专题12锐角的三角函数（5个知识点9种题型4个易错点2种中考考法）（原卷版）

专题12锐角的三角函数（5个知识点9种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.正切的定义（重点）知识点2.坡度和坡角的定义（重点）知识点3.正弦、余弦的定义（重点）知识点4.30°，45°，60°角的三角函数值（重点）知识点5.互为余角的锐角三角函数之间的关系（难点）【方法二】实例探索法题型1.求锐角三角函数值题型2.锐角三角函数与网格、平面直角坐标系的综合题型3.坡度的应用题型4.特殊角的三角函数值的计算题型5.三角函数间关系的运用题型6.利用锐角三角函数的增减性判断角的取值范围题型7利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状题型8.利用锐角三角函数解决几何问题题型9.动点问题【方法三】仿真实战法考法1.锐角三角函数的定义考法2.特殊角的三角函数值【方法四】成果评定法【学习目标】掌握正切、正弦、余弦的定义，并能根据它们的定义求一个锐角的正切、正弦和余弦的值。理解坡度、破角的定义，并能利用它们解决相关问题。能够由所给数据求出锐角三角函数值。4.熟记三个特殊角的三角函数值，并能准确地加以运用。5.掌握互余两角的正、余弦之间的关系，并利用这一性质进行有关计算。6.会利用计算器求锐角的三角函数值，或根据三角函数值求出相应的锐角。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.正切的定义（重点）正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．知识点2.坡度和坡角的定义（重点）（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．知识点3.正弦、余弦的定义（重点）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．知识点4.30°，45°，60°角的三角函数值（重点）（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．知识点5.互为余角的锐角三角函数之间的关系（难点）在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．【方法二】实例探索法题型1.求锐角三角函数值1．（2023•镜湖区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosB的值是（）A． B． C． D．2．（2021秋•萧县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（）A． B． C． D．3．（2021秋•安徽月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，则sinA的值为（）A． B． C． D．题型2.锐角三角函数与网格、平面直角坐标系的综合4．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（

）

A．1 B． C． D．25．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如图，已知的三个顶点均在格点上，则_____．6．（2022秋•池州期末）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．7．（2023•亳州模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosC＝．题型3.坡度的应用8．（2023春•萧县月考）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是米．9．（2022秋•宁国市期末）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若BD的坡度是1：2，则tan∠DEC的值是．题型4.特殊角的三角函数值的计算10．（2022秋•宁国市期末）计算：（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．11．（2022秋•长丰县校级期末）计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．12．（2022秋•池州期末）计算：2sin45°﹣+．13.（2022秋•宣城期末）计算：cos230°+sin245°﹣tan60°•tan30°14．（2022秋•定远县期末）计算：（1）cos30°sin45°+sin30°cos45°；（2）．15．（2023•池州模拟）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．16．（2023春•蚌埠月考）计算：sin45°•cos45°﹣tan60°÷cos30°．17．（2023•庐阳区校级一模）计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．题型5.三角函数间关系的运用18．（2022秋•怀宁县月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（）A． B． C． D．19．（2022秋•池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（）A． B． C． D．20．（2023春•金安区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinB＝．21．（2021秋•金牛区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA+cosA＝．22．（2021秋•安徽月考）若sinA＝，则tanA＝．23．（2023•怀宁县一模）若∠A是锐角，且tanA＝2sinA，则∠A＝．24．（2021•安庆模拟）已知sina＝（a为锐角），则tana＝．25．（2022秋•宣州区期末）已知α为锐角，cosα＝，求tanα﹣的值．26．（2022秋•宿州月考）已知∠A是锐角，cosA＝，求sinA，tanA的值．题型6.利用锐角三角函数的增减性判断角的取值范围27．（2022秋·安徽六安·九年级统考阶段练习）已知，则锐角A的取值范围是（）A． B． C． D．28．（2023•安徽模拟）比较大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．29．（2022秋•天长市月考）比较大小：tan40°tan50°（填“＞”“＝”或“＜”）．题型7.利用特殊角的三角函数值判断三角形的形状30．（2012秋•枞阳县月考）若△ABC中，锐角A、B满足，则△ABC是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形31．（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，都是锐角，，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形题型8.利用锐角三角函数解决几何问题32．（2023春·陕西铜川·九年级铜川市第一中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，以点A为圆心、AD为半径画弧交BC于点E．DF⊥AE于F．若E恰好为BC的中点.⑴∠BAE＝°；⑵DF平分AE吗？证明你的结论.

33．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得，，连接EF，FG，GH，HE．（1）判断四边形EFGH的形状，并证明；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且，，求AE的长．34．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，矩形的对角线交于点O，点P在上，其中．

(1)证明：．(2)若，求的值．(3)设，和的面积分别为，求证：．35．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图1，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，相交于点G，与相交于点．(1)求证：；(2)若，求；(3)如图2，连接，请判定三者之间的数量关系并证明．题型9.动点问题36．（2023秋·重庆巴南·九年级校考开学考试）如图，在等腰中，，，点D为中点，点P从点D出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，的面积为．根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行探究．

(1)直接写出y与x的函数关系式，注明x的取值范围，并画出y的函数图像；(2)观察y的函数图像，写出一条该函数的性质；(3)观察图像，直接写出当时，x的值______．（保留1位小数，误差不超过）37．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图1，在菱形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿运动到点B，然后以同样速度沿运动到点C停止．设当点E的运动时间为x秒时，长为y．下面是小聪的探究过程，请补充完整．(1)根据三角函数值小聪想到连接交于点O（如图2），请同学们帮忙求的长．(2)小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：x012345y54．824．845．065．466请同学们继续探究点E在上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数的两条性质．(3)结合图象探究发现时，x有四个不同的值．求y取何值时，x有且仅有两个不同的值．【方法三】仿真实战法考法1.锐角三角函数的定义1．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．32．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为．3．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为．．考法2.特殊角的三角函数值4．（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．5．（2022•绥化）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为．6．（2022•广东）sin30°＝．7．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．8．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．9．（2022•乐山）sin30°+﹣2﹣1．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022秋·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）已知sin42°≈，则cos48°的值约为（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）当时下列不等式成立的是（）A． B．C． D．3．（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）在中，，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2020秋·安徽淮北·九年级统考期末）已知，则锐角的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）在中，，，，那么的值是：（

）A． B． C． D．6．（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）在中，若，则是（

）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形7．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（

）A． B． C． D．8．（2022秋·安徽宣城·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，于点E，设，且，，则的长为（

）A． B． C． D．9．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．10．（2021·安徽淮南·校联考模拟预测）如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（）A．4.5cm2 B．9cm2 C．18cm2 D．36cm2二、填空题11．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，已知的三个顶点均在格点上，则．12．（2023春·安徽·九年级专题练习）比较大小：（填“”、“”或“”）．13．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）在中，，，，则．14．（2023·安徽合肥·统考三模）在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处．请完成下列问题：（1）；（2）当时，的长为．三、解答题15．（2023·安徽亳州·统考三模）计算：．16．（2023秋·安徽宣城·九年级统考期末）已知为锐角，，求的值．17．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，，点E在边上，，连接．(1)求证：四边形是菱形．(2)已知点F为中点，过点F作交于点G，，，请直接写出的长度．18．（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）如图，四