三角函数应用高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第7章三角函数7.4三角函数的应用

●怎样用三角函数刻画一些周期性运动呢?

当物体做简谐运动(单摆、弹振子等)时，也是一种周期运动.图7-4-1是单摆的示意图，点O为摆球的平衡位置，如果规定摆球向右偏移的位移为正，那么当摆球到达点C

时，摆球的位移y

达到最大值A；当摆球到达点O时，摆球的位移y

为O；当摆球到达点D时，摆球的位移y

达到反向最大值－A；

一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A、ω、φ

的物理意义(1)A、ω、φ的物理意义：①简谐运动的振幅就是_____；②简谐运动的周期T＝______；A

ωx＋φφ

(2)本质：A、ω、φ有各自的物理意义，各自决定了函数性质中的一部分.(3)应用：根据A、ω、φ的物理意义，在解题时能比较简单地求出函数解析式.【思考】在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)中，A，b与函数的最值有何关系?

二、解三角函数应用题的基本步骤(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论.例1在图7-4-2中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置取向右的方向为物体位移的正方向.已知振幅为3cm，周期为3s，物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.求：(1)物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)

之间的函数关系；(2)该物体在t＝5s时的位置.(1)物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)

之间的函数关系；

(2)该物体在t＝5s时的位置.

例2一半径为3m的水轮如图7-4-3所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P

从水中浮现时(图中点P开始计算时间.(1)将点P到水面的距离z(单位：m.在水面下，则2为负数)表示为时间t(单位：s)的函数；(2)点P

第一次到达最高点大约要多长时间?(1)将点P到水面的距离z(单位：m.在水面下，则2为负数)表示为时间t(单

位：s)的函数；

(2)点P

第一次到达最高点大约要多长时间?

【基础小测】

✘✘

B

解析3.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要____s

往返一次.

0.8解析：观察图象可知此简谐运动的周期T

＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8s往返一次.解析【跟踪训练】

C

解析

C

解析

A

解析

C

解析

1

解析练习

(1)t＝0时，角θ是多少?

(2)单摆频率是多少?(3)单摆完成5次完整摆动共需多长时间?

解单摆完成5次完整摆动共需5T＝5π(s).

4.在图7-4-2中点为做简谐运动的物体的平衡位置取向右

的方向为物体位移的正方向.若已知振幅为5cm，周期

为4s，且物体向右运动到平衡位置时开始计时.(1)求物体对平衡位置的位移(单位：cm)和时间(单位：s)

之间的函数关系；(2)求该物体在t＝7.5s时的位置.(1)求物体对平衡位置的位移(单位：cm)和时间(单位：s)

之间的函数关系；

(2)求该物体在t＝7.5s时的位置.

习题7.4感受·理解1.电流I(单位：A)随时间(单位∶s)变化的关系式是I＝Asinωt，t∈[0，＋∞).设ω＝100π，A＝5.

求电流I变化的周期和频率；

(3)画出电流I随时间t

变化的函数图象.解图象如图所示：

3.某城市一年中12个月的月平均气温与月份数之间的关

系可以近似地用一个三角函数来描述.已知6月份的月

平均气温最高，为29.45℃，12月份的月平均气温最

低，为18.3℃.求出这个三角函数的表达式，并画出该

函数的图象.

(1)求小球摆动的周期；(2)已知g＝980cm/s2，要使小球摆动的周期是1s，线的

长度应当是多少？(精确到0.1cm，取3.14)(1)求小球摆动的周期；

(2)已知g＝980cm/s2，要使小球摆动的周期是1s，线的

长度应当是多少？(精确到0.1cm，取3.14)

思考·运用5.如图，摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50，摩天轮做速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.(1)试确定在时刻t(单位：min)时点P距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m?(1)试确定在时刻t(单位：min)时点P距离地面的高度；解建立如图所示的平面直角坐标系，设P离地面的高

度为h，

(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m?解令，即，解得10＜t＜20，故在摩天轮转动的一圈内，有10分钟时间长点P距离地面超过70m.h＞700≤t

≤30

6.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小

值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收

缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160t)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：in)，试回答下列问题：(1)求函数(t)的周期；(2)此人每分钟心跳的次数；

(3)画出函数p(t)的图；如图：(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值比较.解由题意，函数最大值为140，最小值为90，故此人在血压计的读数为140/90mmHg比标准值要大.探究·拓展7.下表是某地一年中10d(天)的白昼时间.(1)以日期在365d(天)中的位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，描出这些数据的散点图；(2)选用一个三角函数来近似描述白昼时间与日期序号

之间的函数关系；

(3)用(2)中的函数模型估计该地7月8日的白昼时间.

应用与建模港口水深的变化与三角函数海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某天几个时刻的水深.(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口?(3)若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2∶00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域?分析

(1)考察数据,可选用正弦函数，再利用待定系数

法求解；(2)在涉及三角不等式时，可利用图象求解.

0.4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.故该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港.

仿照上述案例，尝试解决以下问题.某港口相邻两次高潮发生时间间隔12h20min，低潮时入口处水的深度为2.8m，高潮时为8.4m，一次高潮发生在10月3日2:00.(1)若从10月3日0∶00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d(单位：m)和时间t(单位：h)之间的函数关系；(2)求10月3日4∶00水的深度；(3)求10月3日吃水深度为5m的轮船能进入港口的时间.阅读欧拉欧拉(L.Euler，1707-1783)是瑞士数学家、自然科学家.有的数学史家把他与阿基米德、高斯、牛顿并列为历史上最伟大的数学家.欧拉小时候就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教.1720年，13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴寒尔大学，小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生，他得到当时最有名的数学家约翰·伯努利(J.Beroulli，1667-1748)的精心指导，这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界.欧拉后来回忆说；“如果我遇到什么阻碍或困难，他还允许我每星期六午后自由地去找他并且亲切地为我解答一切难题.这样，使得每当他为我解决了一个困难其他十个困难也就迎刃而解了，这是我在数学上获得及时成功的最好方法.”他19岁时写了一篇论文，获得巴黎科学院的奖金，26岁时成为彼得堡科学院教授.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一.他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出800多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等课本，他的《无穷小分析引论》《微分学原理》《积分学原理》等都成为数学中的经典著作.他的全集有74卷.欧拉对数学的研究如此之广泛，在许多数学的分支中都可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.例如，eiπ＋1＝0，V－E＋F＝2，eiθ＝cosθ＋isinθ.欧