第九章《平面向量》单元达标高分突破必刷卷培优版（全解全析）

第九章《平面向量》单元达标高分突破必刷卷(培优版）全解全析1．B【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于与方向相反，长度相等，故B正确；因为零向量的模为0，故C错误；与线段的长度相等，故D错误．故选：B．2．B【分析】根据向量加减法运算法则运算求解即可.【详解】解：因为中，D为BC的中点,所以，，故选：B3．B【分析】利用向量的线性运算、向量的共线的充要条件进行求解判断.【详解】对于A，因为，，若A，B，C三点共线，则存在实数使得，则，无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；对于B，∵，∴，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线，故B正确；对于C，因为，，所以，若A，C，D三点共线，则存在实数使得，又，所以，无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数使得，又，，所以，无解，所以B，C，D三点不共线，故D错误；故选：B.4．A【分析】利用向量的数量积的运算以及夹角公式即可求解.【详解】设，的夹角为，因为，为单位向量,且，所以，即，整理得，解得或（舍），因为.故选:A.5．A【分析】以为基底，结合已知条件，由平面向量的线性运算可得.【详解】在△ABC中，AD⊥AB，，，则.故选：A．6．D【分析】由题意可求得，代入即可求得答案.【详解】因为在方向上的投影为，所以，又因为，所以，所以，则.故选：D.7．B【分析】先分析取最小值的状态，结合数量积的意义和二次函数可求答案.【详解】由题意，为钝角时，取到最小值；如图，为的中点，在上的投影向量为；由可知当在上的投影长最长时，即与圆相切时，可取到最小值；，当时，，所以的最小值为.故选：B.8．A【分析】建立坐标系，设，根据已知条件得到所设未知数的关系，利用向量模的坐标表示求出的取值范围，代换之后即可逐项判断.【详解】解：因为向量夹角为，设，因为，①，若，则由①得，这与矛盾.∴，代入（1）得，由得，综上：，，令，则，所以，，又，，故，故A正确；，令，则，所以，，，故，，则，故B、C、D都错误.故选：A【点睛】平面向量的解题思路：(1)利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)建立直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算进行解题.9．BC【分析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项；根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项.【详解】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确；设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错.故选：BC.10．ABD【解析】求出可判断A选项的正误；利用向量的减法法则求出，利用共线向量的基本定理可判断B选项的正误；计算出，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，，，则，A选项正确；对于B选项，，，，B选项正确；对于C选项，，所以与不垂直，C选项错误；对于D选项，，所以，，D选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.11．ACD【分析】根据向量间的线性关系及向量数量积的运算律化简求值判断A、D；若得到是△的重心，根据与不平行、相关三角形面积关系判断B、C.【详解】，则，A正确；若，则，所以是△的重心，直线过中点，而与不平行，所以直线不过边的中点，B错误；又，而，，所以，C正确；若，且，所以，而，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：注意向量之间的线性关系，结合向量数量积的运算律化简求值；根据重心的性质求三角形的面积关系.12．ACD【分析】利用向量共线定理推论可判断A，利用向量的线性运算几何表示可判断B，利用向量的数量积的定义及运算律可判断C，利用向量数量积的坐标运算及二次函数的性质可判断D.【详解】当点P在BD上时，因为，所以，故A正确；因为P在在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且，所以，则，故B错误；当点P在BD上时，，所以，故C正确；若P，Q在线段BD上，且，如图建立平面直角坐标系，设，则，，∴∴当时，有最小值为1，故D正确.故选：ACD.13．【分析】根据题意令，的夹角为，则，然后由的范围可求得结果.【详解】令，则，，设的夹角为，则，因为，所以，所以，所以，即的取值范围为，故答案为：.14．【分析】设，根据向量的模求出，得到向量的坐标，再由点A坐标得到点B坐标.【详解】向量与的方向相反，设，，则，解得，，由，有，所以点B坐标为.故答案为：15．【分析】结合图形，根据向量线性运算的法则分别讨论t＝0、t＞0、t＜0时的最小值情况，据此即可求出．【详解】当t＝0时，不满足题意；当t＞0时，设t＝，延长EA到F，使AF＝AE，则t＝，则，取AB中点为D，则CD⊥AB，则在Rt△CDF中，，此时无最小值不满足题意；当t＜0时，设t＝，则，取AB中点为D，则CD⊥AB，由图可知，，∵的最小值为1，∴＝1，∴．故答案为：．16．【分析】根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置，进行适当的推理与运算，即可求出实数x的取值范围.【详解】解：如图所示，在线段BD上取一点G，使得，设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H，连接FH，则点K､H为临界点；GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，，所以FH∥BC；所以FHBC，所以，所以KGHK，KGHGDE.所以实数x的取值范围是().故答案为：().【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的线性运算问题，也考查了推理与运算能力，是难题，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置.17．(1)(2)【分析】（1）将两边平方，求出，再根据数量积得定义即可得解；（2）根据数量积的运算律求出，再根据向量在向量上的投影为即可得解.（1）解：∵，∴，即，又，∴，∴，又向量夹角范围是，∴与的夹角为；（2）解：∵，∴向量在向量上的投影为．．18．(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果；（2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论.【详解】（1）由题图，，.（2）由，又，所以，故三点共线.19．，最大值为．【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，得到向量的坐标，利用向量数量积的运算公式，即可求解.【详解】如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，其中，则，所以，又由，所以，而，所以的最大值为．故答案为：；.20．(1)(2)存在，．【分析】（1）用计算，求向量夹角公式为，代入计算即可.（2）由整理的关系式，由得t的取值范围.【详解】（1），∴，设向量和的夹角为，，∴与夹角为．（2）假设存在正实数t和k，使得，则，∴∵，∴，∴，，故或，解得即存在且t的取值范围为．21．(1)；(2).【分析】（1）由向量的线性运算表示，，根据向量垂直的条件求得，继而可求得；（2）以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，设点，且，，运用二次函数的性质可求得的取值范围.(1)解：，，又，所以，所以，由得，所以.所以；(2)解：以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，则，，，，，，又点为线段上的任意一点，设点，且，则，，所以，所以当时，取得最大值：，当或时，取得最小值：，所以的取值范围为.22．(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）最大值为，最小值为.【分析】（1）利用向量线性运算可将所求式子化为，利用平面向量数量积的定义和运算律可得，进而得到结果；（2）（ⅰ）由，，利用向量数量积的定义可求得结果；（ⅱ）利用向量数量积运算律可得，进而用表示出，同理可得；，将所求式子表示为；分别在和的情况下，根据函数单调性求得最大值和最小值.（1）当时