的前的项和．18.已知函数的最小正周期为．（1）求的解析式；（2）当时，，求的值．19.第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.20.如图，已知三个内角，，对边分别为，，，且，，．（1）求；（2）是外一点，连接，构成平面四边形，若，求的最大值．21.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）求最大值.22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设，若，是的两个极值点，证明：．

高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，若，则（）A.或3 B.0 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】由集合相等的含义得，求解并验证互异性即可.【详解】，，解得或，当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去.当时，，此时，满足题意.综上，.故选：C.2.若复数满足，则的虚部是（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算求得，进而求得的虚部.【详解】，故的虚部是.故选：A3.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出命题为真时的充要条件，进一步判断即可.【详解】若命题“”为真命题，即恒成立，又，则，故，结合选项可知，是的一个充分不必有条件，故选：4.某企业在生产中为倡导绿色环保理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（）A.49% B.51% C.65.7% D.72.9%【答案】C【解析】【分析】根据给定的函数模型，结合已知数据列出方程求解作答.【详解】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为，于是，解得，因此前6小时过滤后剩余污染物数量为，所以前6小时共能过滤掉污染物的.故选：C5.要得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】，根据三角函数图象的平移变换即可求解.【详解】因为,所以将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象.故选:B.6.已知是半径为的球体表面上的四点，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设球心为，分别取，的外接圆圆心为，连接，证得为中点，平面与平面的夹角即为的余角，解，即可得解.【详解】设球心为，分别取，的外接圆圆心为，连接，

∵，∴点为中点，则，

由为外心，故，则，

由题意可得平面，

故平面与平面的夹角，即为的余角.

在中，，，

则由正弦定理可得，

由球的半径为，故，,

由平面，平面，可得，

则中，,即，

故平面与平面的夹角为，故其余弦值为.故选:B7.设函数，则使成立的x的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】分和两种情况解不等式即可【详解】当时，由，得，得，，所以，当时，由，得，得，所以，综上，，即使成立的x的取值范围为，故选：B8.设是定义域为R的奇函数，且.若，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.关于函数，下列说法正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数的图像关于中心对称C.函数的对称轴方程为，D.将的图像向右平移个单位长度后，可以得到的图像【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的解析式分别应用对称轴,对称中心,单调性及平移逐个判断选项即可.【详解】对于A:,,所以函数在上单调递减,故A正确;对于B:令,则,故函数的对称中心为,故B错误;对于C:令,则,故函数的对称轴为,故C正确;对于D:将的图像向右平移个单位长度可得,故D正确.故选:ACD.10.对于数列，如果为等比数列，那么就称为“等和比数列”．已知数列，且，，设为数列的前n项和，且，则下列判断中正确的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由①，则当时有②，两式相减得．求出后利用累加法求得，判断AB，利用可得，从而判断CD，【详解】根据题意知，数列中，有①，则当时有②，①－②可得．又由，，得，则，，，，则，A正确，B错误；若，则，，，，则，C正确，D错误．故选：AC11.定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则下列结论正确的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】构造函数，利用导数得出其单调性，然后由单调性比较大小，从而判断各选项．【详解】令，则．∵在上恒成立，∴，故在单调递增．由，得，即，故A正确；由，得，即，故B错误；由，得，即，故C正确；由得，即，故D错误．故选：AC．12.已知，且，则（）A.ab的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最大值为3【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式求解判断【详解】因为，且，A.，当且仅当时，等号成立，故正确；B.，当且仅当，即时，等号成立，故正确；C.，当且仅当时，等号成立，故正确；D.，当且仅当，即时，等号成立，故错误；故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设，则函数的最小值是__________.【答案】【解析】分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值是最小值为.故答案为：.14.函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意的，都有，则m的取值范围是_______【答案】【解析】【分析】首先根据已知条件依次得到在附近的区间，、对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m的取值范围【详解】当时，，则，当时，，则，当时，，则，由此作出图象如图所示，由图知当时，令，整理得：，解得：或，要使对任意的，都有，必有，所以m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.15.三棱锥中，在底面的射影为的内心，若，，则四面体的外接球表面积为_________.【答案】【解析】【分析】根据三棱锥的几何特征可知内切圆半径为，所以可得四面体外接球球心为在平面射影为中点，根据勾股定理找出等量关系可解得外接球半径，即可求出结果.【详解】三棱锥底面为直角三角形，为内心，由，可得，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：设内切圆半径，易知的周长为，面积为；由等面积可得，解得；设四面体外接球球心为，所以易知在平面射影为中点，易知，则，设，则，且，即，解得，则四面体的外接球表面积为.故答案为：【点睛】方法点睛：求解几何体外接球半径问题时，一般是根据几何体特征找出外接球球心位置再利用等量关系解出半径即可求出结果.16.已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前n项和，若，则的最小值为______．【答案】18【解析】【分析】先根据得到，从而，对进行整理，用含的式子表示，再用基本不等式进行求解最小值.【详解】由得，所以，，故，解得：或，因为数列是各项均为正数，所以，故，所以．当且仅当时取得最小值．故答案为：18四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设数列的前项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前的项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得，两式相减化简可得数列是以1为首项，3为公比的等比数列，从而可求出其通项公式，（2）由（1）得，然后分别利用分组求和，错位相减法求出奇数项的和与偶数项的和，相加即可.【小问1详解】由，得，两式相减得．令数列是以1为首项，3为公比的等比数列，【小问2详解】由题意可得，,①，则②，①②得：,∴,18.已知函数的最小正周期为．（1）求的解析式；（2）当时，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，利用及即可求出解析式；（2）判断出，根据，即可求出的值，进一步可求出的值，根据二倍角公式，即可求出的值.【小问1详解】因为，所以，则，，因为，所以，所以，所以，则．【小问2详解】当时，，且，所以，所以，所以，由，得．19.第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【答案】（1）（2）当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【解析】【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案【小问1详解】由题意知，当时，，所以a=300.当时，；当时，.所以，【小问2详解】当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；当时，，当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.20.如图，已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，．（1）求；（2）是外一点，连接，构成平面四边形，若，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换可得；（2）设，在中利用正弦定理可得，再在中，利用余弦定理可得，结合三角函数性质可得最值.【小问1详解】由已知，则，所以，化简可得，又在中，，所以，则，即，又，，所以，，所以；【小问2详解】由（1）得，设，则，在中，由正弦定理得，即，且，即，在中，由余弦定理得，即，由，所以，所以当，即时，取得最大值为，所以的最大值为.21.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）方法1，利用正弦定理边化角，进而可得，结合角的范围即可求解；方法2，利用余弦定理进行边角的互化，进而可得，结合角的范围即可求解；（2）利用正弦定理边化角，结合辅助角公式进