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第五章积分学不定积分定积分一元函数积分学第一节一、定积分问题引例二、定积分的定义三、定积分的性质机动目录上页下页返回结束定积分的概念及性质第五章一、定积分问题引例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.机动目录上页下页返回结束矩形面积梯形面积解决步骤:1)

分割.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

取近似.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动目录上页下页返回结束3)求和.4)取极限.令则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割.将它分成在每个小段上物体经2)取近似.得已知速度机动目录上页下页返回结束n

个小段过的路程为3)求和.4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,取近似,求和,取极限”所求量极限结构式相同:特定乘积和式的极限机动目录上页下页返回结束二、定积分定义任一种分法任取点总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称

f(x)在[a,b]上可积

.记作机动目录上页下页返回结束积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和注：1、定积分仅与被积函数及积分区间有关

,而与积分变量用什么字母表示无关,即机动目录上页下页返回结束2023/12/1032-114、定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和机动目录上页下页返回结束2023/12/1032-13定理1.定理2.且只有有限个间断点5、可积的充分条件(证明略)例3.

利用定义计算定积分解:将[0,1]n

等分,分点为取机动目录上页下页返回结束注注目录上页下页返回结束[注]

利用得两端分别相加,得即例4.

用定积分表示下列极限:解:机动目录上页下页返回结束三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)证:=右端机动目录上页下页返回结束证:

当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取

c

为分点,于是机动目录上页下页返回结束当a,b,c

的相对位置任意时,例如则有机动目录上页下页返回结束6.

若在

上则证:推论1.

若在[a,b]上则机动目录上页下页返回结束推论2.证:即7.

设则机动目录上页下页返回结束例5.

解:

机动目录上页下页返回结束例6.

试证:证:

设则在上,有即故即机动目录上页下页返回结束8.

积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7目录上页下页返回结束说明:可将故它是有限个数的平均值概念的推广.机动目录上页下页返回结束积分中值定理对因2023/12/1032-27例8.

设机动目录上页下页返回结束证:

设内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.

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