专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的‘三线合一’作辅助线压轴题三种模型全攻略（解析版）

专题08解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 10【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 17【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F．(1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________；(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由．【答案】(1)(2)图见解析，，理由见解析【分析】（1）连接，先根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据垂直的定义、等量代换可得，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）分①当点在线段的延长线上，且在的下方时，②当点在线段的延长线上，且在的上方时两种情况，参考（1）的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．【详解】（1）解：如图，连接，在中，，，为的中点，，，，，，在和中，，，，故答案为：．（2）解：，理由如下：①如图，当点在线段的延长线上，且在的下方时，如图，连接，在中，，，为的中点，，，，，，在和中，，，；②如图，当点在线段的延长线上，且在的上方时，如图，连接，在中，，，为的中点，，，，，，在和中，，，；综上，线段与的数量关系是，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．【变式训练】1．如图，在等腰直角三角形中，，，点为边上任意一点，点为的中点，过点作交于点．求证：为定值．【答案】证明见解析【分析】连接CD，证明△CDE≌△BDF，得CE=BF，进一步证明CE+CF=BC=，从而得到结论．【详解】证明：连接CD，如图，∵△ABC是等腰直角三角形，且D为AB的中点，∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，AD=BD=CD∴∠DCA=∠DCB=∠DBC=45°又DE⊥DF∴∠EDC+∠FDC=90°而∠FDC+∠FDB=90°∴∠EDC=∠FDB在△CDE和△BDF中，∴△CDE≌△BDF∴CE=BF∵BC=AC=a∴CE+CF=BE+CF=BC=AC=a，故：为定值．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明CE=BF是解答此题的关键．2.如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若．(1)求证：；(2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；(3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)能成为等腰三角形，此时的度数为或或或【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证；（2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由∵，可得，可证得，即可；（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．【详解】（1）明∶连接，∵，∴，∵P为斜边的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：仍成立，理由如下：连接，∵，∴，∵P为斜边的中点，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：能成为等腰三角形，①当，点E在的延长线上时，则，又∵，∴；②当，点E在上时，则；③当时，则，∴；④当，点E和C重合，∴；综上所述，能成为等腰三角形，的度数为或或或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3．在中，，，点O为的中点．(1)若，两边分别交于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．【答案】(1)①见解析；②18(2)2【分析】（1）①由“”可证，可得；②由“”可证，可得，即可求解；（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．【详解】（1）①证明：如图1，连接，∵，，∴.∵点O为的中点，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②解：如图2，连接，同理可证：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：18；（2）解：如图3，连接，过点O作，交的延长线于点H，∵，，点O为的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】例题：如图，点，在的边上，，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）过作于点，根据三线合一可得：，，即可证明；（2）过作于点，易证，可得，即可求解．【详解】（1）证明：如图过作于点，∵，，∴，∵，∴，∴；（2）解：过作于点，在和中，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，．(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）．【答案】(1)20°(2)见解析(3)【分析】（1）先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出，即可由求解；（2）过点作于点，过点作于点，证明，得出，，进而求得，，即可得出，从而得出结论；（3）由（2）可知，，从而有，再根据，则有，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴．（2）证明：过点作于点，过点作于点，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴在和中，，∴，∴，，∵，设、交于点，则又，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．（3）解：由（2）可知，，∴，∵，∴．．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中．2．已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．

(1)若线段，求线段的长；(2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．①是否成立，请说明理由；②请判断三条线段的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)①成立，理由见解析；②，理由见解析【分析】（1）如图所示，过点B作于H，由三线合一定理得到，由角平分线的定义得到，进一步证明，得到，则；（2）①如图所示，过点B作于H，由三线合一定理得到，同（1）可得，则，由，即可推出；②如图所示，在上截取，连接，先证明，进而证明，得到，进一步证明，从而证明，得到，由可证明．【详解】（1）解：如图所示，过点B作于H，∵，∴，即，∵平分，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴

（2）解：①成立，理由如下：如图所示，过点B作于H，∵，∴，即，同（1）可得，∴，∵，∴，∴；

②，理由如下：如图所示，在上截取，连接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据证明，即可得出；（2）过点C作交于点M，由可得，根据平行线的性质得出，可得，进而得出，再根据据证明，得出，等量代换即可得到．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：过点C作交于点M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1．如图所示，D为内一点，平分，，，若，，求：线段的长．

【答案】5【分析】延长交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，，根据，，即可求出的长度．【详解】解∶延长交于点E，

，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．2．如图，为的角平分线．(1)如图，若于点，交于点，，则______．(2)如图，若，点在上，且，，，求的长；用含、的式子表示(3)如图，，点在的延长线上，连接，若的面积是，求的面积．【答案】(1)3(2)(3)14【分析】（1）利用证明，得出，再利用即可求得答案；（2）利用证明，得出，，由题意可得出，再利用等角对等边证得，即可得出答案；（3）延长、交于，先证明，得出：，，利用等底等高的两个三角形面积相等可得，设，即可得出答案．【详解】（1）解：平分，，，，在和中，，，，；故答案为：．（2）解：平分，，在和中，，，，，，，，，在中，，，，，，；（3）解：如图，延长、交于，平分，，，，在和中，，,，，，设，，，，，．【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3．中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．

(1)如图1，若平分，，求的值；(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由；(3)如图3，连接，①求证：；②，，求的值．【答案】(1)3(2)，理由见解析(3)①证明见解析；②12【分析】（1）如图，分别延长，交于点．证明，得到，再证明，即可得到；（2）如图，分别延长交于点E，由（1）可得，得，再证得到，由此可得结论；（3）如图所示，在上截取，证明，得到，，进一步证明，则；②如图所示，过点C作于G，则都是等腰直角三角形，可得，由全等三角形的性质得到则，据此求出，则，进一步求出则．【详解】（1）解：如图，分别延长，交于点．

∵，∴，又∵，∴．在和中，∴．∴；∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴；（2）解：，理由如下：如图所示，延长，交于点．

由（1）可得，，∴．∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴．∵．∴．（3）解：①如图所示，在上截取，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴；

②如图所示，过点C作于G，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∵，∴∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)(2)(3)，证明见解析(4)的面积是【分析】（1）证（），得，即可；（2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论；（3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论；（4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结