专题强化三：多面体与球有关的内切、外接问题（原卷版）

专题强化训练三：：多面体与球有关的内切、外接问题技巧归纳1．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．2．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝eq\r(2)a；三是球外接于正方体，此时2R＝eq\r(3)a.题型归纳题型一：构造法(补形法)1．（2023·高一）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（

）A． B．C． D．2．（2023春·全国·高一专题练习）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（

）平方尺.A． B． C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．题型二：确定球心位置法4．（2022春·高一校考单元测试）已知点都在球的球面上，，是边长为1的等边三角形，与平面所成角的正弦值为，若，则球的表面积为（

）A． B． C． D．5．（2023春·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（

）A．1 B． C． D．26．（2023春·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（

）A． B． C． D．题型三：直接法(公式法)7．（2023·全国·高一专题练习）长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（

）A． B． C． D．9．（2023·全国·高一专题练习）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（

）A． B． C． D．题型四：球表面积和体积最值问题10．（2023·全国·高一专题练习）已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，若三棱锥的体积最大值为2，则球O的半径为（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·高一专题练习）已知正三棱锥的底面边长为6，体积为，A，B，C三点均在以S为球心的球S的球面上，P是该球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．12．（2023春·全国·高一专题练习）在正三棱柱中，所有棱长之和为定值，当正三棱柱外接球的表面积取得最小值时，正三棱柱的侧面积为（

）A．12 B．16 C．24 D．1813．（2023春·河南郑州·高一校考期中）已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（

）A． B． C． D．14．（2023·全国·高一专题练习）已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．15．（2023春·河北保定·高一校考阶段练习）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵中，，鳖臑的外接球的体积为，则阳马体积的最大值为（

）A． B． C． D．4专题精选强化一、单选题16．（2023春·全国·高一专题练习）在四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，则四棱锥外接球的表面积为（

）A．4π B．8π C． D．17．（2022春·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（

）A．2：3 B．3：2 C． D．18．（2022春·浙江宁波·高一校联考期中）三棱锥的侧棱两两垂直，且侧面面积分别为，则该三棱锥内切球的半径为（

）A．4 B． C． D．19．（2023·全国·高一专题练习）若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．20．（2023·全国·高一专题练习）正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：3 B．1： C． D．21．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．22．（2023·高一课时练习）如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（

）A． B． C． D．23．（2023春·全国·高一专题练习）已知中，，，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．24．（2023春·全国·高一专题练习）《九章算术·商功》中描述很多特殊几何体，例如“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即如图，一个长方体，沿对角面分开（图1），得到两个一模一样的堑堵（图2），将其中一个堑堵，沿平面分开（图2），得到一个四棱锥称为阳马（图3），和一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若鳖臑的体积为4，且，则阳马的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题25．（2023春·河南漯河·高一校考期中）长方体的长、宽、高分别为3，，体积为6，外接球的表面积为，则下列说法正确的是（

）A．长方体的长、宽、高分别为3，2，1B．沿长方体的表面从到的最短路径长度为C．与这个长方体表面积相等的正方体的棱长为2D．设与这个长方体体积相等的正四面体的棱长为m，则26．（2023春·全国·高一专题练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（

）A．该截角四面体的内切球体积 B．该截角四面体的体积为C．该截角四面体的外接球表面积为 D．外接圆的面积为27．（2022春·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期末）如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（

）A．存在某个位置，使得与所成角为锐角B．棱上总会有一点，使得平面C．当三棱锥的体积最大时，D．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是28．（2023春·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，，则（

）A．B．三棱锥的体积为C．三棱锥外接球半径为D．异面直线与所成角的余弦值为三、填空题29．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）四面体中，，，则此四面体外接球的表面积为_____．30．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）已知某圆锥的内切球的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为__________．31．（2023春·全国·高一专题练习）已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______.32．（2023春·河南信阳·高一河南省信阳市第二高级中学校考期中）已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为__________.33．（2023·高一单元测试）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足，平面，，若三棱锥的体积为，则该“鞠”的体积的最小值为______.34．（2023春·全国·高一专题练习）已知正三棱柱的所有棱长为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________．35．（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥的外接球的半径为，，，，则三棱锥的体积为______.36．（2023春·全国·高一专题练习）底边和腰长之比为的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为______.37