专题16 难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题压轴题四种模型全攻略（解析版）

专题16难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】 1【类型二平面直角坐标系中图形翻转问题】 5【类型三平面直角坐标系中图形变换问题】 8【类型四平面直角坐标系中新定义型问题】 10【过关检测】 17【典型例题】【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为．

【答案】【分析】对奇数点，偶数点分开讨论，找出点坐标与序数的关系，总结规律求解．【详解】解：，；，；，；，；……当为奇数时，；当为偶数时，；∴，即．故答案为：．【点睛】本题考查点坐标规律探索，由开始的几个点坐标总结规律是解题的关键，注意分开讨论．【变式训练】1．（2023秋·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】分别找到横坐标和纵坐标的变化规律，再算出2023与2的商和余数，继而得解．【详解】解：第1次：，第2次：，第3次：，第4次：，第5次：，…，则横坐标是从1开始的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，则，∴第2023次的坐标是：，故选C．【点睛】本题考查了规律型—点的坐标，解决本题的关键是观察点P的运动变化发现规律，总结规律．2．（2023秋·黑龙江佳木斯·八年级佳木斯市第五中学校联考开学考试）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是．

【答案】【分析】设动点运动了次，则点的横坐标为，点的纵坐标按，，，，，，，，重复出现，每个数为一个循环．【详解】解：设动点运动了次．观察图形中点的坐标可知：点的横坐标为，点的纵坐标按，，，，，，，，重复出现，每个数为一个循环．∵，∴当点经过次运动后，横坐标为，纵坐标为．即点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的规律，根据已知点的坐标归纳概括出点的坐标的规律是解题的关键．3．（2023春·四川内江·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，把一条长为a个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在四边形的边上．（1）当时，细线另一端所在位置的点的坐标是；（2）当时，细线另一端所在位置的点的坐标是．

【答案】【分析】根据点的坐标，求出四边形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【详解】解：∵，∴，∴四边形的周长为，∴细线绕一圈的长度为10，∵，∴当时，细线另一端所在位置的点与点重合，坐标为：；∵，∴当时，细线另一端所在位置的点在点下方1个单位长度处，即为：；故答案为：，；【点睛】本题考查坐标与图形，点的规律探究，解题的关键是求出四边形的周长。【类型二平面直角坐标系中图形翻转问题】例题：（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为，经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一个循环，求出的商，从而解答本题．【详解】解：观察图形得，，，，，经过4次翻滚后点A对应点一个循环，，∵点，长方形的周长为：，∴经过505次翻滚后点A对应点的坐标为，即．∴的坐标为．故选：B．【点睛】此题考查探究点的坐标的问题，解题的关键是找到点的变化规律．【变式训练】1．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，是直角三角形，点O为直角顶点，已知点，，，将按如图方式在x轴负半轴上向左连续翻滚，依次得到、、、…，则的直角顶点的横坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图形，从到经过的路程恰好为的周长，据此即可求解．【详解】解：由题意得：从到经过的路程恰好为的周长：故的直角顶点的横坐标为：；的直角顶点的横坐标为：同理：从到经过的路程恰好为：故的直角顶点的横坐标为：；的直角顶点的横坐标为：…∴、、、…、的直角顶点的横坐标为：∵∴的直角顶点的横坐标为：∵与的直角顶点的横坐标相同故的直角顶点的横坐标是故选：B【点睛】本题考查坐标与规律．根据题意确定坐标变化规律是解题关键．2．（2022·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在点的位置，则的横坐标为（

）

A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】B【分析】观察图形和各点坐标可知：点到要翻转4次为一个循环，到横坐标刚好加4，到处横坐标加3，按照此规律，求出的横坐标，进而求出答案．【详解】解：由题意可知：点到要翻转4次为一个循环，，，，，，，到横坐标刚好加4，到处横坐标加3，，，，的横坐标，故选：B．【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律．3．（2023春·安徽芜湖·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置……依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的滚动可知每滚动3次为一个周期，点在第一象限，点在轴上，由点，，可得，从而得到，进而得出点的横坐标，同理可得出点、的横坐标，从而得出点的横坐标为（为正整数），再代入即可得出答案．【详解】解：根据题意得：每滚动3次为一个周期，点在第一象限，点在轴上，，，，由旋转的性质可得：，点的横坐标为：，同理可得出：点的横坐标为：，点的横坐标为，，点的横坐标为（为正整数），点的横坐标为，点的坐标为，故选：B．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意进行计算得出规律：点的横坐标为（为正整数），是解题的关键．【类型三平面直角坐标系中图形变换问题】例题：（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若点坐标是，则经过第2022次变换后，点的对应点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可．【详解】解：点第一次关于轴对称后在第二象限，坐标为，点第二次关于轴对称后在第三象限，坐标为，点第三次关于轴对称后在第四象限，坐标为，点第四次关于轴对称后在第一象限，坐标为，即点回到原始位置，每四次对称为一个循环组依次循环，，经过第2022次变换后所得的点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为，故选：A．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察图形得出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作对称点，一个点作“2”变换表示将它关于y轴作对称点．由数字0，1，2组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“012”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到，再将关于y轴对称得到．．．．．．依次类推．点经过“012012012．．．．．．．”100次变换后得到点的坐标为（

）．(注：“012”算3次变换)A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可知按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成，如此求解下去可知按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成，据此求解即可．【详解】解：由题意得，点按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成，点按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成，∴可知点按序列“012012”作变换后得到的坐标仍是，∴点按照序列“012012012．．．．．．．”作变换时每6次是一个循环，∵，∴经过“012012012．．．．．．．”100次变换后得到点的坐标为，故选D．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到点坐标变化规律是解题的关键．【类型四平面直角坐标系中新定义型问题】例题：（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）新定义：在平面直角坐标系中中的点，若点P的坐标为（其中k为常数，），则称点为点P的“k属派生点”．例如：点的“3属派生点”为，即．(1)点的“2属派生点”的坐标为________；(2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且线段的长为线段长的3倍，求k的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据“k属派生点”的定义，进行求解即可；（2）分和，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：，即：，故答案为：．（2）解：设点点P的“k属派生点”为点，∴，∵，的纵坐标相同，∴轴，如图，分两种情况：①当时，，∵，∴，∴；②当时，∵，∴，∴；

综上：或．【点睛】本题考查点的坐标规律．解题的关键是理解并掌握“k属派生点”的定义．【变式训练】1．（2023春·河南漯河·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点．……以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的坐标为和友好点的定义，顺次写出点、、、的坐标，发现循环规律，即可求解．【详解】解：当点的坐标为时，点的友好点的坐标为，点的友好点的坐标是，点的友好点的坐标是，点的友好点的坐标是，……以此类推，∴，，，（n为自然数），∵，∴点的坐标为，故选：C【点睛】此题考查了点的坐标变化规律，从已知条件得出循环规律是解题的关键．2．（2023春·吉林松原·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点是点的“a级关联点”．(1)已知点的“级关联点”是点；(2)已知点的“级关联点”N位于x轴上，求点N的坐标；(3)在（2）的条件下，若存在点H，且，直接写出H点坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据新定义代入求解；（2）先根据新定义写出坐标，再根据x轴上的点的特征，列方程求解；（3）根据平行直线的关系求解．【详解】（1）解：由题意得：，即；（2）解：由题意得：，∵N位于x轴上，∴，解得：，∴；（3）解：由（2）得：，∴，∵轴，且，∴或．【点睛】本题考查了点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题的关键．3．（2023秋·安徽合肥·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．(1)若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为________；(2)若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；(3)若点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点P2的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据派生点的定义，结合点的坐标计算后即可得出结论；（2）根据派生点的定义，结合点的坐标列出二元一次方程组，计算后即可得出结论；（3）先根据点的平移特点得出点的坐标为，再由派生点的定义和点的“阶派生点”位于坐标轴上，分在轴和轴上，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：根据新定义，点P的“3阶派生点”的坐标为即：；∴点的“3阶派生点”的坐标为．（2）由题意，得：，解得：，∴点P的坐标为；（3）∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点∴点∴的“阶派生点”为：即当点在x轴上，解得：；此时；当点在y轴上，解得：；此时；∴点的坐标或．【点睛】本题考查了新定义下求点的坐标，平移的坐标表示等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4．（2023春·北京房山·八年级统考期末）在平面直角坐标系中,不同的两点，,给出如下定义：若,则称点，互为“等距点”．例如，点,互为“等距点”．(1),，,四个点中，能与坐标原点互为“等距点”的是________．(2)已知，①若点是点的等距点，且满足的面积为,求点的坐标；②若以点为中心，边长为正方形上存在一点与点互为等距点，请直接写出t的取值范围．【答案】(1)、(2)①点B的坐标为，，，；②或【分析】（1）根据“等距点”定义，逐点验证即可得到答案；（2）①设，由题意得到，或，再由的面积为，列式，解得，代入或，即可得到点的坐标为或或或；②根据题意，作出图形，设，当与点互为等距点，则，分四种情况：当在正方形左边上；当在正方形右边上；当在正方形上边时；当在正方形下边时，分类讨论即可得到答案．【详解】（1）解：根据“等距点”定义，得：、,，即与坐标原点不是“等距点”；、,，即与坐标原点互为“等距点”；、,，即与坐标原点不是“等距点”；、,，即与坐标原点不是“等距点”；综上所述，与坐标原点互为“等距点”的是、故答案为：、；（2）解：①，点是点的等距点，设，则，即，或，如图所示：

的面积为，由图可知，，解得，当点在上时，由得到；由得到，即点的坐标为或；当点在上时，由得到；由得到，即点的坐标为或；综上所述，点的坐标为或或或；②如图所示：

，正方形边长为，设，当与点互为等距点，则，当在正方形左边上，有，即，得到，解得或；当在正方形右边上，有，即，得到，解得或；当在正方形上边时，有，再由解得或，则或，解得或；当在正方形下边时，有，再由解得或，则或，解得或；综上所述，若以点为中心，边长为正方形上存在一点与点互为等距点，t的取值范围为或．【点睛】本题考查新定义与坐标问题，读懂题意，根据新定义结合学过的知识，综合运用是解决问题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023春·河南开封·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友谊点．已知点的友谊点为，点的友谊点为，点的友谊点为…，这样依次得到点，，，…，，若点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据定义，可得，，，，的坐标，进而得到规律每4个点为一个循环，点的坐标依次为，，，，从而计算出点的坐标．【详解】解：∵点的坐标为，∴的坐标为，即∴的坐标为，即同理可得的坐标为，的坐标为，……，∴以此类推可知每4个点为一个循环，点的坐标依次为，，，∵，∴点的坐标为，故选：A．【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．2．（2023春·广西南宁·七年级统考期末）王老师要求同学们观察生活中的现象编写一个数学问题，小颖同学观察台球比赛台球撞击台桌时受到启发，把它抽象成数学问题：如图，已知长方形，小球P从出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球P第2023次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】按照光线反射规律，画出图形，可以发现每六次反射一个循环，最后回到起始点，然后计算2023有几个6即可求出对应点的坐标．【详解】解：按照光线反射规律，画出图形，如下图：

，，，，，，，…，通过以上变化规律，可以发现每六次反射一个循环，∵，∴，∴点的坐标是．故选：D．【点睛】此题考查了点的坐标规律性变化，解决此类问题的关键是找到待求量与序号之间的关系．3．（2023春·河南驻马店·七年级统考阶段练习）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2023次运动到点（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知点的坐标可以推出动点的横坐标为，纵坐标按照四个为一组进行循环，进行求解即可．【详解】解：∵第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次从原点运动到点，第5次运动到点，∴动点的横坐标为，纵坐标按照四个为一组进行循环，∵，∴第2023次运动到点，即：；故选D．【点睛】本题考查点的坐标规律探究，解题的关键是根据已知点的坐标，确定点的坐标规律．4．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，小明同学做了一个实验：他将小长方形放置在平面直角坐标系中，使得小长方形一个顶点与原点重合，一边与轴重合．接下来，小明每次将小长方形向右顺时针方向旋转，使得小长方形一边与轴重合．经过多次实验，小明总结出：当旋转2023次时，小长方形最右侧与轴的交点的横坐标为2530．则图中点A的坐标可能为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】设点，由题意可知小长方形的长为x，宽为y，当旋转1次时，小长方形最右侧与x轴的交点横坐标为；当旋转2次时，小长方形最右侧与x轴的交点横坐标为；当旋转3次时，小长方形最右侧与x轴的交点横坐标为；当旋转4次时，小长方形最右侧与x轴的交点横坐标为；当旋转5次时，小长方形最右侧与x轴的交点横坐标为；….；由此可得规律进行求解．【详解】解：设点，由题意可知小长方形的长为x，宽为y，∴当旋转1次时，小长方形最右侧与x轴的交点横坐标为；当旋转2次时，小长方形最右侧与x轴的交点横坐标为；当旋转3次时，小长方形最右侧与x轴的交点横坐标为；当旋转4次时，小长方形最右侧与x轴的交点横坐标为；当旋转5次时，小长方形最右侧与x轴的交点横坐标为；…..∴当旋转的次数为n，若n为偶数时，对应的横坐标为；若n为奇数时，对应的横坐标为，∴当时，则有，解得：，∴点A横纵坐标之和为2.5；故选：B．【点睛】本题主要考查点的坐标规律，解题的关键是得到点的坐标的一般规律．5．（2023春·山东济宁·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出凸形的周长为16，得到的余数为7，由此即可解决问题．【详解】解：∵，，，，，∴“凸”形的周长为16，∵的余数为7，∴则细线另一端所在位置的点的坐标是．故选：B．【点睛】本题考查了点坐标规律探究，解题的关键是理解题意，求出“凸”形的周长，属于中考常考题型．二、填空题6．（2023春·湖北荆州·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，则点的坐标为．【答案】【分析】设，求出、、、的坐标，找到规律，即可求出的坐标．【详解】解：根据题意，设点的坐标为，则，，，，由此可知，每四次一循环，因为，所以，，解得：，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是准确理解题意，发现变换规律，求出字母的值．7．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，点第1次向上平移2个单位至点，接着又向左平移2个单位至点，然后再向上平移2个单位至点，向左平移2个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标是．

【答案】【分析】根据题意确定平移规律即可求解．【详解】解：由题意得：点与点的横坐标相同点的横坐标比点的横坐标减少：即点的横坐标为：∴点的横坐标也为：而点的纵坐标比点的纵坐标增加：∴点的纵坐标为：∴点的坐标是故答案为：【点睛】本题考查坐标的规律探索．确定平移规律是解题关键．8．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是则经过第2022次变换后所得的点的坐标是．

【答案】【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可．【详解】解：∵点第一次关于轴对称后在第四象限，坐标为点第二次关于轴对称后在第三象限，坐标为点第三次关于轴对称后在第二象限，坐标为点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，坐标为∴每四次对称为一个循环组依次循环，∵，∴经过第2022次变换后所得的点与第二次变换的位置相同，在第三象限．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．9．（2023春·内蒙古兴安盟·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将顺着轴无滑动的滚动．第一次滚动到①的位置，点的对应点记作点；第二次滚动到②的位置，点的对应点记作点；第三次滚动到③的位置，点的对应点记作点；；依次进行下去，发现点，，，，则点的坐标为．

【答案】【分析】根据图形的变化，找到规律，再计算求解．【详解】解：∵，，∴，由题意得：三角形滚动次为一个周期，向右移动，∵，，，∴点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标的变化规律，找到变化规律是解题的关键．10．（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为直角边构造等腰直角三角形，再以为直角边构造等腰直角三角形，再以为直角边构造等腰直角三角形，…按此规律进行下去．

（1）的长度为；点的坐标为；（2）若的面积为16，则n的值为．【答案】26【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，，，…，，再利用、、、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴的特点可得到点在y轴负半轴上，即可确定点的坐标；（2）由（1）得：，，，，…，可得，的面积为，再建立方程求解即可．【详解】解：（1）∵，等腰直角三角形的直角边在x轴的负半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…，∴，，，，…，∵、、、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴，，∴点在第三象限，∵，由等腰直角三角形的性质可得的横坐标与纵坐标都为，∴点的坐标为：．故答案为：；；（2）由（1）得：，，，，…，∴，∴的面积为，∵的面积为16，∴，∴，∴，解得；故答案为：6【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于；斜边等于直角边的倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征，勾股定理的应用．三、解答题11．（2023春·河南周口·七年级统考期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的路线移动（即沿着长方形移动一周）．

(1)直接写出点B的坐标；(2)当点P移动了3秒时，在图中描出此时P点的位置，并求出点P的坐标；(3)在移动过程中，当点P到x轴距离为4个单位长度时，并求点P移动的时间．【答案】(1)；(2)P点的位置见解析，点P的坐标是；(3)点P移动了4秒或8秒【分析】（1）根据图形及坐标的定义直接求解即可得到答案；（2）根据时间得到路程即可得到点的坐标；（3）根据距离列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：由图像可得，∵四边形是长方形，∴，，∴；（2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的路线移动，∴点P移动了3秒时路程为：，位于边上，如图所示，

∴，∴点P的坐标是；（3）解：①当点P在上时，，走过的路程是个单位长度，

移动的时间为：(秒)；②当点P在上时，，走过的路程是个单位长度，移动的时间为：(秒)，综上所述，当点P移动4秒或8秒时，点P到x轴距离为4个单位长度；【点睛】本题考查平面直角坐标系中动点问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离及分类讨论．12．（2023春·七年级课时练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向左、向下、向下、向左、向上的方向依次不断移动得，，，，，，…，每次移动的距离分别为1，1，1，2，2，2，3，3，3，…，其行走路线如图所示．

(1)写出下列各点的坐标：，，，；(2)写出点的坐标（n为正整数）；(3)求蚂蚁从原点O移动到点的路程．【答案】(1)，，，；(2)；(3)198．【分析】（1）根据图象可