(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义（基础班）2.5《对数与对数函数》 (原卷版)

页第五节对数与对数函数核心素养立意下的命题导向1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．对数概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaNloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM﹣logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2．对数函数的图象与性质y＝logaxa>10<a<1图象性质定义域为(0，＋∞)值域为R过定点(1,0)，即x＝eq\a\vs4\al(1)时，y＝eq\a\vs4\al(0)当x>1时，y>0；当x>1时，y<0；当0<x<1时，y<0当0<x<1时，y>0在区间(0，＋∞)上是增函数在区间(0，＋∞)上是减函数3．底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c<d<1<a<b.在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)4．反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．计算：2＋lg8＋eq\f(3,2)lg25＋(eq\f(9,25))＝________.2．log225·log34·log59＝________.3．已知函数y＝loga(x﹣3)﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．4．函数y＝eq\r(log2x－1)的定义域为________．5．函数y＝log(3x﹣1)的单调递减区间为________．二、易错点练清1．有下列结论：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是____________．2．已知lgx＋lgy＝2lg(x﹣2y)，则eq\f(x,y)＝________.3．若函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.考点一对数式的化简与求值[典例](1)设alog34＝2，则4﹣a＝()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8)D．eq\f(1,6)(2)计算下列各式的值：①log535＋2logeq\r(2)﹣log5eq\f(1,50)﹣log514；②[(1﹣log63)2＋log62·log618]÷log64.[方法技巧]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.[针对训练]1．(多选)若10a＝4,10b＝25，则()A．a＋b＝2B．b﹣a＝1C．ab>8lg22D．b﹣a>lg62．计算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝________.3．已知log23＝a,3b＝7，则log3eq\r(7)2eq\r(21)的值为________．考点二对数函数的图象及应用考法(一)对数函数图象的辨析[例1]在同一直角坐标系中，函数y＝eq\f(1,ax)，y＝loga(x+eq\f(1,2))(a>0，且a≠1)的图象可能是()[方法技巧]研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0<a<1这两种不同情况．考法(二)对数函数图象的应用[例2]当0<x≤eq\f(1,2)时，4x<logax，则a的取值范围是()A.(0，eq\f(\r(2),2))B.(eq\f(\r(2),2)，1)C．(1，eq\r(2))D．(eq\r(2)，2)[方法技巧]与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法，应用时要准确画出图象，把方程根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的问题．[针对训练]1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)与g(x)＝logax的图象可能是()2．已知函数f(x)＝|lnx|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是()A．(4，＋∞)B．[4，＋∞)C．(5，＋∞)D．[5，＋∞)3．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为[eq\f(1,2),m]，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．考点三对数函数的性质及应用考法(一)与对数函数有关的函数定义域问题[例1]若函数y＝log2(mx2﹣2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是()A．(0,3)B．[0,3)C．(0,3]D．[0,3][方法技巧]已知f(x)＝loga(px2＋qx＋r)(a>0，且a≠1)的定义域为R，求参数范围时，要注意分p＝0，p≠0讨论．同时p≠0时应结合图象说明成立条件．考法(二)与对数函数有关的比较大小问题[例2](1)设a＝30.7，b＝(eq\f(1,3))﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b(2)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A．a＞2bB．a＜2bC．a＞b2D．a＜b2[方法技巧]对数函数值大小比较的方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间量过渡法寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系考法(三)与对数函数有关的不等式问题[例3]设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,log\f(1,2)－x，x＜0.))若f(a)＞f(﹣a)，则实数a的取值范围是()A．(﹣1,0)∪(0,1)B．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)C．(﹣1,0)∪(1，＋∞)D．(﹣∞，﹣1)∪(0,1)[方法技巧]简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．考法(四)对数函数性质的综合问题[例4]已知函数f(x)＝loga(3﹣ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[方法技巧]解决对数函数性质的综合问题的3个注意点(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．[针对训练]1．(多选)设函数y＝ln(x2﹣x＋1)，则下列命题中正确的是()A．函数的定义域为RB．函数是增函数C．函数的值域为RD．函数的图象关于直线x＝eq\f(1,2)对称2．已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则()A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b3．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(﹣log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．c<b<aC．b<a<cD．b<c<a4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)，则满足不等式f(a﹣2a2)＋4>0的实数a的取值范围是________．5．已知logaeq\f(3,4)<1，那么a的取值范围是________．创新思维角度——融会贯通学妙法指数式、对数式比大小类型(一)利用指数函数、对数函数的图象与性质比较大小比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，要特别注意数字“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用．[例1]设a＝5﹣0.7，b＝logeq\f(1,2)，c＝lgeq\f(3,4)，则这三个数之间的大小关系是()A.a>b>cB．a>c>bC.b>c>aD．b>a>c[名师微点]利用指数函数、对数函数的图象与性质时，要注意考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”的大小关系，以便比较大小．[例2]若a＝(eq\f(1,5))﹣0.3，b＝log52，c＝e，则()A.a<b<cB．c<a<bC.b<c<aD．c<b<a[名师微点]本题易错点是不会借助中间桥梁，比较log52与e的大小．由于log52与e均在区间(0,1)内，故需要寻找一个新的中间桥梁“eq\f(1,2)”，以便顺利获解．类型(二)利用特例法、设元法，巧解涉及三元变量的比较大小问题比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解．[例3]设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．3y<2x<5zB．2x<3y<5zC．3y<5z<2xD．5z<2x<3y[名师微点]本例可利用特例法或设元法求解，利用特例法，显得简洁、明了；关键根据对数换底公式，将x，y，z写成分式形式，分子相同，分母不同，因此可以利用作差法或作商法比较，也可借助中间值比较大小．当然解题时也可直接取一个固定的k值．[例4]设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0，则eq\f(x,2)，eq\f(y,3)，eq\f(z,5)的大小关系不可能是()A.eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)B．eq\f(y,3)<eq\f(x,2)<eq\f(z,5)C.eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5)D．eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2)[名师微点]本例可取特例，在特例的基础上，结合排除法解答；也可借助设元变形，先将目标问题等价转化为考查2k﹣1,3k﹣1,5k﹣1的大小，再对幂函数f(x)＝xk﹣1的单调性加以讨论分析．[提醒]幂函数y＝xa在(0，＋∞)上的单调性可分为三种情况：①若a>0，则单调递增；②若a＝0，则为常数函数；③若a<0，则单调递减．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．log29·log32＋logaeq\f(5,4)＋loga(eq\f(4,5)a)(a>0，且a≠1)的值为()A．2B．3C．4D．52．函数y＝eq\r(log2x－1)的定义域是()A．[1,2]B．[1,2)C.[eq\f(1,2)，1]D．(eq\f(1,2)，1]3．设a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a4．(多选)已知函数f(x)＝log(x＋eq\f(1,x))，则下列结论正确的是()A．f(x)的定义域为(0，＋∞)B．f(x)的值域为[﹣1，＋∞)C．f(x)是奇函数D．f(x)在(0,1)上单调递增5．已知a>0，且a≠1，函数y＝loga(2x﹣3)＋eq\r(2)的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.6．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．二、综合练——练思维敏锐度1．已知函数f(x)＝lg(eq\r(1＋4x2)＋2x)＋2，则f(ln2)＋f(lneq\f(1,2))＝()A．4B．2C．1D．02．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2﹣log2x2﹣3，则下列说法正确的是()A．f(4)＝﹣3B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点C．函数y＝f(x)的最小值为﹣4D．函数y＝f(x)的最大值为43．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则()A．ln(y﹣x＋1)＞0B．ln(y﹣x＋1)＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜04．设函数f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(﹣∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是()A．f(a＋1)>f(2)B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2)D．不能确定5．(多选)如果函数f(x)＝loga|x﹣1|在(0,1)上是减函数，那么()A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C．f(x)在定义域内是偶函数D．f(x)的图象关于直线x＝1对称6．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1+eq\f(S,N)).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq\f(S,N)叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比eq\f(S,N)从1000提升至2000，则C大约增加了()A．10%B．30%C．50%D．100%7．已知函数f(x)＝loga(2x﹣a)在区间[eq\f(1,2)，eq\f(2,3)]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是()A.(eq\f(1,3)，1).B．[eq\f(1,3)，1).C.(eq\f(2,3)，1).D．[eq\f(2,3)，1)8．如果函数f(x)的图象与函数g(x)＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(4x﹣x2)的单调递增区间为________．9．已知函数f(x)＝loga(8﹣ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．10．已知